山東省各市2012年中考數(shù)學(xué)分類解析 專題9 三角形

1、山東各市2012年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題9：三角形1、 選擇題1. （2012山東濱州3分）把ABC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值【 】A不變B縮小為原來的C擴(kuò)大為原來的3倍D不能確定【答案】A?！究键c】銳角三角函數(shù)的定義?！痉治觥恳驗锳BC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A的大小沒改變，所以銳角A的正弦函數(shù)值也不變。故選A。2. （2012山東德州3分）為了測量被池塘隔開的A，B兩點之間的距離，根據(jù)實際情況，作出如圖圖形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù)：BC，ACB； CD，ACB，

2、ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有【 】A1組 B2組 C3組 D4組【答案】C?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用?！痉治觥看祟}比較綜合，要多方面考慮：知道ACB和BC的長，可利用ACB的正切直接求AB的長；可利用ACB和ADB的正切設(shè)方程組求出AB；ABDEFD，可利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，求出AB；無法求出A，B間距離。因此共有3組可以求出A，B間距離。故選C。3. （2012山東濟(jì)南3分）如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則tanACB的值為【 】ABCD3 【答

3、案】A?！究键c】網(wǎng)格問題，銳角三角函數(shù)的定義?！痉治觥拷Y(jié)合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解：由圖形知：tanACB=。故選A。4. （2012山東濟(jì)寧3分）用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明AOC=BOC的依據(jù)是【 】ASSS BASA CAAS D角平分線上的點到角兩邊距離相等【答案】A。【考點】作圖（基本作圖），全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】連接NC，MC，根據(jù)SSS證ONCOMC，即可推出答案：在ONC和OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，ONCOMC（SSS）。AOC=BOC。故選A。5. （2012山東聊城3分）如圖，在ABC中，點D、E分別是AB

4、、AC的中點，則下列結(jié)論不正確的是【 】ABC=2DEBADEABCC DSABC=3SADE【答案】D。【考點】三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)三角形的中位線定理得出DE是ABC的中位線，再由中位線的性質(zhì)得出ADEABC，進(jìn)而可得出結(jié)論：在ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，DEBC，DE=BC，BC=2DE。故A正確。DEBC，ADEABC，故B正確。ADEABC，故C正確。DE是ABC的中位線，AD：BC=1：2，SABC=4SADE，故D錯誤。故選D。 .6. （2012山東泰安3分）如圖，為測量某物體AB的高度，在在D點測得A點的仰角為30°，

5、朝物體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點C，再次測得點A的仰角為60°，則物體AB的高度為【 】A米B10米C米D米【答案】A?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥吭谥苯侨切蜛DC中，D=30°，=tan30°。BD=。在直角三角形ABC中，ACB=60°，BC=。CD=20，CD=BDBC=。解得：AB=。故選A。7. （2012山東泰安3分）如圖，ABCD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點，若AB=5，CD=3，則EF的長是【 】A4B3C2D1【答案】D?！究键c】三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)。

6、【分析】連接DE并延長交AB于H，CDAB，C=A，CDE=AHE。E是AC中點，DE=EH。DCEHAE（AAS）。DE=HE，DC=AH。F是BD中點，EF是DHB的中位線。EF=BH。BH=ABAH=ABDC=2。EF=1。故選D。8. （2012山東煙臺3分）如圖是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O上下轉(zhuǎn)動，立柱OC與地面垂直，設(shè)B點的最大高度為h1若將橫板AB換成橫板AB，且AB=2AB，O仍為AB的中點，設(shè)B點的最大高度為h2，則下列結(jié)論正確的是【 】Ah2=2h1Bh2=1.5h1Ch2=h1Dh2=h1【答案】C?！究键c】三角形中位線定理?！痉治觥恐苯痈鶕?jù)三角形中位線定理進(jìn)行解答即

7、可：如圖所示：O為AB的中點，OCAD，BDAD，OCBD，OC是ABD的中位線。h1=2OC。同理，當(dāng)將橫板AB換成橫板AB，且AB=2AB，O仍為AB的中點，設(shè)B點的最大高度為h2，則h2=2OC。h1=h2。故選C。9. （2012山東棗莊3分）如圖，直角三角板ABC的斜邊AB=12，A=30°，將三角板ABC繞C順時針旋轉(zhuǎn)90°至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使點落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板平移的距離為【 】A. 6 B. 4 C.（6 ） D.（）【答案】C?！究键c】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，過B作BDAC

8、，垂足為B，在RtABC中，AB=12，A=30°，BC=AB=6，AC=ABsin30°=。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BC=BC=6，AB=ACBC=。在RtABD中，A=30°，BD=ABtan30°=（cm）。故選C。二、填空題1. （2012山東濱州4分）如圖，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=20°，則C= °【答案】40。【考點】三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥緼B=AD，BAD=20°，B=。ADC是ABD的外角，ADC=B+BAD=80°+20°=100°

9、。AD=DC，C=。2. （2012山東濱州4分）如圖，銳角三角形ABC的邊AB，AC上的高線CE和BF相交于點D，請寫出圖中的兩對相似三角形： （用相似符號連接）【答案】BDECDF，ABFACE?！究键c】相似三角形的判定?！痉治觥浚?）在BDE和CDF中，BDE=CDF，BED=CFD=90°，BDECDF；（2）在ABF和ACE中，A=A，AFB=AEC=90°，ABFACE。3. （2012山東濟(jì)寧3分）在ABC中，若A、B滿足|cosA|+（sinB）2=0，則C= 【答案】75°?！究键c】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，絕對值，偶次方，特殊角的三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定

10、理。【分析】|cosA|+（sinB）2=0，cosA=0，sinB=0。cosA=，sinB=。A=60°，B=45°。C=180°AB=180°60°45°=75°。4. （2012山東濟(jì)寧3分）如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上的一點，延長AD至E，使AE=AC，BAE的平分線交ABC的高BF于點O，則tanAEO= 【答案】?！究键c】等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】ABC是等邊三角形，ABC=60°，AB=BC。BFAC，ABF=ABC=30&#

11、176;。AB=AC，AE=AC，AB=AE。AO平分BAE，BAO=EAO。在BAO和EAO中，AB=AE，BAO=EAO，AO=AO，BAOEAO（SAS）。AEO=ABO=30°。tanAEO=tan30°=。5. （2012山東臨沂3分）在RtABC中，ACB=90°，BC=2cm，CDAB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EFAC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE= cm【答案】3?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥緼CB=90°，ECF+BCD=90°。CDAB，BCD+B=90°。ECF=B，在A

12、BC和FEC中，ECF=B，EC=BC，ACB=FEC=90°，ABCFEC（ASA）。AC=EF。AE=ACCE，BC=2cm，EF=5cm，AE=52=3cm。6. （2012山東濰坊3分）如圖所示，AB=DB，ABD=CBE，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件 ， 使ABCDBE (只需添加一個即可)【答案】BDE=BAC（答案不唯一）?！究键c】全等三角形的判定，開放型?！痉治觥扛鶕?jù)ABD=CBE可以證明得到ABC=DBE，然后根據(jù)利用的證明方法，“ASA”“SAS”“AAS”分別寫出第三個條件即可：ABD=CBE，ABD+ABE=CBE+ABE，即ABC=DBE。AB=DB，用“ASA”

13、，需添加BDE=BAC；用“SAS”，需添加BE=BC；用“AAS”，需添加ACB=DEB。7. （2012山東煙臺3分）計算：tan45°+cos45°= 【答案】2?！究键c】特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的計算?！痉治觥堪烟厥饨堑娜呛瘮?shù)值代入，然后進(jìn)行二次根式的計算即可求解：原式=1+=2。8. （2012山東棗莊4分）如圖所示，DE為ABC的中位線，點F在DE上，且AFB90°，若AB5，BC8，則EF的長為 _【答案】?！究键c】三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)?！痉治觥坑捎贒E為ABC的中位線，BC8，從而根據(jù)三角形中位線平行于第三邊并且等于

14、第三邊一半的性質(zhì)，得DE4；又由于AFB90°，點D為AB的中點，AB5，從而根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半的性質(zhì)，得DF。因此EFDEDF4。三解答題1. （2012山東濱州12分）如圖1，l1，l2，l3，l4是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A，B，C，D都在這些平行線上過點A作AFl3于點F，交l2于點H，過點C作CEl2于點E，交l3于點G（1）求證：ADFCBE；（2）求正方形ABCD的面積；（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面積S2

15、. （2012山東東營9分）如圖某天上午9時,向陽號輪船位于A處，觀測到某港口城市P位于輪船的北偏西67.5°，輪船以21海里/時的速度向正北方向行駛，下午2時該船到達(dá)B處，這時觀測到城市P位于該船的南偏西36.9°方向，求此時輪船所處位置B與城市P的距離？（參考數(shù)據(jù)：sin36.9°，tan36.9°，sin67.5°，tan67.5°）【答案】解：根據(jù)題意得：PCAB，設(shè)PC=x海里 在RtAPC中，。在RtPCB中，。AC+BC=AB=21×5，解得x=60。，（海里）。向陽號輪船所處位置B與城市P的距離為100海里。

16、【考點】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角函數(shù)定義。【分析】根據(jù)題意可得PCAB，然后設(shè)PC=x海里，分別在RtAPC中與RtPCB中，利用正切函數(shù)求得出AC與BC的長，由AB=21×5，即可得方程，解此方程即可求得x的值，從而求得答案。3. （2012山東菏澤6分）如圖，DAB=CAE，請補(bǔ)充一個條件： ，使ABCADE【答案】解：D=B或AED=C?！究键c】相似三角形的判定。【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理再補(bǔ)充一個相等的角即可。4. （2012山東菏澤10分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC和DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF邊上

17、的5個格點，請按要求完成下列各題：（1）試證明三角形ABC為直角三角形；（2）判斷ABC和DEF是否相似，并說明理由；（3）畫一個三角形，使它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點并且與ABC相似（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）【答案】解：（1）根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；顯然有AB2+AC2=BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理得ABC 為直角三角形。（2）ABC和DEF相似。理由如下：根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2。ABCDEF。（3）如圖： 【考點】勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，相似變換作圖?！痉治觥浚?

18、）利用網(wǎng)格借助勾股定理得出AB=2，AC= ，BC=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可。（2）求出AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三邊比值關(guān)系得出即可。 （3）根據(jù)P2P4 P5三邊與ABC三邊長度得出答案即可：連接P2P5，P2P4，P4P5，P2P5=，P2P4=，P4P5=2，AB=2，AC=，BC=5，DE=4，。ABCP2P4 P5。5. （2012山東萊蕪9分）某市規(guī)劃局計劃在一坡角為16º的斜坡AB上安裝一球形雕塑，其橫截面示意圖如圖所示已知支架AC與斜坡AB的夾角為28º，支架BDAB于點B，且AC、BD的延長線均過O的

19、圓心，AB12m，O的半徑為1.5m，求雕塑最頂端到水平地面的垂直距離(結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：cos28º0.9，sin62º0.9，sin44º0.7，cos46º0.7)【答案】解：如圖，過點O作水平地面的垂線，垂足為點E。 在RtAOB中，即， 。BAE=160，OAE=280160=440。在RtAOE中，即，9.3331.5=10.83310.83（m）。答：雕塑最頂端到水平地面的垂直距離為10.83 m?！究键c】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥咳鐖D，過點O作水平地面的垂線，構(gòu)造RtAOE。解RtAOB，求出OA；解Rt

20、AOE，求出OE，即可得出雕塑最頂端到水平地面的垂直距離。6. （2012山東聊城7分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島岸邊P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖）小船從P處出發(fā)，沿北偏東60°劃行200米到達(dá)A處，接著向正南方向劃行一段時間到達(dá)B處在B處小亮觀測媽媽所在的P處在北偏西37°方向上，這時小亮與媽媽相距多少米（精確到米）？（參考數(shù)據(jù)：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75，1.41，1.73）【答案】解：作PDAB于點D，由已知得PA=200米，APD=30°，B=37°，在RtP

21、AD中，由cos30°=，得PD=PAcos30°=200×=100（米）。在RtPBD中，由sin37°=，得PB=（米）。答：小亮與媽媽的距離約為288米。【考點】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），銳角三角函數(shù)?！痉治觥孔鱌DAB于點D，分別在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得結(jié)論。7. （2012山東青島8分）如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22º時，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45º時，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離(B

22、、F、C在一條直線上)(1)求教學(xué)樓AB的高度；(2)學(xué)校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin22º，cos22º，tan22º)【答案】解：（1）過點E作EMAB，垂足為M。設(shè)AB為x 在RtABF中，AFB=45°，BF=AB=x。BC=BFFC=x13。在RtAEM中，AEM=22°，AM=ABBM=ABCE=x2，又，解得：x12。教學(xué)樓的高12m。（2）由（1）可得ME=BC=x+1312+13=25。在RtAME中，AE=ME cos22°。A、E之間的距離約為27m?！究键c

23、】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）首先構(gòu)造直角三角形AEM，利用 ，求出即可。（2）利用RtAME中，求出AE即可。8. （2012山東泰安8分）如圖，在ABC中，ABC=45°，CDAB，BEAC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，ABE=CBE（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；（2）求證：BG2GE2=EA2【答案】解：（1）線段BH與AC相等。證明如下：BDC=BEC=CDA=90°，ABC=45°，BCD=45°=ABC，A+DCA=90°，A+ABE=9

24、0°，DB=DC，ABE=DCA，在DBH和DCA中，DBH=DCA，BD=CD，BDH=CDA， DBHDCA（ASA）。BH=AC。（2）證明：連接CG，F(xiàn)為BC的中點，DB=DC，DF垂直平分BC。BG=CG。ABE=CBE，BEAC，AEB=CEB。在ABE和CBE中，AEB=CEB，BE=BE，CBE=ABE，ABECBE（ASA）。EC=EA。在RtCGE中，由勾股定理得：CG2GE2=EC2。BG2GE2=EA2?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出BCD=ABC，ABE=DCA，推出DB=CD，根據(jù)A

25、SA證出DBHDCA即可。（2）根據(jù)DB=DC和F為BC中點，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根據(jù)BEAC和ABE=CBE得出AE=CE，在RtCGE中，由勾股定理即可推出答案。9. （2012山東威海11分）探索發(fā)現(xiàn)：已知：在梯形ABCD中，CDAB，AD、BC的延長線相交于點E，AC、BD相交于點O，連接EO并延長交AB于點M，交CD于點N。（1）如圖，如果AD=BC，求證：直線EM是線段AB的垂直平分線；（2）如圖，如果ADBC，那么線段AM與BM是否相等？請說明理由。學(xué)以致用：僅用直尺（沒有刻度），試作出圖中的矩形ABCD的一條對稱軸。（寫出作圖步驟，保留作圖痕跡）【答案】解：（

26、1）證明：AD=BC，CDAB，AC=BD，DAB=CBA。AE=BE。 點E在線段AB的垂直平分線上。 在ABD和BAC中，AB=BA，AD=BC，AC=BD， ABDBAC（SSS）。DBA=CAB。OA=OB。 點O在線段AB的垂直平分線上。 直線EM是線段AB的垂直平分線。（2）相等。理由如下： CDAB，EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB。 CDAB，ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB。 。AM2=BM2。AM=BM。（3）作圖如下： 作法： 連接AC，BD，兩線相交于點O1； 在梯形ABCD外DC上方任取一點E，連接EA，EB，分別交DC于點G，H； 連接BG，AH，兩

27、線相交于點O2； 作直線EO2，交AB于點M； 作直線MO1。則直線MO1。就是矩形ABCD的一條對稱軸?！究键c】平行的性質(zhì)，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的判定，復(fù)雜作圖?！痉治觥浚?）一方面由已知可得點E在線段AB的垂直平分線上；另一方面可由SSS證明ABDBAC，從而得DBA=CAB，因此OA=OB，得出點O在線段AB的垂直平分線上。從而直線EM是線段AB的垂直平分線。l （2）一方面由CDAB，得EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB，利用對應(yīng)邊成比例可得；另一方面由CDAB，得ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB，利用對應(yīng)邊成比例可得。從而得到，

28、即可得到AM=BM的結(jié)論。（3）按（2）的結(jié)論作圖即可。10. （2012山東濰坊10分）校車安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載某中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點C，再在筆直的車道上確定點D，使CD與垂直，測得CD的長等于21米，在上點D的同側(cè)取點A、B，使CAD=300，CBD=600 (1)求AB的長(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：)； (2)已知本路段對校車限速為40千米小時，若測得某輛校車從A到B用時2秒，這輛校車是否超速?說明理由 11. （2012山東煙臺10分）（1）問題探究如圖1，分別以ABC的邊AC與邊BC為邊，

29、向ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，過點C作直線KH交直線AB于點H，使AHK=ACD1作D1MKH，D2NKH，垂足分別為點M，N試探究線段D1M與線段D2N的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（2）拓展延伸如圖2，若將“問題探究”中的正方形改為正三角形，過點C作直線K1H1，K2H2，分別交直線AB于點H1，H2，使AH1K1=BH2K2=ACD1作D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分別為點M，ND1M=D2N是否仍成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由如圖3，若將中的“正三角形”改為“正五邊形”，其他條件不變D1M=D2N是否仍成立？（要求：在圖3中補(bǔ)全圖形，注明字母，直接寫出結(jié)論，不需證明）【答案】解：（1）D1M=D2N。證明如下：ACD1=90°，ACH+D1CK=180°90°=90°。AHK=ACD1=90°，ACH+HAC=90°。D1CK=HAC。在ACH和CD1M中，D1CK=HAC，AHC=C M D1=90°，AC=C D1， ACHCD1M（AAS）。D1M=CH。同理可證D2N=CH。D1M=D2N。（2）D1M=D2N成立。證明如下： 過點C作CG