常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別

1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別的一些方法(爺不愛(ài)留名.摘要 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別是數(shù)學(xué)分析中無(wú)窮級(jí)數(shù)的內(nèi)容,基于審斂準(zhǔn)則,其判別方法多樣,且具有技巧性.本文參考了已有的相關(guān)文獻(xiàn),歸納總結(jié)后結(jié)合實(shí)例,由不等式的利用、Taylor展開(kāi)式、等價(jià)量法、對(duì)數(shù)判別法、拆項(xiàng)法等方法來(lái)判別級(jí)數(shù)斂散性.關(guān)鍵詞 級(jí)數(shù);收斂;發(fā)散.Abstract:This paper presents several methods and techniques,including inequalities, Taylor expansions, equivalent variables, and logarithmic crite

2、rion ,for testing the convergence of a constant-term series.Key words:series of constant-term series; convergence; divergence.正文: 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別也算得上是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)小難點(diǎn),這是由于級(jí)數(shù)的斂散性是直接與數(shù)列的極限聯(lián)系在一起.未學(xué)級(jí)數(shù)之前,我們先學(xué)習(xí)了數(shù)列,也學(xué)習(xí)了如何求數(shù)列的極限.我們可以體會(huì)到在求數(shù)列的極限時(shí),會(huì)遇到一定的障礙,更不用說(shuō)是級(jí)數(shù).但同學(xué)們不必?fù)?dān)心,如同求數(shù)列極限一樣,判別級(jí)數(shù)收不收斂的方法多樣.基于它的審斂準(zhǔn)則,結(jié)合一些方法與技巧,對(duì)級(jí)數(shù)

3、收斂的判別就不會(huì)有太大問(wèn)題.在解決了常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與否的問(wèn)題之后,我們才能更深入探究其它級(jí)數(shù)的其它性質(zhì).首先,將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則的內(nèi)容列出:定理1.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有上界.定理1.2 （比較準(zhǔn)則I）設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),并且(1若收斂,則收斂; (2若發(fā)散,則發(fā)散.定理1.3 (比較準(zhǔn)則II 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),并且(1若,則兩個(gè)數(shù)列同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(2若,且收斂，則收斂;(3若,且發(fā)散,則發(fā)散.定理1.4（積分準(zhǔn)則） 設(shè)為一正項(xiàng)級(jí)數(shù).若存在一個(gè)單調(diào)遞減的非負(fù)連續(xù)函數(shù),使,則級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.定理1.5（Dalembert準(zhǔn)則） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),并且

4、(1若時(shí)，則收斂；(2若（含時(shí)），則發(fā)散.定理1.6（Cauchy準(zhǔn)則） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),(有限或.（1）若時(shí)，則收斂;（2）若（含時(shí)），則發(fā)散.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有審斂法則都適用于負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù),其實(shí)只要將負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的負(fù)號(hào)提出,就轉(zhuǎn)化為對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的討論.其次是變號(hào)級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則:,其中,稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理2.1 (Leibniz準(zhǔn)則 設(shè),且,則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂. 且 .定理2.2(絕對(duì)收斂準(zhǔn)則 若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂.若絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂,則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;若級(jí)數(shù)收斂,但其絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱條件收斂.有了這些基礎(chǔ)知識(shí)作為鋪墊,現(xiàn)在我們進(jìn)入對(duì)一些方法的探討.1.不等式的利用在此我們常用到的不等式有以下幾種：（1）;

5、（2）;（3）;（4）個(gè)人認(rèn)為,前三個(gè)不等式大家都用得比較熟練,最后一個(gè)不等式不太能在做題時(shí)想到.對(duì)于些題目看似很復(fù)雜,但利用不等式后就會(huì)豁然開(kāi)朗.此處是將原數(shù)放大,主要運(yùn)用比較準(zhǔn)則.例1 ,且收斂,證明絕對(duì)收斂?(此題正是利用了不等式,輕松地證明了此題.解：又 、收斂,則收斂,故絕對(duì)收斂.例2 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：利用不等式 有因?yàn)槭諗?故收斂.2.等價(jià)量法等價(jià)量法實(shí)際上應(yīng)用的就是無(wú)窮小或大的等價(jià)代換,方法簡(jiǎn)單易掌握,同樣也是一種放大縮小的應(yīng)用.例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.可利用等價(jià)代換,但這里先將原式前項(xiàng)改寫(xiě)為的形式.解：當(dāng)時(shí)，=.而收斂,故由比較審斂法知原級(jí)數(shù)收斂.3.Taylor展開(kāi)式T

6、aylor展開(kāi)式看似與級(jí)數(shù)完全不沾邊,但在以前的學(xué)習(xí)中,Taylor公式還用于計(jì)算函數(shù)近似值的問(wèn)題,正是這個(gè)橋梁連接了兩者.常用函數(shù)的Maclaurin公式是在解題中最常用.如下例:例4.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：原級(jí)數(shù)發(fā)散4.對(duì)數(shù)判別法此方法對(duì)判別“冪指型”或含“”級(jí)數(shù)很有效.首先介紹一下這個(gè)定理：定理（對(duì)數(shù)判別法） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若有，使當(dāng)時(shí), (5 則收斂;若時(shí),(6 則發(fā)散.證明如下:若時(shí),不等式(5成立,則.由于級(jí)數(shù)收斂,所以收斂.同理可證當(dāng)不等式(6成立時(shí), 發(fā)散. 例5.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：.對(duì),必存在,使當(dāng)時(shí), 故原級(jí)數(shù)收斂.例6.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：由LHospital法則知

7、,.故對(duì),存在,使當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)收斂.5.拆項(xiàng)法有一種應(yīng)用廣泛,形式多變,方便靈活的方法,即將一般項(xiàng)通過(guò)等價(jià)變換、有理化、三角函數(shù)基本公式等拆成幾項(xiàng)之差,大大降低了難度,解決了無(wú)從下手的窘境.這也是一種常見(jiàn)的方法,容易掌握.例7.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：而 收斂;而對(duì)于,當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散. 綜上可知,原級(jí)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散. 例8.判斷級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂?解： ,得到一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)則易知級(jí)數(shù)收斂,但其絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散. 故原級(jí)數(shù)條件收斂.6.Cauchy積分法即定理1.4（積分準(zhǔn)則）,利用的就是級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.就此舉一例如下:例9.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解

8、：不論為何數(shù),當(dāng)充分大時(shí),設(shè)函數(shù),則在上都是非負(fù)遞減的.滿足積分準(zhǔn)則的條件.當(dāng)時(shí),無(wú)窮積分,故發(fā)散,當(dāng)時(shí), .因此,僅當(dāng)時(shí),收斂.故原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散.7.檢比法與檢根法.即Dalembert準(zhǔn)則與Cauchy準(zhǔn)則.但無(wú)論是檢比法還是檢根法,當(dāng)時(shí),例如p級(jí)數(shù),由于對(duì)于任何,都有,級(jí)數(shù)的斂散性都沒(méi)有確定的結(jié)論,此時(shí)就需要采用上述的其他方法來(lái)判斷. 結(jié)束語(yǔ)本文主要是通過(guò)歸納總結(jié)將常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則與方法及例題放在一起,希望會(huì)對(duì)同學(xué)們關(guān)于級(jí)數(shù)斂散性的入門(mén)學(xué)習(xí)起到輔助作用.其實(shí)方法還不止上述所列出的幾種,文中未包含的還有高斯判別法、拉貝判別法等,如感興趣,可在利用網(wǎng)絡(luò)自行查找相關(guān)文獻(xiàn).參考文獻(xiàn)1工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ).上冊(cè)/王綿森,馬知恩主編,2版.北京：高等教育