可化為在限制范圍內(nèi)求二次函數(shù)的最值問題

1、可化為在限制范圍內(nèi)求二次函數(shù)的最值問題王遠征廣東省深圳市蛇口中學(xué)（518067）E-mail:wchg有些求變量的取值范圍的問題，雖然其表現(xiàn)形式不是求二次函數(shù)的最值問題，但通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，最終可歸結(jié)為在給定的范圍內(nèi)，求二次函數(shù)的最值問題，解答這類問題的關(guān)鍵是：要善于從較隱蔽的、間接的條件中，求出自變量的范圍。例1。已知函數(shù)的圖象與直線的交點在平面直角坐標(biāo)系的右半平面內(nèi)，則的取值范圍是 。 （第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二年級試題） 分析：求直線與函數(shù)的圖象在平面直角坐標(biāo)系的右半平面內(nèi)有交點時的取值范圍，實質(zhì)上是通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，最終可歸結(jié)為在給定的范圍內(nèi)，求二次函數(shù)的值域。解：設(shè)當(dāng)時，因為，

2、所以。即函數(shù)的定義域。因為，的圖象開口朝上，在對稱軸的左側(cè)，此函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，所以：（注：于是：。一般地，對于由初等函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，在解題時務(wù)必從較隱蔽的、間接的條件中，求出中間變量的范圍。例2（2003年4月13日，第14屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高一年級第二試試題）關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍。分析與解答：原方程可化為： （1）如果在“方程”的圈子內(nèi)思考，就事論事，由“方程在區(qū)間上恰有兩個不等的實根”及根與系數(shù)的關(guān)系，可得：這樣，較難求出的取值范圍。當(dāng)我們跳出“方程”的圈子，換個角度思考，將看作是關(guān)于的二次函數(shù)，借助函數(shù)圖象的直觀性，則問題迎刃而解

3、。由（1）得：因為：在區(qū)間上作出關(guān)于的二次函數(shù)圖象，注意到由圖形易知：當(dāng)故舍去當(dāng)故舍去當(dāng)故舍去當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述：當(dāng)時或當(dāng)時，評注：跳出“方程”的圈子，換個角度思考，通過構(gòu)造用關(guān)于的二次函數(shù)，并利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，使其獲解。同步練習(xí)：3. 已知函數(shù)的值域是，則的取值范圍是 。（第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二年級培訓(xùn)試題） 解；令當(dāng)；當(dāng)作出函數(shù)在時的圖象，由圖可知：的取值范圍是，相應(yīng)地5. 函數(shù)的定義域是 ；值域是 。（第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二年級試題）解：因為的值域是：值域是：，所以原函數(shù)的定義域是；9. 若函數(shù)的定義域是不等式的解集，則的最小值是 ；最大值是 。（第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二年級試題）解：設(shè)，則，11. （2001年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）若關(guān)于x的方程有實數(shù)解，求實數(shù)a的最大值與最小值的和。分析與解 ：反客為主，視a為關(guān)于sinx的二次函數(shù)。令t=sinx, 則當(dāng)t=0.5時, 當(dāng)t=時, 13. 已知實數(shù)滿足，求的最大值與最小值。解：由得：，即因為，所以，當(dāng)時，有最大值；因為，所以有最小值。15. 若函數(shù)的最小值是，則的值域是（ ）（A），； （B），； （C），； （D），（第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二年級試題）解：因為