概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題及答案

1、一.選擇題(18分，每題3分)1. 如果P(A) P(B) 1，則事件A與B必定()(A)獨(dú)立；(B)不獨(dú)立；(C)相容；(D)不相容.2. 已知人的血型為 0、A、B、AB的概率分別是0.4； 0.3； 0.2； 0.1?，F(xiàn)任選4 人，則4人血型全不相同的概率為：()(A) 0.0024; (B) 0.00244 ； (C) 0. 24； (D) 0.242.3.51/兀設(shè)(X,Y) f(x,y)=0,22,x y : 1,則X與Y為()4.(A)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量；(B)獨(dú)立不同分布的隨機(jī)變量;(C)不獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量；(D)不獨(dú)立也不同分布的隨機(jī)變量某人射擊直到中靶為止，已知每次射

2、擊中靶的概率為0.75.數(shù)學(xué)期望與方差分別為則射擊次數(shù)的()(B)5設(shè)X1,X2,X3是取自N(,1)的樣本，以下"的四個(gè)估計(jì)量中最有效的是()(A) ?i(B)?2-X1-X21923X4 - 9十111115(C) ?-X1 -X2 X3 ； (D)x< XoX3 .3623412n 送(X)26.檢驗(yàn)假設(shè)H0Y2空102, H1 2 102時(shí)，取統(tǒng)計(jì)量2二旦 2 2(n),其10拒域?yàn)?=01)()(A)2 乞 0.1(n); (B)2 一 2.1 (n) ； (C)2 乞 5(n) ; (D)2 一 0.05(n).二. 填空題(15分，每題3分)1. 已知事件A，B有

3、概率P(A)=0.4，P(B)=0.5，條件概率P(B | A) = 0.3，則P(A 一 B)二.2. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為1234，則常數(shù)a, b, c應(yīng)滿足的條件,0.2 0.1+a 0.4b c 丿為.3. 已知二維隨機(jī)變量(X , Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x, y)，試用F(x, y)表示概率P(X a,Y . b)二4. 設(shè)隨機(jī)變量X U ( -2, 2) , Y表示作獨(dú)立重復(fù)m次試驗(yàn)中事件(X . 0)發(fā)生的次數(shù)，則 E(Y)D(Y)=.5. 設(shè)(Xi,X2, ,Xn)是從正態(tài)總體XN(X2)中抽取的樣本，則概率20P(0.37；2(Xi X)2 叮.76二2)二i 45.設(shè)X

4、X2, ,Xn為正態(tài)總體N( 2)(二2未知)的一個(gè)樣本，則的置信度為1-的單側(cè)置信區(qū)間的下限為.三. 計(jì)算題(54分，每題9分)1.自動(dòng)包裝機(jī)把白色和淡黃色的乒乓球混裝入盒子，每盒裝12只，已知每盒內(nèi)裝有的白球的個(gè)數(shù)是等可能的。為檢查某一盒子內(nèi)裝有白球的數(shù)量，從盒中 任取一球發(fā)現(xiàn)是白球，求此盒中裝的全是白球的概率。2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y)二 0'0,0 遼 x 遼 2,max0, x-1遼 y 遼 min1,x otherwise求：邊緣密度函數(shù)fx(x), fY(y).3. 已知隨機(jī)變量 X與Z相互獨(dú)立，且 X U(0,1),Z U(0, 0.2

5、)，Y = X Z，試求：E(Y), D(Y), .4. 學(xué)校食堂出售盒飯，共有三種價(jià)格 4元，4.5元，5元。出售哪一種盒飯是隨 機(jī)的，售出三種價(jià)格盒飯的概率分別為0.3，0.2，0.5。已知某天共售出 200盒，試用中心極限定理求這天收入在 910元至930元之間的概率。5. 設(shè)總體X的概率密度為f (xW (日+嘰3(0,1)9>-1為未知參數(shù).0,x 童(0,1)已知兀必2，Xn是取自總體X的一個(gè)樣本。求：(1)未知參數(shù)二的矩估計(jì)量;(2)未知參數(shù)二的極大似然估計(jì)量；(3) E(X)的極大似然估計(jì)量6. 為改建交大徐匯本部中央綠地，建工學(xué)院有5位學(xué)生彼此獨(dú)立地測量了中央綠地的面積

6、，得如下數(shù)據(jù)(單位：km2) 1.231.22 1.20 1.261.23設(shè)測量誤差服從正態(tài)分布試檢驗(yàn)(：二0.05)(1) 以前認(rèn)為這塊綠地的面積是 =1.23km2，是否有必要修改以前的結(jié)果？(2) 若要求這次測量的標(biāo)準(zhǔn)差不超過二= 0.015，能否認(rèn)為這次測量的標(biāo)準(zhǔn)差顯著偏大？四. 證明題(6分)設(shè)X1,X2 ,Xn是相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,二上的均勻分布的隨機(jī)變量序列，令Yn =maxXi，證明lim P(|Yn -日 <名)=1.1 蘭豈n_jpc I五是非題(7分，每題1分)1. 設(shè)樣本空間門-【1 / '2 / '3 / '4 1，事件A = L：1

7、34 1，則P(A) =0.75 .()2. 設(shè)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)為X,則5 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)未必為5X .()3設(shè)a, b為常數(shù)，F(xiàn)(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù).若F(a) <F(b),則 a<b.()4. 若隨機(jī)變量(X, Y) N(0,1; 0,1; -0.5)，則 X Y N(0,1)()5. E(XY) = E(X)E(Y)是X與Y相互獨(dú)立的必要而非充分的條件.()6. 若隨機(jī)變量X F(m, m)，貝財(cái)既率P(X <1)的值與自然數(shù)m無關(guān).()7置信度1 - ：確定以后，參數(shù)的置信區(qū)間是唯一的.()附分布數(shù)值表(1.45) =

8、0.926, (1.62) =0.9474, (1.30) =0.9032, (2.33) = 0.99t°.025 =2.7764,如25(5) =2.5706,鮎心(4) = 2.1318,鮎 (5) = 2.01500.025 ( 4) =11.143, 0.975 (4) = 0.484,0(49.488,0.95(40.711.選擇題（15分，每題3分）方括弧內(nèi)為B卷答案C AC A D . A D B CA .填空題(18分，每題3分)1.0.62 0.84；2.a -b c =0.3,且a，：-0.1,b e0.4,c _0b-a c=0.4,且a _0.2,b _-0

9、.3,c_0 ；3.1 F (a, b) - F (a,：) - F ( :, b)1F(6,22)-F(6,：)-F( ：,22);4.m/2, m/4 n/2, n/4 ；5. 0.985刃 S t_.(m-1)；.m6.R -_S t-.(n -1)0.98.、n '五.是非題（7分，每題1分）非非是是是是非.是非是非非非是三.計(jì)算題（54分，每題9分）1.解：令A(yù)=抽出一球?yàn)榘浊? Bt=盒子中有t個(gè)白球, t =0,1,2，12.1t由已知條件，P(B)=, P(A Bt) =131P(B = ,11由全概率公式,12P(A)八t=0由Bayes公式,P(% A)二,t =0

10、,1,2,12 ,12P(ABt吒”2,10 (3 分)P(BP(ABt)二右右13tm12P®2)P(AB12)P(A)1_73一12丄一 L13 - V2t =02_132.解：fx（X）x,二 2-x,仁 x E2fx(x)二0, otherwiseP(A)二丄' 丄11t=e101, x 0,10, 0,1(3分)2心）齊（4 分）(3分)(5分)fY(y)，y 0'10, y 0,1(4分)y,0 乞 y ”： 1fY(y)坯2 y, 1< y "(5 分)0,otherwise3解:1 1 1 11E(X2，E(YE(XPE(Z>2

11、+20 = 20( 3 分)cov(X,Y)二 E(X(X Z)E(X)E(X Z)1二 D(X)二石121 1D(Y)=D(X Z)訕X) D(Z)p 阪101120013150(3 分)256(3 分)910-920 ” X -E(X) 930-920)P(912 EX 乞 928) ： 2(1.298) -1= 0.8064 (4分)5解：(1)矩估計(jì)量么獸X -1彳1 -X(3 分)(2 )極大似然估計(jì)量_ -1 -1 In Xin i d7?二11 n ln Xin i壬(3 分)2004解：設(shè)Xi為第i盒的價(jià)格(i =1,2,，200.)，則總價(jià)永二' Xi (1 分)i=

12、1E(Xj)=4.6, D(XJ=0.19 (2 分)200E(X)八 E(XJ =200 4.6 =920 .i 二200D(X)八 D(XJ=200 0.19 =38.(2 分)叩1° 次豈 930)538 一 *D&產(chǎn).38-1 =2門(1.622)-1 =2 0.9474-1 =0.8948l?(X±1()21 In Xii Jl?(X)彳?1 W ln Xi -1iH(3 分)7.解：（1）假設(shè) H°:4=1.23Hi： 4 式1.23 H。：卩=1.20Hi：» 云 1.20（1 分）X _ 1 當(dāng)Ho為真，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 T=0 t（

13、n-1） （3分）SI、. n如（n 1）=如25=2.7764，拒絕域 W =（",2.77642 2.7764,畑）（3 分）2x =1.246,s2 = 0.0288 2 ,X =1.23, s2 =0.0224 2 T° =1.242，W，接受 H°.T。二 3.571 W，拒絕 H。（2 分）（2）當(dāng)H0為真，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量22 二（n）S 2（n 1）（3分）四.2（n -1）=0.05=9.488，；=14.86 W，拒絕 H0.證明題拒絕域 W 二9.488, ：）.（ 3 分）（2 分）證:1/日，x0,B .0, x 引 0,80, x 0xF（x） , 0 一 xI91,