空間幾何體的表面積和體積例題

1、例題講解：例1一個(gè)長方體全面積是 20cm2，所有棱長的和是 24cm,求長方體的對角線長解析：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、Icm依題意得：；'2(xy + yz + zx)=2°4(x+y+z) = 24(2)由(2)2 得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36( 3)由(3) ( 1)得 x2+y2+z2 = 16即所以-。點(diǎn)評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素(對角線、內(nèi)切)與面積、體積之間的關(guān)系。例.L如圖 所示，在平行六面體匕匚U八

2、中，已知/ ,3()求證：頂點(diǎn)二在底面 Lh上的射影在十的平分線上; ()求這個(gè)平行六面體的體積。圖圖解析：(一)如圖-,連結(jié) '-,貝y '底面 。作 交于，作'-交，于',連結(jié)。由三垂線定得得,從而''o點(diǎn)'在的平分線上。K-3兀cos43顯。2又在 中,3、2=30 2。，平行六面體的體積為2例一個(gè)長方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是- 2,6，這個(gè)長方體對角線的長是LT解析：設(shè)長方體共一頂點(diǎn)的三邊長分別為_,2 , =、.、3，則對角線 的長為,a2 b2 c =6 ;答案-'o點(diǎn)評：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積

3、、體積的幾何要素棱長。例4如圖，三棱柱 ABC- ABQ中，若E、F分別為AB AC的中點(diǎn)，平面 EBC將三棱柱分 成體積為 V V2的兩部分，那么 V : V2= o解析：設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面積為 S,體積為V,則V=V+Va= Sho E、F分別為AB AC的中點(diǎn),Sa aef= S1117V= h(S+ S+, S )= Sh34412V2=Sh-V = Sh,2,_2" - O點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是棱柱、 棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系, 關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)題型一：錐體的體積和表面積例（-上海，一-）在四棱錐1中,底面是邊長為的

4、菱形，/一- ，對角線 u與相交于點(diǎn)'-,丄平面- -：】，一與平面-.F所成的角為一-，求四棱錐 一 -二1的體積?解析：（）在四棱錐-中，由廠廠平面 得是-與平面亠：所成的角，+：:o+ + + +在一. 一 中一一 -:由一 于是3，而底面菱形的面積為 、3 o四棱錐 1:的體積一 - 33 o3點(diǎn)評：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力 方面主要考查空間想象能力。例一-（-京皖春文，-）在三棱錐-一中，口 U ，且U U-5 o （如圖所示）（）證明：；）求側(cè)面 u與底面 u所成二面角的大小;(.)求三棱錐的體積L。解析：()證明：- 一-。又

5、一一平面 L.o由于-，即U U,由三垂線定理，得1(-) ，一.一.。-是側(cè)面- -與底面 u所成二面角的平面角。在-一- l中，U5，得 - SB? - BC? -_-在.U中 LJ , U ， U JAC =2 =丄，SC 102口 -，即側(cè)面-與底面-所成的二面角的大小為一- (.)解：在中，-.SC2 - AC2 102 -52 75，252- U 11 空 75332125 36點(diǎn)評：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。 要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型 ：錐體體積、表面積綜合問題例匕是邊長為一的正方形，、分別是二一、，的中點(diǎn)，二一垂直于正方形一

6、一.1所在的平面，且- =，求點(diǎn)到平面的距離？解析：如圖，取一的中點(diǎn)連接一、構(gòu)造三棱錐 一 oG設(shè)點(diǎn)至U平面一-的距離為',7 = 4,2 ,=22 , U = - x 43 2 。4GO =4C02 GC2 = . （3、. 2）222 二罰8 4 »；22 °而L -平面也，且U=°11由 VB EFG =VGEFB，得EF GO h = _ EFB63點(diǎn)評：該問題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點(diǎn)為頂點(diǎn)，-為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是 解這類題的方法，從而簡化了運(yùn)算。OFE例（-一江

7、西理， ）如圖，在四面體ABCD中，截面 AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個(gè) 面都相切的球）球心 0,且與BC, DC分別截于E、 F,如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè) 四棱錐A- BEFD與三棱錐A- EFC的表面積分別是 S, S2,則必有（）A. Si <SaB. Si >S2C. Si=S2D. Si, S2的大小關(guān)系不能確定解析：連 L、 . U、T ,貝 Ur-g = 一冷+ 一 w+ s三丑F壬-打 土-=走片二-二呼壬曲=41而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故-一+二又面公共，故選-.點(diǎn)評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解

8、棱錐的體積、 表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。例一（北京理，）如圖-一，在多面體匚匕口八中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于 ，兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長、寬分別為,與_ ,.，且_ > : > ,兩底面間的距離為'o（求側(cè)面一-與底面所成二面角的大小；（）證明： 面也；）在估測該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式L估中截面-:來計(jì)算已知它的體積公式是=一（三底面=一予截面二冇底面），試判斷 帚與弓勺大小關(guān)系，并加以證明。6（注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）圖（）

9、解：過 U作底面 3的垂直平面，交底面于 幕，過 作,垂足為。如圖所示：平面一二平面U ,二 ,-為所求二面角的平面角過U作U,垂足為由于相對側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形 為等腰梯形。1 (-),又b2一d(>),QU.Q L.，即所求二面角的大小為b -db-d）證明：一-，&是矩形 匚匕的一組對邊，有- ,又丄是面 1廠與面1 的交線，-面。-是面二一-與面兒的交線，。-一是平面 口兒內(nèi)的一條直線， 在平面 匕外, 面 一 .。（.）估 V L證明：_ ： > IL, J > ,a cb d a cb d估(cd ab 4)-6 2 2 2h12_ 一，- -一 一 匚 -一_ （ ： _ ）h12-估 V 。點(diǎn)評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問題，是極具實(shí)際意義的問題。 考查了考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。例 （一）（一-一全國，）如果棱臺的兩底面積分別是、，中截面的面積是 J那么（）.2 So = S 亠 SSo = S S U. - - -一 = +，一二- 一（）（-一全國，）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為和，高為 ，則其體積為（）3解析：（）解析：設(shè)該棱臺為正棱