平而不俗,寓意深遠(yuǎn)

1、平而不俗，寓意深遠(yuǎn)2007年北京數(shù)學(xué)（理）試題淺析與教學(xué)建議100013 北京宏志中學(xué) 王芝平100071 北京市十二中 李振雷2007年北京高考在秉承前幾年命題理念的基礎(chǔ)上數(shù)學(xué)試題更趨穩(wěn)定與成熟試題純凈淡雅，內(nèi)涵平而不俗，穩(wěn)中有變，變中有新，題在書外，根在書內(nèi)試題注重能力立意，著重考查對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，但難度有所降低，給考生親切、平和的感覺，順應(yīng)構(gòu)建和諧社會(huì)的需要有利于首都素質(zhì)教育的實(shí)施，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展，對中學(xué)教學(xué)起到了積極而正確的引領(lǐng)作用一、對試卷特點(diǎn)的分析1突破傳統(tǒng)定式，考查基本素養(yǎng)客觀題中取消了把關(guān)試題，在平凡之中考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，以檢驗(yàn)考生們的共同基礎(chǔ)，用基本

2、題上得到的分?jǐn)?shù)控制整套試題的難度解答題突破傳統(tǒng)模式，沒有了考生非常習(xí)慣了的三角函數(shù)問題和顯性的導(dǎo)數(shù)問題，而是以非?；镜臄?shù)列問題拉開了解答題的序幕而倍受關(guān)注的壓軸題具有很高的原創(chuàng)性，試題新穎，既有相當(dāng)?shù)碾y度，也改變了多年來使幾乎所有考生都難以下手的做法，“上手”容易，而完全拿下來卻不易，必須有較強(qiáng)的分析能力和扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和技能試卷在新的格局中考查應(yīng)變能力，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)跳出“題海訓(xùn)練”的應(yīng)試怪圈，倡導(dǎo)扎扎實(shí)實(shí)掌握數(shù)學(xué)基本內(nèi)容和基本數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生面對萬千變化的未來作好準(zhǔn)備試題減少計(jì)算量，適當(dāng)控制了對解題速度的過高要求，增加了思維活動(dòng)的空間，為考生施展才華提供了時(shí)間上的保證，體現(xiàn)了“數(shù)

3、學(xué)活動(dòng)是一項(xiàng)思維活動(dòng)”的特征，為充分考查能力創(chuàng)造了條件，也為考生爭取高分贏得機(jī)會(huì)前17題都與教材中同類習(xí)題的難度相當(dāng)，與常規(guī)教學(xué)非常吻合這些比較容易的送分題目，能讓考生心理情緒穩(wěn)定、保持良好的應(yīng)試心態(tài)，有利于考生盡快進(jìn)入考試的最佳狀態(tài)，使能力水平得以正常發(fā)揮從整體上看，題目表述簡明易懂、設(shè)問層次分明，學(xué)生在解題過程中有拾級而上的感覺，如即使對于難度最大的20題也充分體現(xiàn)了漸進(jìn)區(qū)分的思想，因?yàn)橥ㄟ^（I）的解答，有較好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生，可以感悟到：若，則，又對于任意，都有，那么（II）就是一個(gè)簡單組合計(jì)數(shù)問題了，即T中的元素最多為個(gè)元素. 對于（III）的證明，可以認(rèn)為在集合和之間建立一個(gè)映射，即，

4、這個(gè)映射顯然是可逆的，即在集合和之間建立了一個(gè)一一映射，所以它們的元素一樣多此題提升了人們對“多”和“少”的理性認(rèn)識(shí). 這樣的設(shè)計(jì)能較好地反映考生學(xué)習(xí)的真實(shí)水平隨著考試科學(xué)的發(fā)展和新技術(shù)在考試中的應(yīng)用，高考題型不會(huì)一成不變、墨守成規(guī)這有利于克服平時(shí)教學(xué)中的模式訓(xùn)練，有利于將高中數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)到應(yīng)有的正確軌道上了這一點(diǎn)上北京命題做出了積極有益的探索，是非常成功的試卷2注重基礎(chǔ)，平而不俗注重基礎(chǔ)，突出主干內(nèi)容，所有試題都在教材和考試說明的范圍內(nèi)，很少要求特殊的解題技巧和繁復(fù)的計(jì)算客觀題大都源于課本，是課本中例題、習(xí)題的組合、類比、引申和拓展如，第1題與人教版教材（下同）第一冊（下）第22頁習(xí)題4.3

5、的第9題相同；第3題是由第二冊（下A）習(xí)題9.5的第8題（33頁）的變式改造；第4題是第一冊（下）第161頁，復(fù)習(xí)參考題五的B組第6題的改編；第5題是第二冊（下A）第92頁第8題和第112頁參考例題的簡單整合與改編；第6題與第二冊（上）第89頁的 第11題相似，都是涉及含參數(shù)的區(qū)域問題；第10題是第一冊（上）第135頁復(fù)習(xí)參考題三中B組第2題的簡化；第12題是第一冊（上）第43頁復(fù)習(xí)參考題一中B組第3題的簡化.試題平凡普通，無難題、怪題和偏題，無刁難考生之意，但是認(rèn)真研究便會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些試題平凡而不平庸試題不是課本題、模擬題的直接再現(xiàn)和簡單的組合與并接，而是挖掘深層次的內(nèi)涵，以新穎的立意或視角，

6、通過富有創(chuàng)意的變式與引申設(shè)計(jì)而成，雖似曾相識(shí)，但細(xì)細(xì)品位，卻寓意深遠(yuǎn)如，第3題實(shí)際上給出了含有存在量詞的4個(gè)“特稱命題”（新課程標(biāo)準(zhǔn)選修1-1中的內(nèi)容），對于“特稱命題”可構(gòu)造特殊圖形予以否定，從而可用排除法間接找出正確選項(xiàng)本題是對兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的深刻考查，該題告訴我們，直線不能作為平面平行傳遞關(guān)系的中介元素解決第4題的關(guān)鍵是對所給出的向量條件適當(dāng)變形，讀懂它所蘊(yùn)含的幾何意義，構(gòu)造適合條件的圖形，再觀察圖形，尋找解題思路. 第5題將建設(shè)和諧社會(huì)的執(zhí)政方針與數(shù)學(xué)知識(shí)巧妙結(jié)合起來，給人以親切、溫暖的感覺，本題把兩個(gè)有固定解題模式題目有機(jī)的融合在一起，有寬廣的解題空間.第6題突破了

7、“固定平面區(qū)域”的常規(guī)線性規(guī)劃模式，將目標(biāo)函數(shù)的動(dòng)態(tài)變平面區(qū)域?yàn)閯?dòng)態(tài)的，從表面上看是一個(gè)求平面區(qū)域的簡單題目，但由于參數(shù)的變化使得題目的難度加大，有力地考查了學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化角度解決問題的能力.第13題以2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)為背景設(shè)計(jì)的一個(gè)好題，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“玄圖”給我們展示的是對數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)理性的追求，它既有歷史的輝煌，又有現(xiàn)代的榮耀，是一道滲透著文化教育價(jià)值的試題.特別值得一提的是第14題，它突破了以函數(shù)解析式為依托研究函數(shù)性質(zhì)的固定模式，糾正了考生的“函數(shù)就是解析式”的狹隘認(rèn)識(shí)，有效地考查了對函數(shù)概念的真正理解.作為壓軸的20題僅以集合與映射為載體，解題過程所涉及的知識(shí)

8、甚少，但對閱讀理解能力、抽象的理性思維能力要求很高，堪為背景新穎的妙題這些題目考查的都是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中最基本、最重要的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法在高考試題呈百家爭鳴，百花齊放之時(shí)，作為經(jīng)濟(jì)文化中心的首都推出的這份“平而不俗”的試卷啟發(fā)我們：中學(xué)數(shù)學(xué)教育，還是應(yīng)該從培養(yǎng)學(xué)生平凡的基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力做起簡約而不簡單，有時(shí)候最平凡的，也就是最好的！3突出聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)知識(shí)交匯 北京試題以數(shù)學(xué)主干內(nèi)容為載體，堅(jiān)持從學(xué)科整體的高度去設(shè)計(jì)試題，以檢驗(yàn)學(xué)生能否形成一個(gè)有序的網(wǎng)絡(luò)化知識(shí)體系注重知識(shí)內(nèi)容的交匯和思想方法的融會(huì)貫通，突出考查基本數(shù)學(xué)素養(yǎng) 雖然客觀題總體難度不大，但仍具有一定的綜合性，很少有考查單一知識(shí)

9、的試題如，第2題綜合考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)的概念；第8題是一道綜合考查函數(shù)性質(zhì)的題目，集中考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的圖像，函數(shù)圖像的平移等，通過一個(gè)題目達(dá)到全面考查函數(shù)性質(zhì)的目的；第10題以等差數(shù)列為依托考查了數(shù)列前項(xiàng)和與第項(xiàng)的關(guān)系，考查了離散函數(shù)的性質(zhì). 題目簡單,用意并不膚淺，體現(xiàn)了不以難題考查重點(diǎn)知識(shí)的命題思想解答題更是具有綜合運(yùn)用知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題的特點(diǎn)第16題是“動(dòng)態(tài)”的立體幾何問題，這是高考中的創(chuàng)新題型，它滲透了一些“動(dòng)態(tài)”因素，給靜態(tài)的立體幾何賦予了活力，由于動(dòng)態(tài)的存在，也使本題更趨靈活，更具挑戰(zhàn)性；第18題以“柱形圖”的形式給出已知條件，考查采集

10、信息，加工數(shù)據(jù)的能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；第19題以橢圓為載體，以函數(shù)思想為靈魂，以不等式、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等為工具，非常自然地將解析幾何與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)等重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有機(jī)交匯融為一體，無矯揉造作之嫌，同時(shí)本題還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試題解法多樣的特點(diǎn)，為能力層次不同的考生提供了施展才華的空間，是近年來較為成功的試題之一本題除標(biāo)準(zhǔn)答案外，還可用教材中閱讀材料里介紹的多元均值不等式解答如下：， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值這說明，教材中的閱讀材料是非常重要的課程資源，不可不重視！也可用橢圓的參數(shù)方程將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解答如下：由，設(shè)，則，令，所以，由，得 ，容易得知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取

11、得最大值，即的最大值為突出學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與綜合，努力在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)命題，有益于在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從系統(tǒng)的高度上構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、融會(huì)貫通，防止單純記憶和模仿試卷給我們一線教師的啟示是深遠(yuǎn)的，我們必須摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)上很下功夫，讓學(xué)生牢固掌握最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法只有基礎(chǔ)厚實(shí)，才能舉一反三、觸類旁通、靈活運(yùn)用，這才是能力二、對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的建議1全面落實(shí)雙基，發(fā)展理性思維數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容是數(shù)學(xué)知識(shí)的主體一些學(xué)生學(xué)習(xí)成績（包括考試成績）不理想，盡管原因是多方面的，但雙基未落實(shí)、重點(diǎn)知識(shí)未掌握無疑是主要原因因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，務(wù)必回歸課本

12、夯基礎(chǔ)、抓住小題做文章，盡可能地從學(xué)生熟知的實(shí)際出發(fā)，揭示知識(shí)、技能和基本方法的形成、應(yīng)用和發(fā)展的過程，努力使學(xué)生通過自身的情感體驗(yàn)盡快將新知識(shí)納入自己已有的認(rèn)知系統(tǒng)，并著力引導(dǎo)學(xué)生做好重點(diǎn)知識(shí)的梳理和總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的催化劑因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生挖掘和提煉數(shù)學(xué)知識(shí)本身所蘊(yùn)涵著的豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，并能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用它們解決問題使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用函數(shù)與方程思想建立知識(shí)與知識(shí)之間的相互聯(lián)系，用數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)數(shù)與形之間的相互映證，用分類與整合的思想落實(shí)局部與局部之間的相互融合，用化歸思想完成問題與問題之間的相互轉(zhuǎn)化，用特殊與一般的思想發(fā)展具

13、體與抽象的辯證思維，用有限與無限的思想實(shí)現(xiàn)量變向質(zhì)變的偉大跨越，用或然與必然的思想揭示隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)部所蘊(yùn)涵的規(guī)律與此同時(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、演繹證明、運(yùn)算求解、直覺猜想、歸納抽象等思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力2提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力在全面落實(shí)雙基的同時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)善于引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的探索和問題的求解中逐步提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力例如，關(guān)于思維能力的培養(yǎng)，可以通過一題多解或多題一解培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性；通過命題的推廣或一題多變培養(yǎng)思維的深刻性和廣闊性；通過探究發(fā)現(xiàn)或特值檢測培養(yǎng)思維的敏捷性和嚴(yán)密性；通過公式鑒賞或錯(cuò)例辨析培養(yǎng)思維的科學(xué)性和批判性對實(shí)踐能力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)與社會(huì)

14、生產(chǎn)實(shí)踐的聯(lián)系，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)問題以及社會(huì)熱點(diǎn)問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析問題，篩選和提取有用的信息和數(shù)據(jù)，研究它們的數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，并用數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力對于運(yùn)算能力，重點(diǎn)應(yīng)放在培養(yǎng)學(xué)生怎樣恰當(dāng)選擇法則、公式進(jìn)行式子變形和數(shù)據(jù)處理，怎樣目標(biāo)和條件尋找和設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，應(yīng)使學(xué)生不但會(huì)精確計(jì)算，而且還會(huì)估算和近似計(jì)算對于空間想象能力，要培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、畫圖和對圖形的想象能力通過有圖想圖和無圖想圖，（心中有圖象，解題不亂撞），以此實(shí)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)語言的互譯此外，應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識(shí)，使學(xué)生敢于用學(xué)過的知識(shí)試著解決從未見過的新問題，或用即時(shí)學(xué)到的知識(shí)解決從未見過的新問題3改革教學(xué)方式，提高復(fù)習(xí)效益目前高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主要方式仍是以教師講授為主，高三更是如此這種方式，無法揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，阻礙了學(xué)生思維的發(fā)展，不利于學(xué)生能力的提高因此，我們應(yīng)當(dāng)在開放的教學(xué)思