方法b的有效離散格式

1、方法b的有效離散格式    摘要 本文在方法b網(wǎng)格生成的基礎(chǔ)之上，提出了比一般格式更加有效、適應(yīng)性強的離散格式。作者利用此格式分別對通風房間、帶移動頂蓋的方型空隙、外掠后臺階的流動進行了數(shù)值計算，與參考文獻提供的值比較，結(jié)果基本合理。關(guān)鍵詞 方法b 離散格式 數(shù)值模擬 有效    1 引言在對流體流動、傳熱及傳質(zhì)問題進行數(shù)值模擬時，首先要進行區(qū)域離散化。視節(jié)點在子區(qū)域中位置的不同，可把區(qū)域離散化方法分為兩類：方法a（外節(jié)點法）及方法b（內(nèi)節(jié)點法）。方法a是指先確定節(jié)點的坐標再計算相應(yīng)的界面，使節(jié)點位于子區(qū)域角頂?shù)姆?/p>

2、法；方法b是指規(guī)定界面位置而后確定節(jié)點，使節(jié)點位于子區(qū)域中心的方法。當網(wǎng)格不均勻時，方法b中節(jié)點永遠位于控制容積的中心，這樣方法b中的節(jié)點更能代表控制容積，界面導(dǎo)數(shù)的計算精確度也要高。所求解的區(qū)域中物性發(fā)生階躍性的變化時，采用方法b時可以較方便地反發(fā)生階躍變化的面作為界面，從而可以避免在同一控制容積內(nèi)物性發(fā)生突變的情形，若采用方法a時實現(xiàn)這一點要困難的多。綜述之，一般通風空調(diào)工程問題中采用方法b進行區(qū)域離散化。本文的出發(fā)點也基于此，希望通過常用的方法b離散網(wǎng)格建立有效的、強健的差分格式。2 對流-擴散方程式的離散及基于方法b的有效差分格式對流換熱問題的數(shù)學(xué)描述包括質(zhì)量、動量及能量守恒三種方程式

3、，可用統(tǒng)一張量形式可表示為：（1）上述方程的四項分別是不穩(wěn)態(tài)項，對流項，擴散項以及源項。據(jù)1，無論守恒方程式的何種離散或差分格式，必須滿足四項基本法則，作者提出的守恒型離散格式亦必須滿足這四項原則?，F(xiàn)給出一個通用的離散方程式：（2）用數(shù)值方法求解上述方程（尤其是滿足動量守恒的n-s方程）的主要困難來自非線性的一階導(dǎo)數(shù)項及壓力梯度項的不妥離散方式。到目前，為解決一些相關(guān)問題已提出了許多的差分離散方案：指數(shù)、混合、冪函數(shù)（乘方格式）、quick格式、shybrid二階混合等方案。這些方案，在具體應(yīng)用中，各有優(yōu)劣。作者在暖通空調(diào)工程數(shù)值實驗中，基于b方法生成的交錯網(wǎng)格推導(dǎo)出一種有效差分格式，特闡述如

4、下：控制方程組（1）中包含有兩類變量：矢量與標量。u，v，w為矢量，擴散系數(shù)、溫度、壓力、紊流脈動能k、紊流耗散率等為標量。這樣交錯網(wǎng)格的數(shù)據(jù)存儲可表述為：標量數(shù)據(jù)皆存儲在節(jié)點位置p、e、w、n、s等；而矢量數(shù)據(jù)皆存儲在截面位置e、w、n、s等；圖1中陰影區(qū)為標量控制容積區(qū)，標量分布均勻，由節(jié)點p等代表。矢量亦均勻分布于各截面，用e等代表。下面皆以二維穩(wěn)態(tài)情形為例進行分析。21 標量場首先分析標量場，以代表通用標量，由（2）其離散方程的一般形式可寫為：（3）據(jù)冪函數(shù)方案ai（i代表e，w，n，s等界面）的取法，上式各系數(shù)可表述為：（4）（4）式中，peclet數(shù)pi=fi/di，f代表單位截面

5、上對流流量，而d代表單元內(nèi)物理量的擴散。因為物性參數(shù)（標量）亦儲存在各個節(jié)點上，據(jù)前述的四項基本法則，須滿足界面上連續(xù)性的要求，故可用調(diào)和平均來計算界面參數(shù)。以為例可由下式求得： （5）其他的系數(shù)同理可求。22 矢量場二維矢量場（即u、v兩個速度矢量的分布），而速度的控制容積與標量的不同，其示意圖如圖2所示。比較圖1與圖2可以看出：矢量控制容積只是在標量控制容積的基礎(chǔ)上沿特定方向發(fā)生錯移，這也是交錯網(wǎng)格的特點之一。以二維穩(wěn)態(tài)離散u方程為例，由n-s方程對上圖的控制容積積分可以導(dǎo)出3：圖1 標量控制容積與離散格式圖案圖2 矢量控制容積與離散格式圖案注1：圖2中加"（）"符號的

6、節(jié)點一致；注1：圖1及圖2中的 分別等于將要用到的 分別等于將要用到的 。 同(3)所述，亦采用冪函數(shù)格式，上式中的系數(shù)可以按（4）表達之，僅需調(diào)整i（代表e、w、s、n等節(jié)點位置）。從圖2可見，peclet數(shù)p=f/d的求解難在界面交點n、s等。界面效點n處流速vn須應(yīng)用加權(quán)平均計算，這樣，界面流量fn可表述為： （6）擴散系數(shù) （7）式（7）中系數(shù)是標量，而處為界面位置，不存儲標量，則可通過周圍四個節(jié)點上值的面積加權(quán)求解（若三維情形，應(yīng)為體積加權(quán)），這樣較容易滿足上述的四項基本法則。所以： （8）聯(lián)立求解，則dn的計算可進一步簡化。同理，可以導(dǎo)出ds的表達式： （9） （10）至此，已得到

7、整個u方程系數(shù)的求解方法，對于其他矢量方程的系數(shù)，同理可求。23 新格式與各種差分格式的特性比較及分析對于一維穩(wěn)態(tài)無源項的對流擴散問題，其守恒方程為： （11）假定邊界條件為：通過計算中間點x=0.5處值，比較了理論解、一階上風格式、中心差分格式及本文新的格式：中心差分格式隨著pe數(shù)的增加而產(chǎn)生發(fā)散現(xiàn)象；一階上風格式和本文提出的差分格式則與理論解有較為接近的值。特別當pe數(shù)增大時，本文的差分格式的更接近理論解。3 算例應(yīng)用、比較及分析31 單出入口二維通風房間 圖3 具有單個出入口的通風房間 圖4 外掠后臺階的平面圖室內(nèi)流體流態(tài)為穩(wěn)態(tài)紊流，采用lrn（low-reynolds-number）模

8、型計算。壓力、速度通過simplec算法耦合求解。入口邊界參數(shù)給定，出口邊界變量的法向梯度為零。以入口速度u為基準速度，以入口尺寸l（1m）為基準尺寸?；赽方法的網(wǎng)格生成為x×y方向網(wǎng)格數(shù)為120×100。之后，作者重新布置網(wǎng)格（80×60），取某垂直截面段（x/l=15）并比較了兩者的水平速度分布。如圖5可見，兩者幾乎無差別，這可以說明本文格式應(yīng)用于工程實際時，對非均勻網(wǎng)格具有較好的適應(yīng)性。 圖5 兩套網(wǎng)格系統(tǒng)截面水平速度的比較對兩套網(wǎng)格系統(tǒng)計算過程的收斂史與差分格式未改進的情形進行比較（圖6），發(fā)現(xiàn)計算精度有較明顯的提高，可能的發(fā)散趨勢被抑制。圖6 迭代過程

9、收斂史的比較（縱坐標即壓力方程的余量）注1-未改進的格式；2-格式改進后的第一套網(wǎng)格；3-格式改進后的第二套網(wǎng)格32 帶移動頂蓋的方形空腔流流體流態(tài)為穩(wěn)態(tài)層流。以頂蓋移動速度u為基準速度，以空腔進深d為基準尺寸?；赽方法的風格生成為x×y方向網(wǎng)格數(shù)為20×20。固體壁面為無滑移條件，因為是層流運動，故動量方程及連續(xù)性方程中的流速邊界都是如此。 圖7 截面水平速度的比較（y/d=0.5） 圖8 截面垂直速度的比較（y/d=0.5）取截面（y/d=0.5）上的速度矢量與文獻9比較，由圖7及圖8可發(fā)現(xiàn)兩者相差甚微，再次證明本文改進格式的有效性。筆者在計算過程中還比較了一般程度消

10、耗cpu時間一本文所花的時間相差不大，可能是因為物理模型規(guī)模較小所致。但是對于規(guī)模較大、風格劃分不均勻的情形，本文的離散方程具有不可替代的優(yōu)勢。33 外掠后臺階的流動如圖4所示，h為后臺階高度，并作為基準尺寸：入口及出口尺寸如圖4所示；未流速度u取為1m/s，并作為基準速度。來流溫度t分布均勻，作為基準溫度；壁面為均勻熱流條件。基于b方法的網(wǎng)格生成為x×y方向網(wǎng)格數(shù)為60×50。流體流態(tài)為穩(wěn)態(tài)二維紊流，服從bousinesq假設(shè)。對此開口流場，出口處采用自由流速邊界條件，壓力修正方程界為dirichlet條件。壁面附近采用壁面函數(shù)法加以修正。中心軸線上各個變量采用第二類邊界

11、條件。圖9是截面（x/h=10）上的流速分布，與文獻4結(jié)果相吻合。另外，作者還與文獻5比較了不同截面上nu/nuh數(shù)，如圖10所示，兩者較接近。圖9 截面水平流速分布的比較（x/h=15 , re=1.0×103）圖10 外掠后臺階局部nu數(shù)分布的比較（re=1.7×103）4 結(jié)論及展望本文提出的差分格式從本質(zhì)上將講是對冪函數(shù)格式的修正及改進，其中應(yīng)用了中心差分、調(diào)和平均等思想，從而達到提高計算精度、減少發(fā)散的目的。但從一些運算結(jié)果來看，格式并非十分理想，譬如對向后臺階流動（文中未列出），涉及對流換熱、壁面邊界等問題，結(jié)果與文獻2提供的數(shù)據(jù)有一定差距；盡管上述運算較原來的

12、算法迭代次數(shù)有所減少，但計算時間并未縮短，并且計算機內(nèi)存容量要求變有提高，這些問題有待今后改進。參考文獻1 patankar. s.v. numerical heat transfer and fluid flow. hemisphere, newyork, 1980.2 gooray. a. m. turbulent heat transfer computations for rearward-facing steps and sudden pipe expansions. j. heat transfer, 1985,1:7076.3 larnder. b. e. the numeric

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