(北京)北京高一以合數(shù)為除數(shù)所得的循環(huán)節(jié)也會(huì)有半九律

1、 以合數(shù)為除數(shù)所得的循環(huán)節(jié)也會(huì)有半九律 廖敢云摘要：本文闡述了除數(shù)為合數(shù)的相關(guān)余數(shù)的規(guī)則性，揭示了自然界存在的一種數(shù)字內(nèi)涵的美，并分析了一個(gè)偶位數(shù)循環(huán)節(jié)不一定具有半九律。關(guān)鍵詞： 循環(huán)節(jié) 余數(shù) 互質(zhì)1、幾種特殊數(shù)的性質(zhì)在真分?jǐn)?shù)a/b中，b=b*b：、若b=2，b為非2、5的質(zhì)數(shù)時(shí)，a/b=（a*5）/b/10，若 （a*5）/ b=Z+v, ( 1vb),那么a/b=（Z+v/b）/10，Z部分不被包含在循環(huán)節(jié)里；而b=5時(shí)，同理可推。也就是說，b為2或5時(shí)，所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)與a/b1a（b-1）產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)相同。而a中與b互質(zhì)的數(shù)所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)全部可以通過相關(guān)轉(zhuǎn)換成以b為除數(shù)所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)。、

2、 3是數(shù)字動(dòng)態(tài)形式里9的因數(shù)，當(dāng)b=3，b為質(zhì)數(shù)時(shí)：、化a/b為小數(shù)的過程中不會(huì)出現(xiàn)余-a的情況；、若n=1， b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)上數(shù)字之和為3的整數(shù)倍，且同一個(gè)循環(huán)節(jié)里計(jì)算“半九律”的結(jié)果為“半三或半六律”；、若n=2，b產(chǎn)生的同一個(gè)循環(huán)節(jié)里計(jì)算“合九律”的結(jié)果“合X律”，X為1至8中的任何一個(gè)數(shù)字。、同一個(gè)循環(huán)節(jié)里的任意兩個(gè)與3互質(zhì)的相關(guān)余數(shù)之差皆為3（或9）的整數(shù)倍。2、 合數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)在a/b中，1ab,b= b*b，b和b皆非2或5的質(zhì)數(shù)（以后相同），那么a/b化小數(shù)的過程中會(huì)產(chǎn)生三部分循環(huán)小數(shù)，一部分是由從1到（b-1）中有（b-1）個(gè)含有b為因數(shù)的數(shù)，這些數(shù)與b約去b后成為以a/b

3、化小數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)，1a（b-1）；同樣地，第二部分與第一部分過程一樣，是由a/b化小數(shù)產(chǎn)生的，1a（b-1）；第三部分是以b為除數(shù)，從1到（b-1）中與b互質(zhì)的數(shù)為被除數(shù)產(chǎn)生的，其能產(chǎn)生（b-1）-（b-1）-（b-1）即（b+1）-（b+b）個(gè)參與這部分循環(huán)節(jié)的數(shù)。從1到b-1中含有b、2 b、3 b（b-1）b和b、2b、3 b（b-1）b，通過演算，它們和為：b*（b+b-2）/2，由于b和b皆不為2或5的質(zhì)數(shù)，所以（b+b-2）/2是一個(gè)整數(shù)，由從1到b-1之和是b*（b-1）/2，而（b-1）/2-（b+b-2）/2也為整數(shù)，故第三部分的余數(shù)之和是b的整數(shù)倍。若b是w個(gè)數(shù)字9組成數(shù)

4、的因數(shù)，則b產(chǎn)生的第三部分循環(huán)節(jié)與由a/b（或a/b）產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)組成w位數(shù)除以b（或b）相同，并且w是（b-1）/2-（b+b-2）/2的因數(shù)。以b=133、b=7、b=19為例，由（b+1）-（b+b）=133+1-7-19=108位，但由于w=6，w=18，它們的最小公倍數(shù)為18，所以18個(gè)9組成的數(shù)就能被133整除，所以有6個(gè)18位的循環(huán)節(jié)。當(dāng)a=1時(shí)，循環(huán)節(jié)和相關(guān)余數(shù)如表1。 00751879699248120311010069251171061299313212333641081627440 表 1從表1排列可以看出，a+a=7K，而a+a=19K， a-a=7k,a-a=19k,

5、以上K、K、k、k皆為整數(shù)。、在a/b中，1ab,b= b*b，b和b、b所得的循環(huán)節(jié)位數(shù)分別為w、w、w，則w為w與w的最小公倍數(shù)，若w、w皆為偶數(shù)，設(shè)w/2=s, w/2=r，則第三部分相關(guān)余數(shù)中，a+a為b的整數(shù)倍，a與a之差為b的整數(shù)倍，而a+a為b的整數(shù)倍，a與a之差為b的整數(shù)倍。若ww且ww，第一行排w（或w）的整數(shù)倍p（或p）個(gè)相關(guān)余數(shù)所得的第一列和只是b（或b）的整數(shù)倍。而所得T有以b（或b）為除數(shù)所得的w/p（或w/p）個(gè)循環(huán)節(jié)組成的部分。、若w、w、w皆為偶數(shù)，且w/ w 、w/ w皆為奇數(shù)，那么第三部份循環(huán)節(jié)具有半九律；若 w、w有其一為質(zhì)數(shù)或皆為質(zhì)數(shù)，則第三部分同一個(gè)循

6、環(huán)節(jié)里沒有合九律，第j位相關(guān)余數(shù)到第j+ w-1位（或j+ w-1位）相關(guān)余數(shù)之和為b（或b）的整數(shù)倍即任意連續(xù)w（或w）個(gè)相關(guān)余數(shù)之和是b（或b）的整數(shù)倍。、若w是w的公倍數(shù)，則以b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)為數(shù)除以b結(jié)果始終還是b產(chǎn)生的循環(huán)，w位b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)組成的數(shù)除以b結(jié)果還是w/ w個(gè)b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)。3、 循環(huán)節(jié)的其它性質(zhì) 3.1平方數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)在a/b中, b=b，則產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)有兩部分，一部分由1到（b-1）除以b產(chǎn)生，另一部分由1到（b-1）中與b互質(zhì)的數(shù)除以b產(chǎn)生。3.2循環(huán)節(jié)的種數(shù)當(dāng)b為n個(gè)質(zhì)因數(shù)（非2、5）的積，從1到b-1中與b互質(zhì)的數(shù)之和總是b的整數(shù)倍，化a/b為小數(shù)所得的循環(huán)節(jié)由2-1個(gè)不同的除數(shù)產(chǎn)生。3.3什么情況下會(huì)有半九律現(xiàn)象在a/b中，b為n個(gè)質(zhì)因數(shù)（非2、5）的積，相應(yīng)的循環(huán)節(jié)位數(shù)為w、w、w、ww