多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)?課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與討論題第六章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用由于在理論和實際問題中經(jīng)常遇到許多非均勻分布在平面或空間的各種幾 何形體上量的求和問題， 因此，需要把一元函數(shù)積分加以推廣， 研究多元函數(shù)在 幾何形體上的積分問題， 第五章中已經(jīng)指出， 多元函數(shù)包含多元數(shù)量值函數(shù)與多 元向量值函數(shù)，而平面或空間的幾何形體又包括平面或空間區(qū)域，曲線段 平面 的或空間的 和曲面塊等，因此，多元函數(shù)的積分種類較多，大體可分為兩大類 型：第一類稱為多元數(shù)量值函數(shù)的積分， 包括重積分 重點討論二重與三重積分 ， 第一型線積分和第一型面積分； 第二類包括第二型線積分和第二型面積分， 本章 將學(xué)習(xí)這些積分的概念、性

2、質(zhì)、計算方法和應(yīng)用，對于第二型的線、面積分，我 們將從向量形式出發(fā)， 在講解概念和計算方法的根底上， 進一步討論應(yīng)用廣泛的 三大公式，即Green公式，stokes公式的Gauss公式，并介紹了旋度和散度這 兩個重要的概念以及幾種常見的特殊向量場， 與學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)一樣， 學(xué)習(xí) 本章時也應(yīng)隨時將它與一元函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容加以比照，注意它們的共性與個性。本章教學(xué)實施方案： 總學(xué)時 34，分配如下：講 課：24 學(xué)時。1多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念及性質(zhì) 1 學(xué)時 ；2二重 積分的計算方法 3 學(xué)時； 3 三重積分的計算 2 學(xué)時 ；4重積分的應(yīng)用 2 學(xué)時 ； 5含參變量的積分與反常重積分 3 學(xué)時

3、 ；6第一型線積分與面積 分3 學(xué)時 ；7第二型線積分與面積分 4 學(xué)時 ；8各種積分的聯(lián)系及其在場 論中的應(yīng)用 6 學(xué)時討 論：4 學(xué)時， 1重積分的概念計算與應(yīng)用 2 學(xué)時 ；2線面積分的概 念計算及其應(yīng)用習(xí)題課：6 學(xué)時， 1重積分的計算方法及應(yīng)用 2 學(xué)時 ；2線、面積分的 計算方法及應(yīng)用 2 學(xué)時 ；3三個積分公式及其應(yīng)用。第一節(jié) 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念及性質(zhì)一、教學(xué)內(nèi)容與重點多元數(shù)量值函數(shù)積分 包括重積分、 第一型線積分和面積分 的概念；積分存 在的必要條件與充分條件；積分的根本性質(zhì)。二、教學(xué)要求1 正確理解多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念， 它將重積分 主要講二重積分與三 重積分 、第

4、一型線積分與第一型面積分統(tǒng)一為平面或空間的幾何形體上的積分 即非均勻分布的可加量的求和 ，同一元函數(shù)的積分類似， 多元數(shù)量值函數(shù)的各 種積分本質(zhì)仍然是一個和式的極限，只是由于積分區(qū)域或幾何形體與被積函數(shù) 不同，從而產(chǎn)生了不同類型的積分。2 .知道多元數(shù)量函數(shù)積分存在的必要條件f在積分區(qū)域上有界和充 分條件. '為可度量的緊集，f C i 。3 .熟悉積分的根本性質(zhì)線性性質(zhì)、對積分域的可加性，不等式性質(zhì)和積分 中值定理，它們是一元函數(shù)定積分相應(yīng)性質(zhì)的推廣。第二節(jié)二重積分的計算一、教學(xué)內(nèi)容與重點二重積分在直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)下的計算方法重點；二重積分的換元法。二、教學(xué)要求1 .正確理解如何

5、利用二重積分的幾何意義將二重積分化為二次積分，熟練掌握根據(jù)積分域的不同將二重積分化為不同順序二次積分的方法和步驟；1畫出積分域；2選擇適當(dāng)?shù)姆e分順序；3正確確定積分的上、下限。在此根底上， 會將一種積分順序的二次積分化成另一種順序的二次積分。2 .熟練掌握極坐標(biāo)系下二重積分的計算方法，知道積分域和被積函數(shù)在什 么情況下用極坐標(biāo)計算比擬方便。3 .理解在曲線坐標(biāo)系下二重積分的計算方法就是定積分換元法在二重積分中的推廣，掌握使用該方法的主要步驟。第三節(jié)三重積分的計算一、教學(xué)內(nèi)容與重點三重積分在直角坐標(biāo)系下、柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下的計算方法重點；三重積分的換元法。二、教學(xué)要求1 .正確掌握在直角坐

6、標(biāo)系下三重積分的計算方法 化為單積分和二重積分，能根據(jù)積分域的不同選擇不同的積分順序 先單后重與先重后單。2 .熟悉柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)以及它們和直角坐標(biāo)的關(guān)系，掌握在這兩種坐 標(biāo)系下計算三重積分的方法，并能根據(jù)積分域的不同采用不同的坐標(biāo)系進行計 算。3.理解三重積分的換元法，會利用該方法計算簡單的三重積分。第四節(jié)重積分的應(yīng)用、教學(xué)內(nèi)容與重點重積分的微法，微元法應(yīng)用舉例重點。二、教學(xué)要求1 理解重積分微元法是定積分微元法的推廣，推廣的方法是通過引入?yún)^(qū)域 函數(shù)及其對區(qū)域的導(dǎo)數(shù)，變域上的重積分，將一元函數(shù)中微積分學(xué)根本定理推廣 到重積分，從而說明積分微元 fx, yd匚就是變域上的重積分作為區(qū)域函數(shù)

7、的 微分。2 .掌握利用重積分微元法解決幾何和物理問題的步驟，關(guān)鍵在于如何根據(jù) 應(yīng)用問題求得積分微元，通常采用的方法是：在微小區(qū)域中將非均勻分布的量看 成是均勻分布的，或者將微小區(qū)域看作一點，利用有關(guān)的幾何公式或物理定律， 通過乘法求得局部量的近似值，將微小區(qū)域看作一點，利用有關(guān)的幾何公式或物 理定律，通過乘法求得局部量的近似值， 該近似值往往就是積分微元，同學(xué)們應(yīng) 當(dāng)結(jié)合具體應(yīng)用實例液體壓力、物體重心、轉(zhuǎn)動慣量與引力等理解并掌握這個 方法。第五節(jié)含參變量的積分與反常重積分一、教學(xué)內(nèi)容與重點含參變量的積分，含參變量的反常積分，反常重積分。二、教學(xué)要求1 理解含參變量積分的概念，知道含參數(shù)變量積

8、分的連續(xù)性，可導(dǎo)性，積 分順序交換性，以及積分上、下限也是參變量函數(shù)的含參變量積分的求導(dǎo)方法。2 .知道含參變量反常積分的收斂與一致收斂的概念，以及含參數(shù)變量反常 積分的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可積性。3 .知道反常重積分是一元函數(shù)反常積分的推廣以及判別收斂性的比擬判別 法。第六節(jié)第一型線積分與面積分、教學(xué)內(nèi)容和重點第一型線積分的計算方法，曲面面積的定義與計算公式，第一型面積分的計 算方法。二、教學(xué)要求1 、熟練掌握第一型線積分的計算方法一一化為一元函數(shù)的定積分?；癁槎?積分的方法是：把弧長微元ds看作弧微分，將弧微分公式代入ds，將積分路徑 的方程代入被積函數(shù)，由于弧長丄Sk總是正的，所以定積分的上

9、限必須大于下限， 會用第一型線積分計算柱面的面積，物質(zhì)曲線的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量等。2 、正確理解曲面面積的定義，會利用曲面面積的計算公式求曲面的面積。3 、正確掌握第一型面積分的計算方法一一化為二重積分，化為二重積分的 方法是：把曲面面積微元公式代入 dS ;將積分曲面的方程代入被積函數(shù)；求出 積分曲面在相應(yīng)坐標(biāo)平面根據(jù)具體問題確定在哪個坐標(biāo)面上投影 上的投影區(qū) 域，作為二重積分的積分域，會用第一型面積分計算物質(zhì)曲面的質(zhì)量， 質(zhì)心與轉(zhuǎn) 動慣量等。第七節(jié)第二型線積分與面積分一、教學(xué)內(nèi)容和重點場的概念，第二型線積分的概念，性質(zhì)與計算方法重點；兩類線積分的聯(lián) 系；第二型面積分的概念，性質(zhì)與計算方法重點；

10、兩類面積的聯(lián)系。二、教學(xué)要求1 、理解數(shù)量場和向量場的概念以及用等值線 面描述數(shù)量和用向量線描述 向量場的方法。2 、正確理解第二型線積分的概念以及它與第一型線積分的區(qū)別，在第一型線積分中，被積式積分微元是兩個數(shù)量的乘積，積分路徑?jīng)]有方向性，ds是弧微分，它總是正的；在第二型積分中，被積式 積分微元是兩個向量的點積， 積分路徑有方向性，沿方向相反的兩條路徑積分值反號。3 、熟悉第二型線積分的性質(zhì)它們是第一型線積分所沒有的。4 、正確掌握第二型線積分的計算方法將積分路徑的方程代入被積式，化第二型線積分為定積分，應(yīng)當(dāng)注意，與第一型線分不同，第二型線分化為定積 分時其上限不必大于下限，下限為對應(yīng)于積

11、分路徑起點的參數(shù)， 上限為對應(yīng)于積 分路徑終點的參數(shù)。5 、正確理解第二型面積分的概念以及它與第一型面積分的區(qū)別，第一型面積分的積分微元是兩個數(shù)量的乘積，積分曲面沒有方向性，曲面面積微元dS沒有方向性，它在各坐標(biāo)面上的投影d- - 0 ；第二型面積分的積分微元是兩個向量 的點積，積分曲面是有向曲面，有兩側(cè)之分，曲面面積微元dS是向量，它在各 坐標(biāo)面上的投影有正負(fù)之分，正負(fù)號根據(jù)法向量n與相應(yīng)各坐標(biāo)軸正向的夾角是 銳角、鈍角或直角來確定。6 、熟悉第二型面積分的性質(zhì)它們也是第一型面積分所沒有的。7 、正確掌握第二型面積分的計算方法一一化為二重積分，化為二重積分的 方法是：將積分曲面的方程代入被積

12、函數(shù)，并將有向曲面在各坐標(biāo)平面投影區(qū)域 作為積分區(qū)域，由于S為有向曲面，所以，應(yīng)當(dāng)根據(jù)上述第 5條中的方法確定 二重積分前面的正負(fù)號，這是與第一型面積分計算方法的主要區(qū)別。8 、知道兩類線面積分的聯(lián)系，在某些特殊情況下，會利用這種聯(lián)系將第二 型線、面積分轉(zhuǎn)化為第一型線面積分來計算。第八節(jié) 各種積分的聯(lián)系及其在場論中的應(yīng)用一、教學(xué)內(nèi)容與重點Green公式，平面線積分與路徑無關(guān)問題，Stokes公式與旋度；Gauss公式與散度，幾種重要的特殊向量場，其中Green公式、平面線積分與路徑無關(guān)問題， Gauss公式，散度與旋度為教學(xué)重點。二、教學(xué)要求1 、正確理解Green公式的含義，它建立了平面區(qū)域

13、上的二重積分與沿該區(qū)域邊界曲線的第二型線積分之間的聯(lián)系，是定積分的Newton-Leibniz公式在二重積分中的表達，能熟練使用該公式計算第二型線積分。2 、正確掌握平面線積分與路徑無關(guān)的三個等價命題及其物理意義，能熟練 判定平面線積分與路徑是否無關(guān)，掌握平面有勢場的勢函數(shù)的求法。3 、熟悉Stokes公式成立的條件，理解 Stokes公式建立了沿空間圭寸閉曲線的第二線積分與在該曲線上所張曲面的第二型面積分之間的聯(lián)系，它是Green公式的推廣。4 、正確理解環(huán)量密度與旋度的數(shù)學(xué)定義與物理意義，能利用旋度的計算公式和運算法那么熟練計算給定向量場的旋度，熟悉Stokes公式的向量形式。5 、正確理

14、解Gauss公式的含義，它建立了空間區(qū)域上的三重積分與沿該區(qū)域邊界曲面第二型曲面積分之間的聯(lián)系是定積分的Newton-Leibniz公式在三重積分中的表達，能熟練使用該公式計算第二型面積分。6 、正確理解通量密度與散度的數(shù)學(xué)定義與物理意義，能用散度的計算公式和運算法那么熟練計算給定向量場的散度，熟悉Gauss公式的向量形式。7 、熟悉空間線積分與路徑無關(guān)的等價命題及其物理含義，會計算空間有勢 場的勢函數(shù)，知道常見的三種特殊向量場無旋場、無源場、調(diào)和場及其主要性質(zhì)。討論題1. 應(yīng)當(dāng)怎樣理解多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念？2 如何將二重積分在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下化為累次積分？應(yīng)注意哪些問題？試將二重積分f

15、 (x, y)d二分別在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下以兩種不同的次序化D為累次積分。其中D由不等式. 2x-x2 y < . 4 - x2所確定。3 如何交換累次積分的次序？要注意哪些問題？2 2 21) 計算積分dy2 x2) 試交換累次積分odx* f (x,y)dy的次序。4 怎樣正確利用積分域的對稱性和被積的奇偶性來簡化二重積分的計算？1) 計算二重積分ii(x，y)d；.其中D由y=x2, y=4x2及y =1圍成。D2) 計算二重積分n(x - y)d二.其中D由x2 y2 x y所確定。D5 當(dāng)二重積分的被積函數(shù)含有絕對值符號或為分段函數(shù)時，如何計算它的值？試計算積分11| x2 y

16、2 - 4 | d二。x2心6當(dāng)二重積分積分域的邊界曲線以參數(shù)方程給出時，如何計算它的值？試，廣計算積分"y2d其中D是由x軸與擺線一拱x=a(tSint)(oG蘭2兀，a>0)Dy = a(1 - cost)所圍成的區(qū)域7.二重積分換元法與定積分換元法有何異同？二重積分的變量代換中，重點是化簡被積函數(shù)，還是化簡積分域？如何化簡？8 計算二重積分常用的有哪幾種方法？如何根據(jù)被積函數(shù)和積分域的特點 選擇計算方法？9. 如何在直角坐標(biāo)、球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)下將三重積分化為累次積分?1)計算三重積分i n zdv ;(V)(V)：x2y2 z2 - zy2 z2 乞 2z2)計算二重積分(

17、x2 y2)dv，其中(V)是由平面曲線(V)y2 = 2z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與Z=8所圍成的區(qū)域10. 計算三重積分常用的有哪幾種方法？如何根據(jù)被積函數(shù)和積分域的特點 選擇計算方法？11 如何利用重積分的微元法建立實際問題中待求量的積分表達式？在用重 積分解決實際問題時如何適中選擇坐標(biāo)系？1)有一半經(jīng)為a的均勻帶電圓盤，電荷密度為常數(shù):,試求過圓心且垂直 于圓盤的直線上與圓心相距為 R處的電位。2)設(shè)有一半經(jīng)為R的球體。Po是此球外表上的一個定點。球體上任一點的密度與該點到F0點的距離的平方成正比。(比例常數(shù)k 0)。求球體的重心位14. 把第一型線積分l f (x, y)ds化為定積

18、分時，為什么要求定積分的下限小 于上限？而對第二型線積分l P(x,y)dx Q(x,y)d y就沒有這個要求？15. 兩類線積分及兩類面積分的定義、性質(zhì)及計算有何異同點？16. 設(shè)I =tJLxy2d y - yx2dx，其中L為圓周x2+y2 = a2沿逆時針方向，以下 計算該線積分的方法是否正確？為什么？由Green公式得I =(y2 x2)d；- a2d；二；4.DD17. 設(shè) I = xy2dy dz yz2dz dx zx2dx dy .其中二為球面Zx2 y2 z a2外側(cè)，以下計算該面積分的方法是否正確？為什么？由Gauss公式得I =(y2 z2 x2)dV 二(V)川a2d

19、V號a3(V)a其中(V)為球體x2 y2 z2弐a218. Gree n, Gauss, Stokes公式有何重要意義？三個公式有何共性?19. 在場論中 Gauss 公式描述了什么樣的物理現(xiàn)象？20. 在場論中 Stokes 公式描述了什么樣的物理現(xiàn)象？21. 如何理解無旋場的兩種定義？有關(guān)無旋場有哪些等價關(guān)系？第七章 常微分方程本章教學(xué)實施方案： 總學(xué)時 19講 課：13 學(xué)時。1 常微分方程的根本知識 1 學(xué)時；2線性微分方程組3 學(xué)時；3 常系數(shù)線性微分方程組 3 學(xué)時 ；4高階線性微分方程 3 學(xué)時 ； 5微分方程的定性分析方法初步 3 學(xué)時 ；討 論：2 學(xué)時，習(xí)題課： 4學(xué)時，

20、1線性微分方程組 2 學(xué)時 ；2.高階線性微分方程 2 學(xué) 時；第一節(jié) 常微分方程的根本知識1. 教學(xué)內(nèi)容 微分方程與微分方程組，微分方程解的存在唯一性定理，微分方程及其解的 幾何意義。2. 教學(xué)要求1會將高階微分方程化為一階微分方程組 .2正確理解微分方程解的存在唯一性定理 .3了解微分方程的軌線、相平面、增廣相平面等概念 .第二節(jié) 線性微分方程組1. 教學(xué)內(nèi)容與重點齊次線性微分方程組的概念及解的性質(zhì)， n 微向量值函數(shù)的線性相關(guān)與線性 無關(guān)性，齊次線性微分方程組的解空間、基解組、基解矩陣及基解矩陣的性質(zhì)。2. 教學(xué)要求 1 掌握齊次線性微分方程組解的性質(zhì)， 向量值函數(shù)組的線性相關(guān)性與線性無

21、 關(guān)性、基解矩陣、通解、基解矩陣的性質(zhì) . 2 掌握非齊次線性微分方程組的解的結(jié)構(gòu)、 特解的求法， 會解簡單的線性微 分方程組 .第三節(jié) 常系數(shù)線性微分方程組1。教學(xué)內(nèi)容與重點常系數(shù)齊次線性微分方程組的求解，常系數(shù)非齊次線性微分方程組的求解。2. 教學(xué)要求 1 熟練掌握常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法 . 2 會解常系數(shù)線性非齊次微分方程組 .第四節(jié) 高階線性微分方程1 教學(xué)內(nèi)容與重點 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，高階常系數(shù)線性齊次和非齊次微分方程求解， 歐拉方程。2. 教學(xué)要求1熟悉 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)； 2 熟練掌握高階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法，特別是二階常系數(shù)線性 齊次微分方程的求解問題 .3會求解兩類特殊非齊次項的高階常系數(shù)非齊次線性微分方程；4會解 Euler 方程 .第五節(jié) 微分方程的定性分析方法初步1. 教學(xué)內(nèi)容與重點自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)，穩(wěn)定性的根本概念，線性自治系統(tǒng)平衡位置穩(wěn)定性 的判定，非線性自治系統(tǒng)平衡位置穩(wěn)定性的判定，2. 教學(xué)要求(1) 了解自治系統(tǒng)，非自治系統(tǒng)、軌線、奇點等概念(2) 掌握微分方程零解的穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的根本概念，了解微分方程零解的不 穩(wěn)定和全局漸近穩(wěn)定的概念.(3) 會判別線性自治系統(tǒng)平衡位置的穩(wěn)定性(4) 會利用線性近