平面向量(新人教A版必修4)

1、平平 面面 向向 量量 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)學(xué)校：學(xué)校：教師：教師：平平 面面 向向 量量 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)平平 面面 向向 量量 表示表示 運算運算 實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積 向量加法與減法向量加法與減法 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積 平行四邊形法則平行四邊形法則向量平行的充要條件向量平行的充要條件平面向量的平面向量的基本定理基本定理三三 角角 形形 法法 則則向量的三種表示向量的三種表示向量定義：向量定義：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量：長度為長度為0的向量，記作的向量，記作0.（2）單位向量：）單位向量：長度為長度為1個單位長度的向量個

2、單位長度的向量.（3）平行向量：）平行向量： 也叫共線向量，方向相同也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量或相反的非零向量.（4）相等向量：）相等向量： 長度相等且方向相同的向量長度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：長度相等且方向相反的向量長度相等且方向相反的向量.幾何表示 : 有向線段有向線段向量的表示字母表示 : aAB 、等坐標(biāo)表示 : (x，y)若若 A(x1,y1), B(x2,y2)則則 AB = (x2 x1 , y2 y1)平平 面面 向向 量量 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)a向量的模（長度）向量的模（長度）1. 設(shè)設(shè) = ( x , y ),則則2. 若表示向量若表示向量 (x

3、1,y1)、B (x2,y2) ，則，則 ABa22yx 221221yyxx已知向量已知向量三、向量的運算三、向量的運算（一）向量的加法（一）向量的加法ABC三角形法則：ABCD平行四邊形法則：ab2、坐標(biāo)運算、坐標(biāo)運算：），（，），（設(shè)2211yxbyxa b ba a則），（2121yyxx1、作圖、作圖（二）向量的減法（二）向量的減法DBADAB2、坐標(biāo)運算：），（，），（設(shè)2211yxbyxa b ba a則），（2121yyxx1、作圖、作圖平行四邊形法則：abab+ab+ACBCABOAB3 3.加加法減法運算律法減法運算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交換律：

4、）交換律：2）結(jié)合律：）結(jié)合律：例例1 化簡化簡（1）（）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD BCCA分析分析利用加利用加法減法運算法則，借助結(jié)論法減法運算法則，借助結(jié)論AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0進行變形進行變形.解：解：原式原式= AB +（BO + OM + MB）= AB + 0 = AB（1）（2）原式原式= AB + BD + DA （BC + CA）= 0BA = AB練習(xí)練習(xí)2 如圖，正六邊形如圖，正六邊形ABCDEF中，中，AB=a、BC=b、 AF=c，用，用a、b、c表示向量表示向量AD、BE、BF、FC. A

5、FEDCB答案：答案：AD=2 bBE=2 cBF= caFC=2 a思考：思考： a、b、c 有何關(guān)系？有何關(guān)系？b =a + c平平 面面 向向 量量 小小 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)練習(xí)練習(xí)3 已知點已知點A（2，1）、）、B（1，3）、）、C（2，5）求）求 （1）AB、AC的坐標(biāo)；（的坐標(biāo)；（2）AB+AC的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； （3） ABAC的坐標(biāo)的坐標(biāo).（1） AB=（3，4），）， AC =（4， 4 ）（2）AB+AC=（ 7，0 ）（3） ABAC= （1，8）實數(shù)實數(shù) 與向量與向量 的積的積定義定義：坐標(biāo)運算：坐標(biāo)運算：其實質(zhì)就是向量的伸長或縮短！其實質(zhì)就是向量的伸長或縮短！若若 = (x

6、, y), 則則(x , y)= ( x , y)(3)=0(3)=0呢呢? ?非零向量平行（共線）的充要條件非零向量平行（共線）的充要條件aba=b （R且且b0）向量表示：向量表示：坐標(biāo)表示：坐標(biāo)表示：設(shè)設(shè)a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，則，則abx1y2x2y1=0平平 面面 向向 量量 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)平面向量的基本定理平面向量的基本定理 設(shè)設(shè) e1和和 e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任何一個向量平面內(nèi)的任何一個向量 ，有且只有一對實數(shù)，有且只有一對實數(shù)1、2 使使 =1 e1 +2 e2 不共線的向量

7、不共線的向量 e1和和 e2 叫做表示這一平面叫做表示這一平面 內(nèi)所有內(nèi)所有向量向量 的一組基底的一組基底1 e1 +1 e2 =2 e1 +2 e21= 2 1=2 向量相等的充要條件向量相等的充要條件 例例2 已知已知 分析分析 先求出向量先求出向量根據(jù)向量根據(jù)向量平行充要條件的坐標(biāo)表示平行充要條件的坐標(biāo)表示,解解: 思考思考: 此題還有沒有其它解法此題還有沒有其它解法?(k3,2k+2)(4(k3)10(2k+2)=0K=31 34,31031練習(xí)練習(xí)4 n為何值時為何值時, 向量向量思考思考: 何時何時 平平 面面 向向 量量 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)例例3設(shè)設(shè)AB=2(a+5b)，BC= 2a +

8、 8b，CD=3(a b)，求證：求證：A、B、D 三點共線。三點共線。 要證要證A、B、D三點共線，可證三點共線，可證AB=BD關(guān)鍵是找到關(guān)鍵是找到解：解：BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5bAB=2 BD且且AB與與BD有公共點有公共點B A、B、D 三點共線三點共線AB BD平平 面面 向向 量量 小小 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)練習(xí)練習(xí)5已知已知a=（1，0），），b=（1，1），），c =（10）求求和和，使，使 c =a +b.= 01、平面向量數(shù)量積的定義：、平面向量數(shù)量積的定義：bacos|ba 2、數(shù)量積的幾何意義：、數(shù)量積的幾何意義：.cos|的乘積方向上的投影在與

9、的長度等于babaaOABB1(四四) 數(shù)量積數(shù)量積abba）（ 1）（）（）（bababa2cbcacba ）（34、運算律、運算律:2121yyxxba3、數(shù)量積的坐標(biāo)運算、數(shù)量積的坐標(biāo)運算四、向量垂直的判定四、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（五、向量平行的判定五、向量平行的判定(共線向量的判定共線向量的判定)）（）（0/1aabba），（），（，其中）（221112210/2yxbyxayxyxab向量表示向量表示坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示向量表示向量表示坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示11223|A xyB xyAB （）若（ ， ），（ ， ），則 |a22yx 221221）（）（

10、yyxx），則，（）設(shè)（yxa 2六、向量的長度六、向量的長度，）（2|1aaa2|aa 七、向量的夾角七、向量的夾角|cosbaba222221212121yxyxyyxx向量數(shù)量積的運算律向量數(shù)量積的運算律交換律成立：交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：分配律成立：abba Rbababacbcacbabac特別注意：特別注意：（1 1）結(jié)合律不成立：）結(jié)合律不成立： ；（2 2）消去律不成立）消去律不成立 不能得到不能得到（3 3） =0=0不能得到不能得到 = = 或或 = =(4)(4)但是乘法公式成立：但是乘法公式成立： ； cbacbacaba cbb

11、aa00b 2222babababa2222bbaaba;222bbaa，則，、已知|10|8|6|2bababaDADCABDCDBAB）（）（線上填上適當(dāng)?shù)南蛄俊⒏鶕?jù)圖示，在下列橫211ABDC練習(xí)練習(xí)同向還是反向？平行？平行時它們是與）（垂直？與）（為何值時，），當(dāng)，（），（、已知babakbabakkba323123213.23,260,4212121的夾角與求若且夾角為為兩個單位向量、設(shè)ba，eebeea，eeo解：解： 2 22 22 21 12 21 12 22 22 21 11 12 22 2a a= =2 2e e+ + e e= =2 2e e+ + e e= = 4 4

12、e e+ + 4 4 e e e e+ + e e 2 22 22 21 11 12 2= = 4 4 e e+ +e e+ + 4 4 e e e e c co o s s6 6 0 0 1 1= = 4 4 1 1 + + 4 4 1 1 1 1+ + 1 1 = = 7 72 2 7a同理可得同理可得 7b.23,260,4212121的夾角與求若且夾角為為兩個單位向量、設(shè)ba，eebeea，eeo12122211222327622abeeeeee ee 217727cosbaba=1205.在在ABC中中 夾夾為為C CC CC CC Cm m = = ( (c co os s, ,s

13、 si in n) ), ,n n = = ( (c co os s, ,- - s si in n) )2 22 22 22 2且且 m m n n角角, ,3 3求求C；又又 21 1 1m m n n= =| |m m | | |n n| |c co os s = =c co os s = =3 33 32 2cosC= 3（1）解）解 c cc cc cc cm m = = ( (c co os s , ,s si in n) ), ,n n = = ( (c co os s , ,- - s si in n) )2 22 22 22 2 2 22 2c cc cm m n n = =

14、 c co os s- - s si i n n= = c co os sC C2 22 2且且c為為ABC-內(nèi)角內(nèi)角 C= 夾為夾3 3例例3 3、已已知知 a a = = 2 2, ,b b = = 1 1, ,a a與與b b的的角角，求求向向量量2 2 a a+ + 3 3 b b與與3 3 a a- - b b的的角角的的余余弦弦值值; ;2831 3728 1147cos1147373237912432222babbaaba28376332;31323169322222bbaababababbaaba)4(),2.()4(),3.()3(),2.()2(),1.()(49)23()

15、23)(4()()(3()2(0)()(1 ( ,1.22DCBAbababacbacacbbababaccbacba其其中中正正確確的的有有垂垂直直不不與與有有下下列列命命題題且且它它們們相相互互不不共共線線，是是任任意意的的非非零零平平面面向向量量設(shè)設(shè)例例典例講解D)3()2(60) 1 (3, 42.0babababa，求，求的夾角是的夾角是與與若若已知已知例例的夾角的夾角與與求求若若bababa,61)2()32()2(?2 呢呢ba?3 呢呢ba?)3()2(呢呢baba?)3(c (2) c (1),2,2,120, 3, 43.的的夾夾角角為為銳銳角角與與為為何何值值時時問問且且

16、的的夾夾角角為為與與已已知知例例dcddkbkadbacbaba.0 :的的夾夾角角為為銳銳角角與與不不能能保保證證向向量量注注baba!同同向向的的情情況況與與還還要要考考慮慮向向量量ba例例4已知：如圖所示，已知：如圖所示，ABCD是菱形，是菱形，AC和和BD是它的兩條對角線。求證是它的兩條對角線。求證 ：ACBD分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對兩個向量垂直的充要條件，而對 于于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式 的形式，也可以考慮坐標(biāo)的形式，也可以考慮坐標(biāo) 形式的充形式的充要條件。要條件。證法一：證法一

17、： ， ， （ ）（ ） =0 ACACACABABABABADADADADBDBDBD22|ADAB 證法二：以證法二：以O(shè)C所在直線為所在直線為x軸，以軸，以B為原為原點建立直角坐標(biāo)點建立直角坐標(biāo) 系，設(shè)系，設(shè)B(0，0)， A(a，b)，C（c，0） 則由則由ABBC得得a2+b2=c2 （c，0）（）（a，b)（ca，b），），（a，b）（c，0）（）（ca，b） c2 - a2 - b2 0 ，即，即 ACBD評述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運評述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運算，則將給解算，則將給解 題題 帶來一定的方便通過向量的坐標(biāo)帶來一定的方便通過向量的坐標(biāo)表示，可以把幾表

18、示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對于形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對于“數(shù)數(shù)形結(jié)合形結(jié)合”解題思解題思想的認(rèn)識和掌握想的認(rèn)識和掌握.ACBCBA BDBCBA ACACBDBD例例5 若非零向量若非零向量a和和b滿足滿足abab,證明：證明：ab分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識之后，分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識之后，解決途徑較多，解決途徑較多， 可以考慮兩可以考慮兩 向量垂直向量垂直 的充要條件的應(yīng)的充要條件的應(yīng)用，也可考慮面圖形的幾何性用，也可考慮面圖形的幾何性 質(zhì)，下質(zhì)，下面給出此題的三面給出

19、此題的三 種證法種證法:證法一：證法一： (根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì))設(shè)設(shè) a， b，由已知可得由已知可得a與與b不平行，不平行，由由abab得以得以 為為鄰邊的平鄰邊的平行四邊形行四邊形OACB的對角的對角 線線 和和 相相等等平行四邊形平行四邊形OACB是矩形，是矩形， ，abOAOAOAOCBAOBOBOB證法二：證法二：abab (a+b)2=(a-b)2 a2+b2+2ab= a 2+b 2-2ab ab0，即，即ab證法三：設(shè)證法三：設(shè)a（，），（，），b（，），），ab ，ab ， ， 化簡得：化簡得：0，ab0，ab22()()m pn q 22()()m

20、pn q22()()mpnq22()()mpn q例例6 、已知向量、已知向量a是以點是以點A(3，1)為起為起點，且與向量點，且與向量b（3，4）垂直的單位向量，求）垂直的單位向量，求a的的終點坐標(biāo)。終點坐標(biāo)。分析：此題若要利用兩向量垂直的充要分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)條件，則需假設(shè)a的終點坐標(biāo)，然后表示的終點坐標(biāo)，然后表示a的坐標(biāo)，再根的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量垂直的據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程充要條件建立方程解：設(shè)解：設(shè)a的終點坐標(biāo)為（的終點坐標(biāo)為（，）則則a（3，1）由題意）由題意由由得：得：（313）代入）代入得得1) 1() 3(0) 1( 4) 3( 322nm

21、nm41 25m21502090 解得解得 a的終點坐標(biāo)是（的終點坐標(biāo)是（評述：向量的坐標(biāo)表示是終點坐標(biāo)減去評述：向量的坐標(biāo)表示是終點坐標(biāo)減去起始點的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點起始點的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆?；煜?。上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點知識的同時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解重點知識的同時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標(biāo)題方法的靈活性，尤其是向量的坐標(biāo)化思路在解題時的應(yīng)用，將幾何與代化思路在解題時的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)

22、知識溝通起來。數(shù)知識溝通起來。.58,511.52,5192211nmnm或)58,511()52,519或.,2321)( ) 2( ; ) 1 ( 2, 0,2sin,2cos,23sin,23cos 4.的的值值求求實實數(shù)數(shù)的的最最小小值值為為若若函函數(shù)數(shù)和和求求已已知知向向量量例例babaxfbabaxxxbxxa., 0,320),23(cos2 ,(cos),0 , 1 ( (2); ) 1 (. 1,43),1 , 1 ( .2的的取取值值范范圍圍求求若若其其中中向向量量設(shè)設(shè)向向量量求求向向量量且且的的夾夾角角為為與與向向量量向向量量已已知知向向量量變變式式bnanxxxbann

23、mmnm 用兩根等長的細繩掛一個物體。繩子的最用兩根等長的細繩掛一個物體。繩子的最大拉力為大拉力為T,物體重量為物體重量為G,分析繩子受到的拉力大分析繩子受到的拉力大小小F1與兩繩子間的夾角與兩繩子間的夾角的關(guān)系？的關(guān)系？問題問題:F1F2FG 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型:（1） 逐漸增大時，逐漸增大時， |F1|如何變化？如何變化？（2） 為何值時，為何值時， |F1|最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？（3） |F1|能等于能等于|G|嗎？為什么？嗎？為什么？（4）如果繩子的最大承受力恰與重物）如果繩子的最大承受力恰與重物G的的重量相等重量相等 ，在什么范圍內(nèi)，繩子才不會斷？在什么范圍內(nèi)

24、，繩子才不會斷？CBOAD探求探求|F1|與夾角與夾角之間的關(guān)系之間的關(guān)系（5）如果繩子的最大承受力為）如果繩子的最大承受力為200N，G=200 N ， 在什么范圍內(nèi)，繩子才不會斷？在什么范圍內(nèi)，繩子才不會斷？ 3F1FG F2cos2 F1解：不妨設(shè)解：不妨設(shè) = ，由向量的，由向量的 平平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道：形的知識，可以知道： = 通過上面的式子，有：當(dāng)通過上面的式子，有：當(dāng)由由0到到180逐漸變大時，逐漸變大時， 由由0到到90逐漸變大，逐漸變大， 的值由大逐漸變小，因此的值由大逐漸變小，因此 ： 由小逐漸變大，即由

25、小逐漸變大，即F1 ，F(xiàn)2之間之間 的夾角越大越費力，夾角越小越省的夾角越大越費力，夾角越小越省力！力！ F2 F1 Gcos22cos22 F1F2F1FG F2cos2探究：探究：（1）為何值時，為何值時， 最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？ F1（2） 能等于能等于 嗎？為什么？嗎？為什么？ F1 G= F1 Gcos22答：在式中，當(dāng)答：在式中，當(dāng) =0時，時， 最大，最大， 最小且等于最小且等于cos2 F1 G2答：在（答：在（*）中，當(dāng)）中，當(dāng) = 即即=120時，時， = cos212 F1 GF2小結(jié)：小結(jié)： （1）、為了能用數(shù)學(xué)描述這個問題，我們）、為了能用數(shù)學(xué)描述這

26、個問題，我們要先把這一物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。如上題要先把這一物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。如上題目，只考慮繩子和物體的受力平衡，畫出相關(guān)目，只考慮繩子和物體的受力平衡，畫出相關(guān)圖形！圖形?。?）、由物理中的矢量問題化成數(shù)學(xué)中）、由物理中的矢量問題化成數(shù)學(xué)中的向量問題，用向量的有關(guān)法則解決問題！的向量問題，用向量的有關(guān)法則解決問題?。?）、用數(shù)學(xué)的結(jié)果解決物理問題，回答相）、用數(shù)學(xué)的結(jié)果解決物理問題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。關(guān)的物理現(xiàn)象。情景1：兩人一起提一個重物時,怎樣提它最省力?夾角越小越省力兩臂的夾角越小,手臂就越省力情景2:一個人在單杠上做引體向上時, 手臂怎樣握杠才省力?求：求：1 1）FF1

27、 1，F(xiàn)F2 2隨角隨角 的變化而變化的情況；的變化而變化的情況；2 2）當(dāng)）當(dāng)FF1 1 2G 2G時，求時，求 的取值范圍。的取值范圍。練習(xí)：如圖，在細繩練習(xí)：如圖，在細繩O O處用水平力處用水平力F F2 2緩慢拉起所受重力為緩慢拉起所受重力為 G G物體，繩子與垂直方向的夾角為物體，繩子與垂直方向的夾角為繩子所受的拉力為繩子所受的拉力為F1 F1 ，GF2F1 O問題延伸：問題延伸：解解:1:1）如圖，由力的平衡及向量加法的平行四邊形）如圖，由力的平衡及向量加法的平行四邊形 法則知：法則知：G = FG = F1 1 + F + F2 2OF2F1 GtanFF2 2GG1cos 解直

28、角三角形得解直角三角形得FF1 1G，F(xiàn)F1 1，F(xiàn)F2 2皆逐漸增大；皆逐漸增大；1cos 0 ， 2 21cos2 0,3 2 2）令）令FF1 1GG2G2G，得得090 當(dāng)當(dāng) 由由趨趨向向于于時時，例例4：如圖如圖，一條河流的兩岸平行，河的寬度，一條河流的兩岸平行，河的寬度d = 500m，一，一艘船從艘船從A處出發(fā)到河對岸。已知船的速度處出發(fā)到河對岸。已知船的速度 =10km/h，水流，水流的速度的速度 = 2km/h。 問：問：（1）行駛航程最短時，所用的時間是多少？行駛航程最短時，所用的時間是多少？ （2）行駛時間最短時，所用的時間是多少？）行駛時間最短時，所用的時間是多少？ v

29、1 v2分析：分析：（1）因為兩平行線之間的最短距離是它們的公垂線段。所）因為兩平行線之間的最短距離是它們的公垂線段。所以只有當(dāng)小船的實際運動方向（即合運動方向）是垂直于河岸的以只有當(dāng)小船的實際運動方向（即合運動方向）是垂直于河岸的方向時，小船的航程最小。方向時，小船的航程最小。 （2）小船過河的問題有一個特點，就是小船在垂直于河）小船過河的問題有一個特點，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不變的，我們只要使得在垂直于河岸方向上岸的方向上的位移是不變的，我們只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船過河所用的時間就最短，河水的速度是沿河岸的速度最大，小船過河所用的時間就最短，河水的速度是沿河

30、岸方向的，這個分速度和垂直于河岸的方向沒有關(guān)系，所以使小船方向的，這個分速度和垂直于河岸的方向沒有關(guān)系，所以使小船垂直于河岸方向行駛（小船自身的速度，方向指向河對岸），小垂直于河岸方向行駛（小船自身的速度，方向指向河對岸），小船過河所用時間才最短。船過河所用時間才最短。500mA把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型為：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型為：解（解（1） = = 所以所以 t = = 60 答：行駛的航程最短時，所用的時間答：行駛的航程最短時，所用的時間是是3.1min。 v- v12 v2296d v0.5963.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min）答：行駛的時間最短時，所用的

31、時間是答：行駛的時間最短時，所用的時間是3mind v10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1v （1）如圖所示，用兩條成）如圖所示，用兩條成120的等長的繩子懸掛一的等長的繩子懸掛一個燈具，已知燈具的重量為個燈具，已知燈具的重量為10N，則每根繩子的拉力是，則每根繩子的拉力是。12010N如圖，今有一艘小船位于如圖，今有一艘小船位于d = 60m寬的河邊寬的河邊P處，從這里起，在下游處，從這里起，在下游 =80m處河流有一處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為（與河岸平行），水速大小為5m/s為了使小為了使小船能安全