多元函數(shù)微分Word版

1、第八章 多元函數(shù)的微積分學(xué)上冊(cè)研究了一元函數(shù)微積分學(xué)，利用這些知識(shí)，我們可以求直線上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度，也可以求曲線的切線的斜率，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值等，但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因?yàn)橐辉瘮?shù)只是研究了由一個(gè)因素確定的事物。一般地說(shuō)，研究自然現(xiàn)象總離不開(kāi)時(shí)間和空間，確定空間的點(diǎn)需要三個(gè)坐標(biāo)，所以一般的物理量常常依賴于四個(gè)變量，在有些問(wèn)題中還需要考慮更多的變量，這樣就有必要研究多元函數(shù)的微分學(xué)。多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)的微分學(xué)的推廣，所以多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)有許多相似的地方，但也有許多不同的地方，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)特別注意它們的不同之處。一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求(1) 理解多

2、元函數(shù)的概念。(2) 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。(3) 理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，以及全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。(4) 掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。(5) 會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。(6) 了解曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線，并掌握它們的方程的求法。(7) 理解多元函數(shù)極值的概念，會(huì)求函數(shù)的極值。了解條件極值的概念，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題。(8) 理解二重積分積分的概念，了解并會(huì)應(yīng)用重積分的性質(zhì)。(9) 熟練掌握利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)

3、計(jì)算二重積分的方法。二、教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)：1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)；2 偏導(dǎo)數(shù)的定義；全微分的定義3 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；隱函數(shù)的求導(dǎo)法則4 多元函數(shù)的極值與最值的求法5 二重積分概念，二重積分的計(jì)算。難點(diǎn)：1 多元函數(shù)微分學(xué)的幾個(gè)概念，即多元函數(shù)極限的存在性、多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性、全微分的存在性、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系；2 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則中，抽象函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；3 由方程組確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；4 條件極值的求法5 對(duì)二重積分概念的理解，將重積分化為累次積分時(shí)的定限及更換積分次序三、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：1 多元函數(shù)微分學(xué)的幾個(gè)概念的深刻背景；2 多元復(fù)

4、合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用；3 由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)，推廣到由方程組確定的隱函數(shù)4 利用多元函數(shù)微分學(xué)的知識(shí)研究空間曲線和曲面的性質(zhì)；5 將偏導(dǎo)數(shù)的概念推廣到方向?qū)?shù)，并由此得到梯地的概念6 利用多元函數(shù)微分學(xué)的知識(shí)研究無(wú)條件極值與條件極值。1 / 627. 二重積分概念的深刻背景8. 二重積分的換元積分法9. 重積分的實(shí)際應(yīng)用§8.1多元函數(shù)的基本概念一、內(nèi)容要點(diǎn)1 平面點(diǎn)集 維空間2 多元函數(shù)的概念3 多元函數(shù)的極限4 多元函數(shù)的連續(xù)性二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求： 1理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。 2了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

5、教學(xué)注意點(diǎn)：多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)極限的定義表面上看起來(lái)非常相似，但也有不同的地方，要特別提醒學(xué)生注意，一元函數(shù)的方向極限只有兩個(gè)，即左極限和右極限，但多元函數(shù)的方向極限有無(wú)限多個(gè)，動(dòng)點(diǎn)可以沿著直線的方向趨于定點(diǎn)，也可以沿著曲線的方向趨于定點(diǎn)，這意味著多元函數(shù)的極限較一元函數(shù)的極限復(fù)雜得多。說(shuō)明1：把一元函數(shù)的概念推廣到多元函數(shù)之前必須把多維空間的領(lǐng)域概念解釋清楚，因?yàn)槎嘣瘮?shù)許多與一元函數(shù)不同的特殊性質(zhì)是由多維空間中的領(lǐng)域性質(zhì)決定的。往往學(xué)生自以為已經(jīng)掌握了多元函數(shù)的概念，遇到實(shí)際問(wèn)題還是理解不了。說(shuō)明2：多元函數(shù)的極限是比較難理解的概念，要分清二重極限與二次極限的區(qū)別與兩者的關(guān)系。說(shuō)明3

6、：在多元函數(shù)的范圍內(nèi)仍有基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的概念。一、 平面區(qū)域首先我們來(lái)了解一下在平面區(qū)域內(nèi)平面點(diǎn)集的知識(shí)：1、 鄰域：給定平面內(nèi)P0（x0，y0）點(diǎn)，和某數(shù)>0，以P0點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，該圓內(nèi)所有點(diǎn)的全體，即，稱為P0點(diǎn)的鄰域，記做：，簡(jiǎn)記；2、 內(nèi)點(diǎn)：在平面點(diǎn)集，存在P0的一個(gè)鄰域，使得，則稱P0為的內(nèi)點(diǎn)；3、 開(kāi)集：平面點(diǎn)集內(nèi)的所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱點(diǎn)集為開(kāi)集；4、 邊界點(diǎn)：在平面上，存在某個(gè)點(diǎn)P，在P的任何鄰域內(nèi)，都含有點(diǎn)集的點(diǎn)，又含有不是點(diǎn)集的點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集的邊界點(diǎn)。【注】：1、點(diǎn)P可以在點(diǎn)集內(nèi)，也可以不在。2、點(diǎn)集中孤立在外的點(diǎn)，稱為孤立點(diǎn)，規(guī)定，孤立點(diǎn)為邊界點(diǎn)。

7、3、所有邊界點(diǎn)組成的集合稱為邊界。5、 連通：如果點(diǎn)集內(nèi)的任意兩點(diǎn)都能用全屬于的折線連接起來(lái)，則稱為連通的。6、 區(qū)域：連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱區(qū)域。稱區(qū)域連同他的邊界為閉區(qū)域。7、 有界無(wú)界區(qū)域：對(duì)于平面點(diǎn)集，如果存在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓盤D，使，則稱為有界區(qū)域，否則稱為無(wú)界區(qū)域。8、 聚點(diǎn)：P點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域內(nèi)都有無(wú)限個(gè)屬于點(diǎn)集的點(diǎn)，稱P為點(diǎn)集的聚點(diǎn)。 【注】：平面點(diǎn)集中點(diǎn)的關(guān)系如圖,其中： 二、 二元函數(shù)的極限和連續(xù)性1、 二元函數(shù)定義1：設(shè)有變量x，y和z，如果當(dāng)變量x，y在某一固定的范圍內(nèi)，任意取一對(duì)值時(shí)，變量z按照一定的法則f總有唯一的確定的值與之對(duì)應(yīng)，就稱z為x，y的二元函數(shù)，

8、記作：，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量。自變量x，y的取值范圍稱為二元函數(shù)的定義域，一般用大寫字母D來(lái)表示?！咀ⅰ?、與定義1相似，我們可以直接定義n元函數(shù)（n1）； 2、定義1中，當(dāng)x，y的值取定后，z的取值就根據(jù)f的方程來(lái)定。通常情況下，這個(gè)值是唯一的，這時(shí)我們稱為單值函數(shù)，但有時(shí)侯取值不是唯一的，這時(shí)我們稱為多值函數(shù)。如：。一般情況，我們討論的函數(shù)都是單值函數(shù)，如果是多值函數(shù)我們會(huì)特別說(shuō)明或者用多個(gè)單值函數(shù)來(lái)處理。3、二元函數(shù)的定義域有兩種。其一：我們規(guī)定的定義域，即中，x，y的取值范圍。如：，其中的定義域就是。其二：我們給定的函數(shù)，使得z有確定取值的（x，y）的取值范圍。如：，其定

9、義域?yàn)椋篋=(x，y)| 。 4、二元函數(shù)的圖形由上一章的內(nèi)容可知是一張曲面。 5、兩二元函數(shù)相等，即定義域相等且起對(duì)應(yīng)法則也必須相等?！纠壳蟮亩x域。 解：顯然要使得上式有意義。必須滿足。2、 二重極限 定義2：設(shè)P0(x0，y0)為函數(shù)定義域D的聚點(diǎn)，如果當(dāng)定義域內(nèi)任意一點(diǎn)P（P0除外），以任何方式趨近P0時(shí)，即：，都有，則稱在的P0二重極限為A。語(yǔ)言表示：，當(dāng)時(shí)，恒有：，記：。三、求極限的方法1、一元函數(shù)求極限的方法及運(yùn)算法則（除L.hospital法則外）對(duì)多元函數(shù)依舊成立。如：兩個(gè)重要極限，等價(jià)無(wú)窮小法則等等。 例（1）、 （2 ）、 解：（1）：=e （2）： 又 原極限=02、

10、定義中提到任意方式趨近，我們可從中推斷出：當(dāng)我們能找到兩條不同的路徑L1，L2，使得，但是函數(shù)取得的極限卻是不同的A，B時(shí)，則我們稱其函數(shù)極限不存在。例討論，在（0，0）處的極限。 解：取不同路徑y(tǒng)=kx，當(dāng)x趨近0時(shí)，y趨近0，但方式不同，顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。所以我們說(shuō)函數(shù)在（0，0）的極限不存在。3、 二次極限與二重極限的關(guān)系稱和為函數(shù)在點(diǎn)（x0,y0）的二次極限?！咀ⅰ慷螛O限存在不一定二重極限存在，同理二重極限存在不一定二次極限存在。例（1）顯然有：，但是二次極限不存在。 （2）、上面例題說(shuō)明，在（0，0）處的二重極限不存在。但是其二次極限=0。四、 函數(shù)的連續(xù)性及性質(zhì)

11、定義3：設(shè)P0是函數(shù)定義域D上的聚點(diǎn)，且，如果：，則稱函數(shù)在點(diǎn)P0（x0,y0）連續(xù)，否則稱該點(diǎn)為不連續(xù)點(diǎn)?！纠浚喝斡缮厦胬}可知，在（0，0）處是不連續(xù)的?！咀ⅰ浚?、等價(jià)定義：函數(shù)在點(diǎn)P0（x0,y0）連續(xù)（2）、利用多元函數(shù)的連續(xù)性來(lái)解決極限問(wèn)題。例（1）、求極限 解： ，且 原極限=0性質(zhì)1、（最大值和最小值）若函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)f在D上有界，并且能取得最大值與最小值。性質(zhì)2、（介值定理）：設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若P1（x1，y1），P2（x2，y2）D，且，則對(duì)任何滿足不等式的實(shí)數(shù)k，總存在P0（x0，y0）點(diǎn)，使得。特別：取得函數(shù)可以取得最大值與最小值之間的一

12、切值。§8.2 偏導(dǎo)數(shù)一、內(nèi)容要點(diǎn)1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法2 高階偏導(dǎo)數(shù)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，并會(huì)求具體多元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)，知道多元函數(shù)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。教學(xué)注意點(diǎn)：在一元函數(shù)中，可導(dǎo)的要求比連續(xù)的要求更高，即可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。而對(duì)多元函數(shù)而元，偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，多元函數(shù)卻不一定連續(xù)，這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的本質(zhì)差別，應(yīng)讓學(xué)生舉出反例，如說(shuō)明1：多元函數(shù)的連續(xù)性要給出兩種定義，補(bǔ)上精確的定義方式（即用“-”語(yǔ)言的定義方式，以便讓學(xué)生能深刻理解多元函數(shù)連續(xù)的意義。說(shuō)明2：閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與一元函數(shù)的情形幾乎完全相

13、同，不必多做解釋。說(shuō)明3：說(shuō)明多元函數(shù)連續(xù)性和偏導(dǎo)數(shù)存在沒(méi)有直接關(guān)系，這一點(diǎn)與一元函數(shù)的情形是根本不同的，原因是偏導(dǎo)數(shù)只有一維的變化概念，極限至少是二維的變化概念。說(shuō)明4：混合導(dǎo)數(shù)與次序無(wú)關(guān)的條件在初等函數(shù)的范圍內(nèi)是很容易滿足的，不必過(guò)分強(qiáng)調(diào)它的條件。 說(shuō)明5：在二元函數(shù)的情況，函數(shù)在某一點(diǎn)可微的幾何意義就是曲面在這一點(diǎn)有切平面存在。說(shuō)明6：函數(shù)在某一點(diǎn)可微可以保證函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性和偏導(dǎo)數(shù)存在，但不能保證偏導(dǎo)數(shù)在這一點(diǎn)連續(xù)，可以舉出反例。說(shuō)明7：在所有介紹的條件中，偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性是最強(qiáng)的。函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)可以保證函數(shù)在這一點(diǎn)可微、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)存在。一、偏導(dǎo)數(shù)概念 偏增量： 全增量：

14、定義1：設(shè)函數(shù)在P0（x0，y0）的某鄰域內(nèi)有定義，。若存在，則稱在P0（x0，y0）點(diǎn)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)存在，且其極限值為其在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)。 記做：、或者、，即：=同理：=偏導(dǎo)(函)數(shù)：如果函數(shù)在D內(nèi)的每一點(diǎn)（x，y）都有偏導(dǎo)數(shù)，則稱、為的兩個(gè)偏導(dǎo)(函)數(shù)。2、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【注】1、求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，將y視為常數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)數(shù)。求對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，將x視為常數(shù)，對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。2、偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)、是一個(gè)整體，不像可以看成dy除以dx。【例】（1）、設(shè)，則求， 解：， 視y為常數(shù)，則； 又，視z為常數(shù)，則； 又，視x為常數(shù)，則。同時(shí)，由上面計(jì)算可知。尤其注意在不等號(hào)的左邊表達(dá)式是錯(cuò)誤的。（2）、設(shè)在點(diǎn)（1，

15、2）處的偏導(dǎo)數(shù)。，解：；（3）、設(shè)，。求f在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因?yàn)楹瘮?shù)在整個(gè)定義域內(nèi)表達(dá)形式不一樣，所以在這里我們只能根據(jù)定義來(lái)求解。=3、求在P0（x0，y0）的偏導(dǎo)數(shù)的方法方法一：首先求出其偏導(dǎo)函數(shù)、，在代入該點(diǎn)的坐標(biāo)值（x0，y0）。方法二：比如求時(shí)。通常我們先代入y=y0，得到，在對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得，再代入x=x0。【例】：，求。解：，4、偏導(dǎo)數(shù)存在和函數(shù)連續(xù)的關(guān)系（1） 例題：，在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù)。（2） 例題：，在（0，0）處連續(xù)，但是偏導(dǎo)數(shù)不存在。5、幾何意義表示：曲面與平面y=y0相交的曲線Cx，在平面y=y0內(nèi)在x=x0處的切線斜率。其中：，如圖所示：一、

16、高階偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)有函數(shù)，稱，為函數(shù)的二階純偏導(dǎo)數(shù)，而稱，為函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)。【注】，定理1：若函數(shù)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則兩者相等。證明略【例】：設(shè)，求，。解：，。=；。三、綜合習(xí)題【94-1】：在點(diǎn)（x0,y0）處的偏導(dǎo)數(shù)都存在，是在（x0,y0）連續(xù)的（ ）。（A）：充要條件 （B）充分非必要條件 （C）非充分非必要條件。解：由上面可知，答案是（C）【92-1】：，在（0，0）處（ ）。（A）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 （B）連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在（C）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 （D）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在解：由上可知，答案是（C）【94-1】，求解：代入，得=。§8.3 全微分一、內(nèi)

17、容要點(diǎn)1 全微分的定義；2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1 理解全微分的概念，2 會(huì)求全微分，3 了解全微分存在的必要條件和充分條件，4 了解全微分形式的不變性，5 了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。教學(xué)注意點(diǎn)：要求學(xué)生對(duì)全微分的原始定義有很好的理解。在一元函數(shù)中，可導(dǎo)與可微是等價(jià)的。但對(duì)多元函數(shù)而言，可微一定可導(dǎo)，可導(dǎo)卻不一定可微。另外，還要讓學(xué)生知道，但對(duì)多元函數(shù)而言，可微一定連續(xù)。判斷全微分存在的充分條件是偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是微分運(yùn)算中的最基本的法則，務(wù)必熟練應(yīng)用。一、 概念定義：設(shè)在P（x，y）的某鄰域U內(nèi)有定義，對(duì)，若：，其中，A，B為與，無(wú)關(guān)的常

18、數(shù)，則稱在P（x，y）點(diǎn)的全微分存在，或者稱其在該點(diǎn)是可全微分的，記其全微分為，且。同一元函數(shù)類似，在這里規(guī)定，即：。二、 概念的關(guān)系定理1：可微函數(shù)一定連續(xù)。（注：不連續(xù)的函數(shù)一定不可微。）證明：設(shè)在P（x，y）處可微分，則：在P（x，y）處連續(xù)。定理2：可微函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一定存在，且證明：設(shè)在P（x，y）處可微分，則，對(duì)，因?yàn)锳、B與、無(wú)關(guān)，所以令，上式依然成立。既 同理：令，得到：。 【注】（1）、討論函數(shù)在P（x，y）處是否可微的方法：若：=0，則在P（x，y）處可微分。否則不可微分。【例】：討論，在（0，0）處是否可微分。 解：由前面可知：=0 ，該極限不存在。 在（0，0）處不可微。

19、（2）、證明函數(shù)不可微的一些特殊方法：1、 函數(shù)不連續(xù)一定不可微；2、 如果一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在，則不可微。 上面例題的證明方法2：因?yàn)楹瘮?shù)在（0，0）點(diǎn)不連續(xù)，所以肯定不可微。 定理3：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)可微分。 證明： ，由Lagrange中值定理： = =，其中 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) ， 其中，代入：由于： 函數(shù)可微。綜合：函數(shù)在（x，y）點(diǎn)的關(guān)系例題：1、，在（0，0）點(diǎn)可微，偏導(dǎo)數(shù)存在，但是偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)；2、在（0，0）點(diǎn)；3、，在（0，0）?！纠吭O(shè)，（1）求； （2）求 解： 【例】求的全微分解：， 顯然這三個(gè)函數(shù)在空間中任意一點(diǎn)（x，y，z）點(diǎn)軍連續(xù)，在每一點(diǎn)均可微，其全微分：。&#

20、167;8.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、內(nèi)容要點(diǎn) 1復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 設(shè)，則，且 2復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 設(shè)，則，且 3復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)的情形 設(shè)，則，且二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1 會(huì)求復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形2 理解并會(huì)求復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形3 會(huì)求復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)的情形教學(xué)注意點(diǎn)：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則實(shí)際上是一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的推廣，都是所謂的鏈鎖法則，要求學(xué)生掌握其本質(zhì)，重點(diǎn)要掌握和理解復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形。在具體求導(dǎo)時(shí)，最好能畫出變量之間關(guān)

21、系的樹(shù)形圖。一、 全導(dǎo)數(shù)定理1：設(shè)，在點(diǎn)x處可導(dǎo)，在x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（u，v）處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。則一元函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，稱其為全導(dǎo)數(shù)。且或者公式（1）。稱公式（1）為全導(dǎo)數(shù)公式。 證明：由于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則可微。 ，又u，v關(guān)于x可導(dǎo)。從而，。代入可得：。 【例】：（1）、，求。 解：， 且：， 二、 復(fù)合函數(shù)微分法定理2：設(shè)函數(shù)， ，在點(diǎn)（x，y）處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)（x，y）處有對(duì)關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)，且有下列公式：公式（2）記憶方法：如圖注：連線相乘，分線相加?！纠?，求解： 【注】在實(shí)際解題過(guò)程中，我們防止出現(xiàn)不便，所以一般習(xí)慣有以下記號(hào)：，其中1，2是根據(jù)題

22、設(shè)中，u和v在函數(shù)中排在第個(gè)來(lái)決定，此點(diǎn)務(wù)必記清楚。定理3：設(shè)函數(shù)， ，在點(diǎn)（x，y）處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，則：函數(shù)在點(diǎn)（x，y）處也有偏導(dǎo)數(shù)。且：其中：，等等。記憶方法：如圖法則連線相乘，分線相加?！咀ⅰ浚?、是二元函數(shù)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)。而是四元函數(shù)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)?！纠浚?，其中有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)。求 解：令，又因?yàn)?，又：。注上題中的w函數(shù)是一元函數(shù)【例】設(shè)，求，。 解：同理：?！纠浚哼B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 解：令， ， 其中： 【例】：，求 解： = =三、 全微分不變性（形式）設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，無(wú)論u,v是自變量還是中間變量，都有：證明：（1）、當(dāng)u,v為自變量時(shí)：（由定理1顯然成立）；（2）當(dāng)u

23、,v為中間變量時(shí)：。 ， 又， 【例89-1】：設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)二階可導(dǎo)，具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求。 解：?！咀鳂I(yè)】：設(shè)，其中具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求。§8.5 隱函數(shù)的微分法一、內(nèi)容要點(diǎn) 1由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)， 2由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1 會(huì)求由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2會(huì)求由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)注意點(diǎn)：在計(jì)算由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意區(qū)分哪些是自變量，哪些是因變量，一般來(lái)說(shuō)，有多少個(gè)方程就可以確定多少個(gè)因變量，剩下的全是自變量。說(shuō)明：隱函數(shù)的求導(dǎo)雖然沒(méi)有很多難點(diǎn)，但產(chǎn)生錯(cuò)誤的幾率很大。主要的原因還

24、是運(yùn)算規(guī)則掌握得不好，最好能記住幾個(gè)求導(dǎo)的公式。一 隱函數(shù)為一個(gè)方程的形式定理1：設(shè)在（x0,y0）的某個(gè)鄰域U內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則在U內(nèi)，方程確定了唯一的具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足，且。證明：這里僅僅證明。對(duì)函數(shù)，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)得：。補(bǔ)充：如果的二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則也存在，并且有：，其中，且因?yàn)榈亩A偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)， 。代入，整理可得結(jié)果?！纠糠匠?，求。 解：顯然，且，在平面上任意一點(diǎn)都連續(xù)，且，因此依據(jù)定理1，確定了一個(gè)定義在實(shí)數(shù)域R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且有：。定理2：在U(P0)內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則由確定唯一的有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并滿足。且，。【例】：，求。 解：令 ， ，代入已

25、求量，得。【例02-4】：設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且有方程：所確定。求解：令則則代入：得。一、 兩個(gè)方程的方程組定理3：設(shè)在P0(x0，y0，u0，v0)的某個(gè)鄰域U內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，其中，并且F，G的雅可比行列式：，則方程組：確定了兩個(gè)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)：，且，其中，（或者）可由對(duì)兩邊關(guān)于x（或y）求偏導(dǎo)數(shù)后，建立方程組，得出公式：課本P42。（證明略）?！纠浚涸O(shè)，求。 解：由題目要求可知，u、v為x的函數(shù)。所以就題設(shè)兩個(gè)方程對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得： ，。注：從上面的解題過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)，在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，不要求死記公式，一定要掌握本質(zhì)內(nèi)容，這樣解題更加得心應(yīng)手?！纠?9-1】：設(shè)由方程所確定，其中分別具有

26、一階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)以及一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求。解：兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)：對(duì)兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)：對(duì)上面兩個(gè)方程可以解出得：。§8.6 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用一、內(nèi)容要點(diǎn)1 空間曲線的切線與法平面2 曲面的切平面與法線二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：2 會(huì)求空間曲線的切線與法平面2會(huì)求曲面的切平面與法線教學(xué)注意點(diǎn)：在計(jì)算空間曲線的切線與法平面時(shí)，關(guān)鍵是要求出其切向量；在計(jì)算空間曲面的切平面與法線時(shí)，關(guān)鍵是要求出其切平面的法向量。說(shuō)明1：用位置向量（即向徑）表示曲線雖然不屬教學(xué)大綱的范圍，但是運(yùn)動(dòng)學(xué)中常用的方法，對(duì)物理專業(yè)的學(xué)生特別重要，所以不但要講而且要講透。對(duì)位置向量的方向和大小要作出物理解釋。說(shuō)明2：

27、在計(jì)算曲面法線和切平面的時(shí)候，一般都直接用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)計(jì)算法向量，自然地認(rèn)為切平面是存在的。這是因?yàn)橐话闱娣匠潭际怯贸醯群瘮?shù)來(lái)表示的，而初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，因此一定可微，既切平面一定存在。一、空間曲線的切線及法平面。1， 參數(shù)方程形式：設(shè)曲線方程： ,且求在P0x(t0),y(t0),z(t0)的切線及法平面（與切線垂直切過(guò)P0的平面稱為在P0 點(diǎn)的法平面）解：求割線 P0P的方程。P0(x0,y0,z0),設(shè)t對(duì)應(yīng)的增量x,y,z.且P(x0+x,y0+y,z0+z)P0P的方程：=分子分別乘以t，則=令得：= 切線方程稱 x´(t0),y´(t0),

28、z´(t0 ) 為在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切向量。注：求出切向量即可由點(diǎn)向式方程求出切線方程，再由為法平面的法向量寫出法平面方程（點(diǎn)法式）的法平面：x´(t0)(x-x)+y´(t0)(y-y)+z´(t0 )(z-z)=0【例】：求 在t=處的切線及法平面解：切點(diǎn)：P=(,),切向量=a,0,-c.切線方程：=法平面：a(x-)-c(z-)=0【例】 (92-I),曲線的所有切線中，與平面：x+2y+z=4平行的切線有（ ）（A）不存在 （B）只有一條 (C)只有二條 (D)三條解：切向量，-2t,3 / 1+2(-2t)+3=0 t=1或t=。 滿足條件的為二條2

29、、(一般曲線方程)，柱面交線：,求它在x對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線及法平面。解：: 切向量 切線方程：法線方程：（x-x）+(y -y(x0)+ (z-z(x)=03、一般方程：，J=。則：y=y(x), z=z(x)，則切向量：其中 可由方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，解出y´（x）,z´（x）即可?！纠?求在（1，1，1）處的切線及法平面方程。解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得：代入：（1，1，1）得到：解之得：且可取切向量為：= 16,9,-1 切線方程： 法平面方程：16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0二、曲面的切平面及法線若曲面上過(guò)P點(diǎn)的所有切線都在同一個(gè)平面上，則稱該平面為曲線在P點(diǎn)的切平面，

30、切平面的法向量稱為曲面在P0點(diǎn)的法向量，稱垂直于切平面且過(guò)P0點(diǎn)線為曲面在P0點(diǎn)法線。1.一般方程：F（x,y,z）=0設(shè)F（x，y，z）=0在P0(x0,y0,z0)處有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，則曲線=F(x，y，z)=0在P0的法向量為：=解：設(shè)：為過(guò)向量P0點(diǎn)且在上的任意一條曲線，則在P0點(diǎn)的法向量為：=(t0)，(t0)，(t0)。又因?yàn)樵谏?。F（x(t)，y(t)，z(t)）=0兩邊對(duì)t求導(dǎo)有：·(t)+ ·(t)+ ·(t)=0令t=t0得取= 任一曲線的切向量都垂直于固定向量，且在同一平面上。為在P0點(diǎn)法線 切平面方程：法線：=2.顯函數(shù)的曲面：z=f(x，y)

31、，(，連續(xù)且不同時(shí)為0)則法向量=-，-，1或，-1注：取=-，-，稱為的方向余弦。且的方向向上。即【例】：(94-I)求曲面在點(diǎn)（1，2，0）的切平面方程。（00-I）求曲面x+2y+3z=21在點(diǎn)（1，-2，2）的法線方程.解：令F（x，y，z）=，則=（2y，2x，）代入（1，2，0），=4，2，0切平面：4(x-1)+2(y-2)=0，即2x+y-4=0。令F（x，y，z）=，則=2，-8，12又可取n=1，-4，6得：法線：=【例】：(03-I)求曲面z=x+y與平行于x-y+2z=0的切平面方程解：令F（x，y，z）=，=2x0，2y0，-1=x0 =1，y0=2。 =2,4,-1

32、，z0=5。P0(1，2，5) 切平面方程：2x+2y-z=0§8.7 多元函數(shù)極值一、內(nèi)容要點(diǎn)1 多元函數(shù)的極值及最大值、最小值2 條件極值 乘數(shù)法 二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，2 掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。3 會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。 教學(xué)注意點(diǎn)： 實(shí)際問(wèn)題一般總要受到多個(gè)因素的制約，因此有必要研究多元函數(shù)的極值與最值問(wèn)題。最值點(diǎn)可能在區(qū)域的內(nèi)部，也可能在區(qū)域的邊界上，因此，求函數(shù)的最值時(shí)，要求出它在區(qū)域內(nèi)部的所有極

33、值以及在邊界上的最值，再加以比較，從中找出函數(shù)在整個(gè)區(qū)域上的最值；研究條件極值的基本方法是將條件極值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值，即所謂的乘數(shù)法。說(shuō)明1：多元函數(shù)的極值從定義的角度來(lái)比較與一元函數(shù)的情形沒(méi)有區(qū)別，但在確定極值點(diǎn)的過(guò)程中，需要考慮得更多一點(diǎn)，因?yàn)樵谶@里自變量變化的范圍是多維的。說(shuō)明2：極值的充分條件可以通過(guò)下一節(jié)的泰勒公式來(lái)說(shuō)明。說(shuō)明3：關(guān)于條件極值只強(qiáng)調(diào)方法和計(jì)算過(guò)程。一、無(wú)條件極值1、在上學(xué)期已知：討論一元函數(shù)極值時(shí)：極值點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)可能是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，極值點(diǎn)駐點(diǎn)，駐點(diǎn)極值點(diǎn)，y=x3在x=0點(diǎn)為駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)。2、二元函數(shù)極值（推廣）：若對(duì)PU（Po）。都有f（P）&l

34、t;f（Po）則稱f（Po）為f的一個(gè)極小值。Po為極小值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 定理1：（必要條件）設(shè)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)存在，（x0，y0）為f（x，y）的極值點(diǎn)，則（x0，y0）=（x0，y0）=的點(diǎn)為f（x0，y0）的駐點(diǎn)。 證明：不妨設(shè)（x0，y0）為極大值，即（x，y）U（Po）都有f（x，y）<f（x0，y0），對(duì)于y=y0，xx0，則f（x，y0）<f（x0，y0），即f（x0，y0）是一元可導(dǎo)函數(shù)f（x，y0）的極大值點(diǎn)，從而（x0，y0）=0。同理：f（x0，y0）=0?！咀ⅰ浚簶O值點(diǎn)駐點(diǎn)反例：（1）f（x，y）=xy，（0，0）是其駐點(diǎn)，但非其極

35、值點(diǎn)。（2）極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)，也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。 定理2：（充分條件）設(shè)z=f（x，y）在（x0，y0）有連續(xù)的二價(jià)偏導(dǎo)數(shù)。（x0，y0）為f（x，y）的駐點(diǎn)，令A(yù)=（x0，y0）B=（x0，y0）C=（x0，y0）則：（1） 當(dāng)AC-B2>0時(shí)（x0，y0）為極值點(diǎn)，且A<0時(shí)為極小值點(diǎn)，A<0時(shí)為極大值點(diǎn)。（2） AC-B2=0 方程失效（3） AC-B2>0時(shí) （x0，y0）不是極值點(diǎn)【例】：，0<x，y</2，求z的極值。解：求駐點(diǎn)：解得：駐點(diǎn)（/3，/6）A=（/3，/6）=-，B=/2，C=-，由于ACB2=33/4>0，從而（/3

36、，/6）為其極值點(diǎn)，又A<0故為極大值點(diǎn)且極大值：z（/3，/6）=3/2二、最大值與最小值（最值）我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)上冊(cè)知道：在一元函數(shù)中最大值極大值（1）當(dāng)最值在區(qū)間內(nèi)部取得時(shí)，一定為極大值，而在端點(diǎn)取得最值一定不是極值二元函數(shù)：M，m的求法：先求出區(qū)域的內(nèi)部的所有可能極值(駐點(diǎn)及所有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))并計(jì)算函數(shù)值，最后比較這些函數(shù)值的大小，最大的為M，最小的為m?！纠浚海?5IV）時(shí)z=x2y（4-x-y）D由x軸，y軸，x+y=6所圍成，求z在D上的最大值和最小值（M，m）。解：（1）在D的內(nèi)部：且z（2，1）=4（不該計(jì)算A，B，C）（2）在OA，OB上，有y=0或x=0，z=0

37、（3）在線段AB上，y=6-x，且，代入z，則z=2x3-12x2，=6x224x=0x=0（舍）或x=4， y=2，z（4，2）=-64綜上：M=4，m=-64。三、條件極值拉格朗日數(shù)乘法問(wèn)：設(shè)，有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。x，y不同時(shí)為0，求z=在=0條件下的極值？解：設(shè)（x0，y0）上z=在=0條件下的極值。則=0，由于，不同時(shí)為0，不妨設(shè)0則由=0可唯一確定，則z=在點(diǎn)x取得極值，從而又(x)=- ，令=則：即：（x,y）必滿足： 注意：方程組中含有三個(gè)未知元x,y,若令F(x，y，z)=f(x，y)+,則 【注】：1、求z=f(x，y)在條件(x，y)=0下的極值方法，令F(x，y，z)=f(x

38、，y)+(x，y) 由 解得所有可能的極值點(diǎn)。2、絕對(duì)不能用條件極值的判別法判別這些可能的極值點(diǎn)是否是極大（?。┲迭c(diǎn)，只能用實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)去判斷（最大，最小值一定存在）【例】：求表面積為2a，體積最大的長(zhǎng)方體的體積。解：令長(zhǎng)，寬，高分別為x，y，z，V=xyz 則s=2a=2(xy+yz+xz)令F(x，y，)=xyz+(xy+yz+xz-a) x=y=z 3x²=a x=y=z=.由于最大值一定存在，從而（x0,y0,z0）為最大值點(diǎn)，且最大值為：V=()3ex(94-)在橢圓 x²+4y²=4上求一點(diǎn)，使其到直線2x+3y-6=0的距離最短。 解：設(shè)p(x，y

39、)為橢圓上一點(diǎn)，則：d(x，y)=求d在條件x²+4y²=4的最小值。問(wèn)題等價(jià)與求d=(2x+3y-6)²在x²+4y²-4=0下的最小值點(diǎn)。取F(x，y)= (2x+3y-6)²+(x²+4y²-4)=0解得（xy）=,(x,y)=.第 八 節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法教學(xué)目的：了解多元函數(shù)極值的定義，熟練掌握多元函數(shù)無(wú)條件極值存在的判定方法、求極值方法，并能夠解決實(shí)際問(wèn)題。熟練使用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)重點(diǎn)：多元函數(shù)極值的求法。教學(xué)難點(diǎn)：利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)方式：理論課教學(xué)內(nèi)容：一、 多元函

40、數(shù)的極值及最大值、最小值定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，如果都適合不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值。如果都適合不等式 ，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。例1 函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處有極小值。因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于(0，0)的點(diǎn)，函數(shù)值都為正，而在點(diǎn)（0，0）處的函數(shù)值為零。從幾何上看這是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)（0，0，0）是開(kāi)口朝上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)。例 函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處有極大值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0，0）處函數(shù)值為零，而對(duì)于點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)異于（0，0）的點(diǎn)，函數(shù)值都為負(fù)，點(diǎn)（0，0，0）是位于平面下方的錐面的頂點(diǎn)。例

41、函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處既不取得極大值也不取得極小值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0，0）處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)。 定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 證 不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值。依極大值的定義，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都適合不等式 特殊地，在該鄰域內(nèi)取，而的點(diǎn)，也應(yīng)適合不等式 這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因此必有 類似地可證 從幾何上看，這時(shí)如果曲面在點(diǎn)處有切平面，則切平面成為平行于坐標(biāo)面的平面。 仿照一元函數(shù)，凡是能使同時(shí)成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)，從定理1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。但

42、是函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如，點(diǎn)（0，0）是函數(shù)的駐點(diǎn)，但是函數(shù)在該點(diǎn)并無(wú)極值。 怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢 ？下面的定理回答了這個(gè)問(wèn)題。定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令則在處是否取得極值的條件如下：(1)時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；(2)時(shí)沒(méi)有極值；(3)時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。這個(gè)定理現(xiàn)在不證。利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：第一步 解方程組 求得一切實(shí)數(shù)解，即可以得到一切駐點(diǎn)。第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值，和。第三步 定出的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定是否是

43、極值、是極大值還是極小值。例1 求函數(shù)的極值。解 先解方程組 求得駐點(diǎn)為（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。再求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1,0) 處，又，所以函數(shù)在處有極小值；在點(diǎn)(1,2) 處，所以(1,2)不是極值；在點(diǎn)(-3,0) 處，所以(-3,0)不是極值；在點(diǎn)(-3,2) 處，又所以函數(shù)在(-3,2)處有極大值(-3,2)=31。例2 某廠要用鐵板作成一個(gè)體積為2m3的有蓋長(zhǎng)方體水箱。問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省。解 設(shè)水箱的長(zhǎng)為，寬為，則其高應(yīng)為，此水箱所用材料的面積 ，即 （，）可見(jiàn)材料面積是和的二元函數(shù)，這就是目標(biāo)函數(shù)，下面求使這函數(shù)取得最小值的點(diǎn)

44、。令 ， 解這方程組，得： ，從這個(gè)例子還可看出，在體積一定的長(zhǎng)方體中，以立方體的表面積為最小。二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù) 其中為某一常數(shù)求其對(duì)與的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程(2)聯(lián)立 （1）由這方程組解出，及，則其中，就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。例如，要求函數(shù) 在附加條件 ， (2)下的極值，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中，均為常數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與(2)中的兩個(gè)方程聯(lián)立起來(lái)求解，這樣得出的就是函數(shù)在附加條件(2)下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。至于

45、如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定。例3 求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積。解 設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為， 則問(wèn)題就是在條件 （3）下，求函數(shù) 的最大值。構(gòu)成輔助函數(shù) 求其對(duì)、z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到 （4）再與(10)聯(lián)立求解。因、都不等于零，所以由(11)可得 ，由以上兩式解得 將此代入式(10)，便得 =這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。也就是說(shuō)，表面積為的長(zhǎng)方體中，以棱長(zhǎng)為的正方體的體積為最大，最大體積。小結(jié)：本節(jié)以一元函數(shù)極值為基礎(chǔ)，研究多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值問(wèn)題。在

46、介紹多元函數(shù)極值的定義后，介紹了二元極值的性質(zhì)以及利用偏導(dǎo)數(shù)求極值的步驟，討論了二元函數(shù)的最值問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題。最后介紹了利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法及應(yīng)用。§8.8 二重積分的概念和性質(zhì)一、內(nèi)容要點(diǎn)1、引例例1曲頂柱體的體積例2平面薄片的質(zhì)量通過(guò)兩個(gè)實(shí)際意義不同的例子，引出所求量可歸結(jié)為同一形式的和式的極限，進(jìn)而一般地抽象出二重積分的定義。2、二重積分的概念：注意講清楚定義中兩個(gè)“任意性”及和式極限中各符號(hào)的意義。3、二重積分的性質(zhì)1-6，注意將其與定積分性質(zhì)加以比較。例3關(guān)于估值定理的應(yīng)用例4關(guān)于中值定理的應(yīng)用4、二重積分的幾何意義曲頂柱體的體積。二、教學(xué)要求和注意

47、點(diǎn)理解二重積分，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。說(shuō)明1：講解二重積分要注意立體圖的形象，對(duì)不同積分順序的平面區(qū)域表示方法必須介紹清楚，這對(duì)以后計(jì)算重積分帶來(lái)影響。說(shuō)明2：有些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來(lái)表達(dá)，只能用一種積分順序。說(shuō)明3：積分順序的更換是常見(jiàn)的問(wèn)題，必須熟練。一、二重積分的概念先講二個(gè)具體的問(wèn)題：（1）、求曲頂柱體體積。（二）求平方薄片的質(zhì)量。（一） 求曲頂柱體體體積：設(shè)z=f(x.，y)是定義在有界區(qū)域性D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。我們稱曲面z=f(x，y)，xoy平面上的區(qū)域D和準(zhǔn)線為D的邊界，母線平行于z軸的柱體所圍成的立體為曲頂柱體?，F(xiàn)在的問(wèn)題是求這個(gè)曲頂柱體的體積V。

48、首先用一組曲線T把區(qū)域D劃分為n個(gè)小區(qū)域（i=1，2，,n）這樣就把原柱體分為n個(gè)小曲頂柱體Vi。又記為Ti的面積，i為的直徑，對(duì)于來(lái)說(shuō)，由于f(x，y)在連續(xù)。故當(dāng)i很小時(shí)，f(x，y)在上各點(diǎn)的函數(shù)值近似相等，從而可視上的曲頂柱體為平頂柱體，為此在中任放一點(diǎn)以為高的小平頂柱體的體積為。并用它來(lái)代替這個(gè)小曲頂柱體的體積Vi把所有這些小平頂柱體的體積加起來(lái)便得曲頂柱體的體積的近似值：最后，當(dāng)分割T的細(xì)度時(shí)有：即：（2）、平面薄電的質(zhì)量設(shè)薄電占有xoy平面上的區(qū)域D且在點(diǎn)（x、y）的D外的面密度為P（x，y）>O求該平面薄純的質(zhì)量M。如果P(x，y)為常數(shù)p那么該薄電的均勻薄電，質(zhì)量為p*

49、S。當(dāng)p(x，y)不是常數(shù)時(shí)其求法同（1）相符。首先，把該薄電劃分為n小塊。當(dāng)直徑很小時(shí)，由于p(x，y)在上連續(xù)，可視每小塊為均勻薄片。在上任意一點(diǎn)（），則每一塊的質(zhì)量近似的。進(jìn)一步：用代替整個(gè)薄電的質(zhì)量。且當(dāng)時(shí)，有。由（1）、（2）知求由頂柱體的體積，及平面薄片的質(zhì)量總是通過(guò)：1、分割，2、近似求和，3、取極限這三個(gè)步驟得到的。這種方式我們?cè)谇笥蛇吿菪蔚拿娣e時(shí)就遇到過(guò)，而現(xiàn)在所不同的是對(duì)象為定義在平面區(qū)域的二元函數(shù)，這就是二重積分的實(shí)際背景。定義：設(shè)D是：X0y平面上的有界閉區(qū)域，其邊界由光滑的連續(xù)曲線（一般指D的可求面積），f（x，y）為定義在D上的函數(shù)，用光滑的曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域

50、：以表示的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成D的一個(gè)分割T，以表示的直徑，記T的細(xì)度為 T=Maxi，在每一個(gè)上任取一點(diǎn)（），作和式： 稱之為函數(shù)f（x，y）在D上屬于分割T的一個(gè)積分和。如果當(dāng)T0時(shí)，該積分和的極限存在，就稱此極限值為f（x，y）在區(qū)域D上的二重積分，記作：即：其中f（x，y）稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，稱為面積元素，x，y稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域?！咀ⅰ浚?由定義知，若f（x，y）在D上可積，應(yīng)對(duì)于任何分割T，及任意的點(diǎn)（）上面的極限都存在，為此，我們特別地選用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)分割D，則每一個(gè)小區(qū)域的面積為，進(jìn)而有，故：以后在講重積分計(jì)算基本上都采用后一種形式。2、并非任一函

51、數(shù)f（x，y）在區(qū)域D上的積分都存在，如，在0，1；0，1上的重積分不存在，但當(dāng)f（x，y）連續(xù)時(shí)，其二重積分存在，故以面在不加說(shuō)明的情況下，總認(rèn)為f（x，y）在D上的重積分是存在的。3、如果f（x，y）0，在幾何上就表示曲頂柱體的體積，當(dāng)f（x，y）=1，的值就等于積分區(qū)域D的面積。如果f（x，y）0，柱體就在X0y平面的下方，這時(shí)，二重積分的絕對(duì)值仍為柱體的體積但值為負(fù)的。如果f（x，y）在D上的某n個(gè)子區(qū)域上是正的，而在其它地方是負(fù)的，這時(shí)的二重積分的值是下面的性質(zhì)3。二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1、被積函數(shù)的常數(shù)因子可提到二重積分號(hào)的外面： （K為常數(shù)）性質(zhì)2、函數(shù)的和（差）的二重積分等于各

52、函數(shù)的二重積分的和（差）。性質(zhì)3、若，那么性質(zhì)4、當(dāng)f（x，y）=1時(shí)，性質(zhì)5、如果在D上，有f（x，y）g（x，y）則有性質(zhì)6、性質(zhì)7、若在D上有：mf（x，y）M，則有（為D的面積）特別地，當(dāng)M，m分別為f（x，y）在D上的最大，小值時(shí)，上式亦成立。性質(zhì)8、（二重積分的中值定理）若f（x，y）在不可少閉區(qū)域D上連續(xù)，則存在D，使得：，（的D的面積）§8.9 二重積分的計(jì)算法一、內(nèi)容要點(diǎn)利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分1、從幾何入手，利用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體的體積”方法，將二重分化為二次積分：若D為X型區(qū)域： 則若D為Y型區(qū)域： 則若D既非X型，又非Y型區(qū)域，則將D劃分為若干子區(qū)域，使每一個(gè)子區(qū)域?yàn)閄型或Y型。2