必修二直線與圓選修圓錐曲線知識點例題練習

1、直線與圓1、直線的傾斜角：（1）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線與軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即tan(90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過兩點、的直線的斜率為練習：（1）實數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為_ （2）過點的直線的傾斜角的范圍值的范圍是_ 3、直線的方程：（1）點斜式：已知直線過點斜率為，則直線方程為

2、,它不包括垂直于軸的直線。（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（3）兩點式：已知直線經(jīng)過、兩點，則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線。（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線

3、的斜率為或直線過原點。練習：（1）過點，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有_條 （2）、經(jīng)過圓的圓心C，且與直線垂直的直線方程是 4.設直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設其方程為；（2）知直線橫截距，常設其方程為(它不適用于斜率為0的直線)；（3）知直線過點，當斜率存在時，常設其方程為，當斜率不存在時，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為；（5）與直線垂直的直線可表示為.5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點到直線的距離；（2）兩平行線間的距離為練習：（1） 已知圓440的圓心是P，則P到直線10的距離是 6、直線與直線的位置關(guān)系：（1）平行（斜率）且（在軸上截距）

4、；（2）相交；（3）重合且。提醒：（1） 、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直。練習：（1）設直線和，當_時；當_時；當_時與相交；當_時與重合 （2）已知兩條直線和互相垂直，則等于（ ）（A）2（B）1（C）0（D）（3）若直線與直線平行，則 （4）已知直線的方程為，則與平行，且過點（1，3）的直線方程是_（5）兩條直線與相交于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是_ 7、直線與線性規(guī)劃的原理形如二元一次不等式表示直線的右邊區(qū)域求最優(yōu)解的步驟：(

5、選擇題可用端點代入驗證法)寫出要求的目標函數(shù)和其約束條件在直角坐標系中作出可行域確定平移直線，在可行域內(nèi)平移找到最值對應的點解方程組求出其坐標把上述坐標回代目標函數(shù)求出最值.（1）已知變量x、y滿足條件則的最大值是 _（2）若實數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是( )A.（0，2） B.（0，2） C.(,+) D.，+)（3）已知的最大值為8，則= . 8、關(guān)于點和直線的對稱問題（1） 求點關(guān)于點的對稱（中點坐標公式）（2） 求點關(guān)于直線的對稱點（解方程組）（3） 求直線關(guān)于直線的對稱（利用（2）練習：（1）已知圓：+=1，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（ ）（A）+=1 （B）+=1（C）+=

6、1 （D）+=1（2）圓C與圓關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為 9、圓方程的三種形式（1）標準式：，（2）一般式：，其中圓心，半徑二元二次方程表示圓的充要條件（3）參數(shù)式：原點為圓心：； 圓心）：（為參數(shù)）練習：（1）若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標準方程是（ ）A BCDrd（2）圓心在直線上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是_ 10、 求直線與圓相交弦長度垂徑定理+勾股定理:練習：（1）設直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，則_ _（2）直線被曲線所截得的弦長等于 11、判斷點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系有：點在圓外、圓

7、上、圓外三種；可把點坐標代入圓的方程判斷；（2）直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷：代數(shù)方法：（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；幾何方法：（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷。（3）圓與圓的位置關(guān)系有：（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）當時，兩圓外離；（2）當時，兩圓外切；（3）當時，兩圓相交；（4）當時，兩圓內(nèi)切；（5）當時，兩圓內(nèi)含。練習：（1）直線與圓的位置關(guān)系為（ ）A相切 B

8、相交但直線不過圓心 C直線過圓心D相離（2）圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是（ ）(A)相離(B)相交(C)外切(D)內(nèi)切（3）若過的直線與曲線有公共點，則的斜率的取值范圍為（ ） A B CD12、求兩圓的相交弦方程用兩圓方程直接相減得出的方程便是兩圓相交弦方程（你可以說出其中的原理嗎？）練習：（1）已知兩圓和相交于兩點，則的方程是 （2）若圓與圓（a>0）的公共弦的長為，則 13、求過一定點的圓的切線先判斷定點是否在圓上，如在圓上，此點就是切點，切線只有一條；如在圓外，則應有兩條直線。（1）點在圓上：有一條切線，用直接法求 A(2) 點在圓外：有

9、兩條切線，用待定系數(shù)法求，注意斜率不存在的情況A練習：（1）已知直線與圓相切，則的值為 。（2）設A為圓上動點，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點的軌跡方程為_ （3）已知圓O：和點A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于 14、解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念：平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的標

10、準方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標準方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標系中的位

11、置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。練習：1、橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則 ；的大小為 .

12、2、若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是( )A. B. C. D. 3、若橢圓的離心率，則的值是_ ；2雙曲線（1）雙曲線的概念：平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（）。注意：式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；當時，表示兩條射線；當時，不表示任何圖形；兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。（2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心

13、，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線：1）定義：實

14、軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為： ，當時交點在軸，當時焦點在軸上。注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。練習：1、雙曲線的漸近線與圓相切，則 2、雙曲線-=1的焦點到漸近線的距離為 3、雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則( )A B C D4、已知雙曲線 的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為( )（A） (B ) (C) (

15、D) 5、已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·（ ） A. 12 B. 2 C. 0 D. 46、設是等腰三角形，則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為（ ）A B C D7、設中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_ 8、雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_ 3拋物線（1）拋物線的概念：平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。方程叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它

16、的準線方程是 ；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：標準方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準線的距離。練習：1、拋物線的焦點到準線的距離是 .2、拋物線的準線方程是 3、拋物線上的點到直線距離的最小值是( )A B C D4、設O為坐標原點

17、，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點，A是拋物線上一點，若4，則點A的坐標是（ ）A（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2)5、過雙曲線的右頂點為A，右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則AFB的面積為_4、 求圓錐曲線的方程，待定系數(shù)法例1、已知橢圓C:=1(ab0)的離心率為, 短軸一個端點到右焦點的距離為. 求橢圓C的方程;解：設橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為例2、已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.求橢圓C的方程；解:()設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已

18、知得：， 所以橢圓的標準方程為 5、求動點軌跡四種常用方法（1）定義法 （2）直接設點列式法（3）輔助點代入法例3、已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；解：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點在x軸上, 橢圓的標準方程為(2)設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x0,y0)，由，得 由,點P在橢圓上,得, 線段PA中點M的軌跡方程是.(4) 參數(shù)法步驟： 1）引入?yún)?shù)（如直線的斜率，圓錐曲線的參數(shù)方程）2）設動點，分別建立參數(shù)與x與

19、y的關(guān)系3）消去參數(shù)，得到一般方程0xyAMB例4、過拋物線（0）的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB（1）設OA的斜率為k，試用k表示點A、B的坐標；（2）求弦AB中點M的軌跡方程。解：（1）OA的方程為聯(lián)立方程 解得 以代上式中的，解方程組 解得 A（，），B（，）。（1） 設AB中點M（x，y），則由中點坐標公式，得消去參數(shù)k，得 ；即為M點軌跡的普通方程。6、用判別式、韋達定理、弦長公式研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系弦長公式：= 直線ykxb與橢圓交于A、B兩點，記AOB的面積為S( I )求在k0，0b1的條件下，S的最大值；（)當AB2，S1時，求直線AB的方程解：(I)設點A的坐標為(

20、，點B的坐標為，由，解得所以當且僅當時，S取到最大值1（）解：由得 AB 又因為O到AB的距離所以代入并整理，得解得，代入式檢驗，0 故直線AB的方程是:或或或7、用向量、解方程組求解坐標、函數(shù)工具解決幾何問題直線y=x與拋物線y=x24交于A、B兩點, 線段AB的垂直平分線與直線y=5交于Q點. （1）求點Q的坐標；（2）當P為拋物線上位于線段AB下方（含A、B）的動點時, 求OPQ面積的最大值.解：(1) 解方程組：解得：A(4,2),B(8,4), 從而AB的中點為M(2,1).由kAB=,直線AB的垂直平分線方程：y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直線OQ

21、的方程為x+y=0, 設P(x, x24).點P到直線OQ的距離d=,SOPQ=.P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上, 4x<44或44<x8.函數(shù)y=x2+8x32在區(qū)間4,8 上單調(diào)遞增, 當x=8時, OPQ的面積取到最大值30已知直線與橢圓相交于、兩點，是線段上的一點，且點M在直線上 （1）求橢圓的離心率； （2）若橢圓的焦點關(guān)于直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程。解：（1）由知是的中點， 設、兩點的坐標分別為 由 得： 點的坐標為 又點的直線上：（2）由（1）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為，設關(guān)于直線 的對稱點為， 則有 解得： 由已知， ， 。所求

22、的橢圓的方程為8、用導數(shù)工具求圓錐曲線切線斜率或切點坐標AyxOBGFF1設，橢圓方程為，拋物線方程為如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）解：（1）由得，當?shù)?，G點的坐標為，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，同理 以為直角的只

23、有一個。 以AB為直徑的圓的方程： 聯(lián)合：得 方程有兩個不同的根，即圓與拋物線有兩個不同的交點即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。9、數(shù)形結(jié)合,存在性問題的探索已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓G上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.(1)求橢圓G的方程 (2)求的面積(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.解：（1）設橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )點的坐標為（3）若，由可知點（6，0）在圓外， 若，由可知點（-6，0）在圓外； 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.10、證明一些定值和結(jié)論以及求一些長度問題設動點到定點的距離比到軸的距離大1，記的軌跡為曲線。（1）求點的軌跡方程；（2）設圓過，且圓心在曲線上，是圓在軸上截得的弦，試探究當運動時，弦長是否為定值？為什么？解：（1）依題意知，動點到定點的距離等于到直線的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線 曲線方程是（2）設圓的圓心為，圓過，圓的方程為令得：設圓與軸的兩交點分別為，,設，由求根公式得：，又點在拋物線上，即4當運動