3.5探索與表達規(guī)律例題與講解(2013-2014學(xué)年北師大七年級上)

1、5 探索與表達規(guī)律1規(guī)律探索規(guī)律探索是數(shù)學(xué)中常見的類型之一，是指從已知的幾個數(shù)據(jù)或幾個圖形中發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)據(jù)變化情況，并用代數(shù)式表示出來規(guī)律探索體現(xiàn)了從特殊到一般，再從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想探索規(guī)律的一般方法是：(1)觀察：從具體的、實際的問題出發(fā)，觀察各個數(shù)量的特點及相互之間的變化規(guī)律；(2)猜想：由此及彼，合理聯(lián)想，大膽猜想；(3)歸納：善于類比，從不同的事物中發(fā)現(xiàn)其相似或相同點；(4)驗證：總結(jié)規(guī)律，作出結(jié)論，并取特殊值驗證結(jié)論的正確性探索規(guī)律問題，要從給出的幾個有限的數(shù)據(jù)著手，認真觀察其中的變化規(guī)律，嘗試猜想、歸納其規(guī)律，并取特殊值代入驗證在探索規(guī)律的過程中，要善于變換思維方式，這樣可收到

2、事半功倍的效果【例1】 觀察下列數(shù)表：根據(jù)數(shù)表中所反映的規(guī)律，猜想第6行與第6列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為_，第n行(n為正整數(shù))與第n列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為_解析：通過觀察、分析、比較可知，第1行與第1列的交叉點上的數(shù)是1，第2行與第2列的交叉點上的數(shù)是3，第3行與第3列的交叉點上的數(shù)是5，第4行與第4列的交叉點上的數(shù)是7，所以可猜想第6行與第6列的交叉點上的數(shù)是11，第n行(n為正整數(shù))與第n列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為2n1.答案：11 2n12探索規(guī)律的常見類型及方法(1)數(shù)字規(guī)律和代數(shù)式規(guī)律常見的幾種數(shù)字規(guī)律形式：(2)新運算的規(guī)律新運算是指用特定的符號表示與加、減、乘、除不相同的一種規(guī)定運算新運算的

3、實質(zhì)是有理數(shù)的幾種混合運算，關(guān)鍵是觀察出用到了哪些運算，要特別注意運算的順序(3)圖形規(guī)律探索圖形規(guī)律的實質(zhì)是用字母表示數(shù)，即列代數(shù)式要從不同的角度分析，可用去括號、合并同類項驗證規(guī)律【例21】 符號“§”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算結(jié)果如下：(1)§(1)0，§(2)1，§(3)2，§(4)3，(2)§2，§3，§4，§5，利用上面的規(guī)律計算：§§(2 012)分析：從(1)中的運算可以看出，當(dāng)括號內(nèi)的數(shù)是整數(shù)時，運算的結(jié)果等于括號內(nèi)的數(shù)減去1，所以§(2 012)2 0

4、11；從(2)中可以看出，當(dāng)括號內(nèi)的數(shù)是一個分子是1的分數(shù)時，運算的結(jié)果等于括號內(nèi)那個數(shù)的倒數(shù)，所以§2 013.解：§§(2 012)2 0132 0112.【例22】 觀察下列圖形及圖形所對應(yīng)的算式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算1816248n(n是正整數(shù))的結(jié)果為( )A(2n1)2 B(2n1)2C(n2)2 Dn2解析：觀察圖形和下面的式子可以知道，1818×1932,181618×18×252,18162418×18×28×372，其規(guī)律是：計算的結(jié)果是連續(xù)奇數(shù)的平方，所以1816248n(2n1)2

5、.故選A.答案：A3探索規(guī)律的應(yīng)用常見的探索規(guī)律的應(yīng)用：探索日歷中的規(guī)律和折疊中的規(guī)律(1)探索日歷中的規(guī)律在日歷中一般我們可以從橫行、豎列、斜列三個方向去尋找規(guī)律，當(dāng)然也可以從其他角度去探索橫行：相鄰兩數(shù)相差1.如左下圖所示：豎列：相鄰兩數(shù)相差7.如右上圖所示斜列：從左上到右下的斜列相鄰兩數(shù)相差8；從右上到左下的斜列相鄰兩數(shù)相差6.日歷中的3×3方框內(nèi)的規(guī)律：在這9個方格中的數(shù)的和是中間方框中的數(shù)的9倍若將中間數(shù)設(shè)為a，則其余8個數(shù)可按規(guī)律如上圖所示，則這9個數(shù)的和即為(a8)(a7)(a6)(a1)a(a1)(a6)(a7)(a8)9a，正好是中間數(shù)a的9倍(2)折疊中的規(guī)律將一

6、張紙折疊，每折疊一次就會得到紙的層數(shù)、折痕數(shù)，將這些數(shù)記錄下來，找出規(guī)律，就可預(yù)測當(dāng)折疊n次后，相應(yīng)的層數(shù)與折痕數(shù)折疊次數(shù)：1,2,3,4,5，n.層數(shù)：2,4,8,16,32，2n.平行對折的折痕數(shù)：1,3,7,15,31，2n1._【例31】 2013年的元宵節(jié)是陽歷2月24日，根據(jù)下面的日歷，你知道春節(jié)和初夕分別是哪一天嗎？請你填在下面的橫線上：春節(jié)：2月_日，除夕：2月_日解析：根據(jù)日歷中豎列和橫列的規(guī)律可以求出如圖，春節(jié)與元宵節(jié)在同一豎列中，根據(jù)豎列中相鄰兩數(shù)相差7，可知春節(jié)比元宵節(jié)少14，即241410，春節(jié)是10日，根據(jù)橫列中相鄰相差1的規(guī)律，可知除夕是9日答案：10 9【例32

7、】 將連續(xù)的偶數(shù)2,4,6,8，排列成如右圖所示的數(shù)表(1)“十”字框內(nèi)5個數(shù)的和，與框內(nèi)中間的數(shù)18有什么關(guān)系？(2)若將“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5個數(shù)，這5個數(shù)還有這樣的規(guī)律嗎？(3)設(shè)中間的數(shù)為a，用代數(shù)式表示“十”字框內(nèi)5個數(shù)之和分析：觀察對比可以發(fā)現(xiàn)：左右相鄰兩數(shù)相差2，上下相鄰兩數(shù)相差12.再換另一組數(shù)，同樣有這樣的規(guī)律解：(1)61618203090，而90÷185，所以框內(nèi)5個數(shù)的和是框內(nèi)中間的數(shù)18的5倍(2)將框上、下、左、右平移，任意框住5個數(shù)，同樣有這樣的規(guī)律(3)若中間的數(shù)為a，則框住的5個數(shù)分別為a12，a2，a，a2，a12，其中a為偶數(shù)，故它們的和為(a12)(a2)a(a2)(a12)5a.【例33】 如果將一張長方形的紙，平行對折7次，展開后，會有_條平行折痕，折