南郵高數(shù) 2-3高階導數(shù)及相關(guān)變化率

1、上講內(nèi)容回顧上講內(nèi)容回顧(1)數(shù)數(shù)方方程程兩兩邊邊取取對對數(shù)數(shù)再再求求導導對對數(shù)數(shù)求求導導法法參參數(shù)數(shù)方方程程求求導導：在在方方程程兩兩邊邊直直接接求求導導隱隱函函數(shù)數(shù)求求導導復復合合函函數(shù)數(shù)求求導導法法則則：或或反反函函數(shù)數(shù)求求導導法法則則：四四則則運運算算求求導導法法則則:)6()()()5(:)4()()()()3(1)(1 )()2()()()()()()()()()()()( )()()()( )()()( )()1(12txtydxdyxxfxfdydxdxdyxfxfxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuCxCu 求導法則及方法求導法則及方法上講

2、內(nèi)容回顧上講內(nèi)容回顧(2) 常用基本求導公式常用基本求導公式xxaxxa1)(lnln1)(log 222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx xxxxxxxx22csc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin 1)(0 xxCxxxxeeaaa )(ln)(xchthxshxchxchxshx21)()()( ) 1(11)11ln21()() 1(11) )1(ln()(11) )1(ln()(22222 xxxxarcthxxxxxarcchxxxxarcshx第三節(jié)第三節(jié) 高階導數(shù)及相關(guān)變化率高階導數(shù)及相關(guān)

3、變化率u 高階導數(shù)高階導數(shù)u 相關(guān)變化率相關(guān)變化率一、高階導數(shù)一、高階導數(shù)引例引例: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度. .),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則則瞬瞬時時速速度度為為的變化率的變化率對時間對時間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta1 1、高階導數(shù)的概念、高階導數(shù)的概念即即處處可可導導在在點點的的導導數(shù)數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù),)()(xxfxf ,)()(lim) )(0存存在在xxfxxfxfx 定義定義記作：記作：.)()(2222dxxfddxydyxf或或或或或或 .)() )(處處的的二二階階導導數(shù)數(shù)在在點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱xxfxf

4、 ,一一般般地地導導數(shù)數(shù)可可定定義義三三階階導導數(shù)數(shù)、四四階階類類似似地地:,1分分別別記記作作階階導導數(shù)數(shù)階階導導數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)稱稱為為nn nndxfddxfddxfd,4433或或)(4),nyyy )(,),(, )()(4)xfxfxfn 或或nndxyddxyddxyd,4433或或 )()1()1()(nnnydxdyy1.二階及二階以上的導數(shù)稱為二階及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù)高階導數(shù)。即：即：注：注： 約定約定:;的的一一階階導導數(shù)數(shù)稱稱為為函函數(shù)數(shù)yy .,)0(yyyy 即即的的零零階階導導數(shù)數(shù)稱稱為為函函數(shù)數(shù)), 2 , 1 , 0( n2.函數(shù)函數(shù) f(x)在點在點

5、x處具有處具有n階導數(shù)階導數(shù),也常說成也常說成 f(x)在在 點點x處處n階可導階可導, 而且而且當當 f(x)在點在點x處處n階可導時階可導時,蘊涵著在蘊涵著在x的某鄰域內(nèi)一切低于的某鄰域內(nèi)一切低于n階的導數(shù)都階的導數(shù)都是存在且連續(xù)的是存在且連續(xù)的.2 2、高階導數(shù)的計算、高階導數(shù)的計算1)直接法：直接法：即由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)即由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).例例1 . ),1ln(2yxxy 求求,112 xy) 1(212 xy23) 1(2 xy)3) 1() 1(22225xxx 解解23) 1(2 xxxx2) 1(21232 xxx2) 1()23(252 25) 1

6、(1222 xx例例2 階階導導數(shù)數(shù)：計計算算下下列列函函數(shù)數(shù)的的 n xxxex)4()1ln()3(sin)2()1( 解解 )(1()(xnxee )()( nxa一般：一般：nxaa)(ln xxycos)(sin)2( )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()(sin)()( nxxynn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得)1ln()3(xy 設(shè)設(shè)注意注意: :xy 11則則2)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy ) 1! 0, 1()1()!1() 1()1ln

7、(1)()( nxnxynnnn 求求n n階導數(shù)時階導數(shù)時, ,求出求出1-31-3或或4 4階后階后, ,不要急于合不要急于合并并, ,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性, ,寫出寫出n n階導數(shù)階導數(shù).(.(數(shù)學歸納數(shù)學歸納法證明法證明) )()4(Rxy 設(shè)設(shè)1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 注注 1)直接法求直接法求n階導數(shù)一般適用于階數(shù)不太高階導數(shù)一般適用于階數(shù)不太高,如如 n5時時. 2)我們用直接法求出了一些高階導數(shù)的基本

8、公我們用直接法求出了一些高階導數(shù)的基本公 式式,應(yīng)該記住：應(yīng)該記?。簄nxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1() 1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!) 1()1( nnnxnx) 1! 0, 1()1()!1() 1()1ln(1)( nxnxnnn例例3.)(1322yydyxdydydx 推推出出試試從從 ydyddydxdyddyxd1)(22dydxydxd )1(3)(yy 解解yyy 1)(2)()(12y

9、dxdy y 1復合而成復合而成應(yīng)視為由應(yīng)視為由注意注意)(),(),(1:yxxxyyywwyw 2)間接法間接法所謂所謂間接法間接法,即利用已知的高階導數(shù)公式即利用已知的高階導數(shù)公式, 通過運通過運算法則算法則, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導數(shù)階導數(shù). 高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則則則階導數(shù)階導數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu vunnvnuvuvunnnn )2()1()()(! 2)1()()3(萊布尼茲公式萊布尼茲公式)()(0kknnkknvuC )()()(!)1()1(nkknuvv

10、ukknnn 例例4 階階導導數(shù)數(shù)：計計算算下下列列函函數(shù)數(shù)的的 n212)3(cossin)2(3sin)1(2662 xxxyxxyxxy解解)(2)()3sin()1(nnxxy 萊萊布布尼尼茲茲公公式式 uv2)()3(sinxxn )()3(sin2)1( xxnn)()3(sin! 2)1(2)2( xxnnn2)23sin(3xnxn xnxnn2)2)1(3(sin31 2)2)2(3(sin3! 2)1(2 nxnnn)(2)3(sinnxx xxy66cossin)2( 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxx

11、xx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn212)3(2 xxxy解解2122 xxxy131235 xx11)1(31)2(35 xxnnxny 1)()2)()2)(1(53nxn 1)1)()2)(1(31注：注：計算高階導數(shù)一般比較麻煩計算高階導數(shù)一般比較麻煩,多使用間接法多使用間接法,使用時使用時,應(yīng)根據(jù)給出的函數(shù)先予以化簡變成基本應(yīng)根據(jù)給出的函數(shù)先予以化簡變成基本公式中的形式公式中的形式(如如(2)(3),然后再套用公式計算。然后再套用公式計算。 11) 1( 31)2

12、( 53!) 1(nnnxxn練習練習 )20(22 yexyx求解解 ：設(shè)：設(shè) 則則, , 22xeux)20 , , 2 , 1 , 0( 22)(keuxkk)20 , , 4 , 3( 0 , 2 ,2)( kxk由由 Leibniz 公式公式 , 可得可得0219.2020)18()19()20()20( uuuy22190222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3)分段函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程表達的函數(shù)的分段函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程表達的函數(shù)的 高階導數(shù)高階導數(shù).0)(,00)(2處處具具有有二二階階導導數(shù)數(shù)在在何何值值時時為為問問設(shè)設(shè) xx

13、fcbaxcbxaxxexfx例例5 解解數(shù)數(shù)處處處處均均連連續(xù)續(xù)且且有有各各階階導導cbxaxex 2,必必須須且且只只需需處處有有二二階階導導數(shù)數(shù)在在要要使使,0)( xxf ) 0() 0() 00() 00() 00() 00(ffffff)0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxf)0)(處處一一階階可可導導且且連連續(xù)續(xù)在在 xxf)0)(處處二二階階可可導導在在 xxf 020)(xxxcbxaxe即即00)2( xxxbaxexbbaxxexxx 2lim1lim00 abc2111.0)(,1, 1,21處處有有二二階階導導數(shù)數(shù)在在時時當當 xxfcba 00)(2xcbxaxxexfx

14、) 0() 0() 00() 00() 00() 00(ffffff例例6.,),()tan(yyxyyyxy 求求確確定定設(shè)設(shè)方方程程解解求求導導得得：方方程程兩兩邊邊對對 x)1)(sec2yyxy 整整理理得得：)(tan)(tan1)(sec1)(sec2222yxyxyxyxy :,求求導導繼繼續(xù)續(xù)對對的的函函數(shù)數(shù)仍仍視視為為將將上上式式中中的的xxy)11(22233yyyyy )(tan112yxy 211yy 練習練習 求由方程求由方程 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù) y = y (x) 的二階導數(shù)。的二階導數(shù)。0sin21yyx解：方程兩邊對解：方程兩邊對x求導，求導， 注意到注意

15、到 y是是 x函數(shù)，函數(shù)， 有有 ) 1 ( 0cos211yyy)2( cos22cos2111yyy(2) 式繼續(xù)對式繼續(xù)對x求導求導, 得得32)cos2(sin4)cos2(sin2yyyyyy 或者或者 (1) 式繼續(xù)對式繼續(xù)對x求導求導, 得得0cos21)(sin212 yyyyy說明：說明： (i) 隱函數(shù)的二階導數(shù)的求法有例隱函數(shù)的二階導數(shù)的求法有例2所示的兩種，所示的兩種， 各有優(yōu)劣各有優(yōu)劣 。 32)cos2(sin4cos211)(sin21yyyyyy (ii) 表達式中一般含有表達式中一般含有x、y，且形式不唯一，且形式不唯一 。 如上例中，將如上例中，將 sin

16、y 用用 2 ( y - x) 代替代替 。.)()cos1(),sin(的的二二階階導導數(shù)數(shù)確確定定的的函函數(shù)數(shù)所所求求由由擺擺線線xyyayax 例例7解解 xydxdy )cos1(sin aa cos1sin )cos1sin(22 dxddxyddxddd )cos1sin(2)cos1(sinsin)cos1(cos )cos1(1 a2)cos1(1 a,)()(二階可導二階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )()()()()(2ttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即一般地，一般地，注：應(yīng)掌握該結(jié)論的推

17、導思想！注：應(yīng)掌握該結(jié)論的推導思想！)(1t 二、相關(guān)變化率二、相關(guān)變化率,)()(都都是是可可導導函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)tyytxx 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?.化化率率稱稱為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率這這樣樣兩兩個個相相互互依依賴賴的的變變,之之間間存存在在某某種種關(guān)關(guān)系系與與而而變變量量yx,間間也也存存在在一一定定關(guān)關(guān)系系與與從從而而它它們們的的變變化化率率dtdydtdx我們來介紹導數(shù)在相關(guān)變化率問題中的簡單應(yīng)用我們來介紹導數(shù)在相關(guān)變化率問題中的簡單應(yīng)用.10,/10速速度度時時體體積積和和表表面面積積的

18、的增增長長求求當當半半徑徑為為的的速速度度增增長長著著一一個個氣氣球球的的半半徑徑以以cmscm例例8 8解解),(,trrt 氣氣球球的的半半徑徑為為時時設(shè)設(shè)在在時時刻刻分分別別為為則則氣氣球球的的體體積積和和表表面面積積)(34V3tr )(4S2tr .的的函函數(shù)數(shù)都都是是和和顯顯然然，tSV?)(?)(10 tStVcmr時時今今問問：當當,)( 未未知知因因為為tr,)(),(的的導導數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于無無法法求求出出ttStV從從而而得得發(fā)發(fā)考考慮慮問問題題所所以以只只能能從從已已知知公公式式出出,dttdrtrdtdS)()(24 scmdtdStr/800101024210)( 類類似似地地，./800,/4000,1023scmscmcmr 表表面面積積的的增增長長速速度度為為體體積積的的增增長長速速度度為為時時即即 dttdrtrdtdV)()(3342 scmdttdr/10)( 由由題題設(shè)設(shè)知知scmdtdVtr/4000101043210)( 時時cmtr10)( 例例9 9.,/,)(),(3水水面面上上升升的的速速度度半半時時圓圓錐錐形形容容器器的的高高度度的的一一試試求求容容器器內(nèi)內(nèi)水水位位高高度度為為注注水水的的速速度度由由頂頂部部向向容容器器內(nèi)內(nèi)如如以以容容器器的的正正圓圓錐錐高高為