貴州省貴陽市花溪第二中學九年級數(shù)學競賽講座 05第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解 人教新課標版

1、貴州省貴陽市花溪第二中學九年級數(shù)學競賽講座 05第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解 人教新課標版在數(shù)學課外活動中，在各類數(shù)學競賽中，一元二次方程的整數(shù)解問題一直是個熱點，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強，備受關注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有： 從求根入手，求出根的有理表達式，利用整除求解； 從判別式手，運用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設=)，通過窮舉，逼近求解； 從韋達定理入手，從根與系數(shù)的關系式中消去參數(shù)，得到關于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解； 從變更主元入人，當方程中參數(shù)次數(shù)較低時，可考慮以參數(shù)為主

2、元求解注：一元二次方程的整數(shù)根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達定理等與方程相關的知識，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識密切相關【例題求解】【例1】若關于的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有 個思路點撥 用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準確注：系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問題的題設條件，看是否要分類討論【例2】 已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是( ) A B C D 思路點撥 由韋達定理、的關系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、的值 【例3】 試確定一切

3、有理數(shù)，使得關于的方程有根且只有整數(shù)根 思路點撥 由于方程的類型未確定，所以應分類討論當時，由根與系數(shù)關系得到關于r的兩個等式，消去r，利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根【例4】 當為整數(shù)時，關于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果沒有，請說明理由 思路點撥 整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)設=(為整數(shù))解不定方程，討論的存在性注：一元二次方程 (a0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而=為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件【例5】 若關于的方程至少有一個整數(shù)根，求非負整數(shù)的值思路點撥 因根的表示式復雜，從韋達定理得出的的兩個關系式中消去也較困難，又因的次數(shù)低于的次數(shù)，故可將

4、原方程變形為關于的一次方程 學歷訓練1已知關于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有 2已知方程有兩個質(zhì)數(shù)解，則m 3給出四個命題：整系數(shù)方程(a0)中，若為一個完全平方數(shù)，則方程必有有理根；整系數(shù)方程(a0)中，若方程有有理數(shù)根，則為完全平方數(shù)；無理數(shù)系數(shù)方程(a0)的根只能是無理數(shù)；若、均為奇數(shù)，則方程沒有有理數(shù)根，其中真命題是 4已知關于的一元二次方程 (為整數(shù))的兩個實數(shù)根是、，則= 5設rn為整數(shù)，且4<m<40，方程有兩個整數(shù)根，求m的值及方程的根(山西省競賽題)6已知方程 (a0)至少有一個整數(shù)根，求的值7求使關于的方程的根都是整數(shù)的值 8當為正整數(shù)時，關于的方程的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程9設關于的二