第四章-恒定電流的電場和磁場

1、電磁場理論II第四章 揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院第四章 恒定電流的電場和磁場 §4.1  恒定電流的電場§4.2  恒定電場與靜電場的比擬§4.3  恒定磁場的基本方程§4.4  恒定磁場的矢量磁位§4.5  介質(zhì)中的磁場§4.6  恒定磁場的邊界條件§4.7  電感的計(jì)算§4.8  恒定磁場的能量和力§4.1 恒定電流的電場 圖 4-1 導(dǎo)體中的恒定電流4.1.1 微分形式的歐姆定律和焦耳定律 它的定義是: 單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體任一

2、橫截面的電荷量, 數(shù)學(xué)表示式為 所以恒定電流的電流強(qiáng)度定義為上式中Q是在時(shí)間t內(nèi)流過導(dǎo)體任一橫截面的電荷, I是常量。電流強(qiáng)度的單位為(A=C/s)。 圖 4-2 電流密度矢量式中J是體傳導(dǎo)電流密度, 單位為A/m2。如果所取的面積元的法線方向 與電流方向不平行, 而成任意角, 如圖4-2(b)所示, 則通過該面積的電流是 所以通過導(dǎo)體中任意截面S的電流強(qiáng)度與電流密度矢量的關(guān)系是 1.歐姆定律的微分形式 由實(shí)驗(yàn)已知, 當(dāng)導(dǎo)體溫度不變時(shí), 通過一段導(dǎo)體的電流強(qiáng)度和導(dǎo)體兩端的電壓成正比, 這就是歐姆定律 式中R稱為導(dǎo)體的電阻, 單位為, 表示式為 或上式中, l為導(dǎo)體長度; S為導(dǎo)體橫截面; 稱為

3、導(dǎo)體的電導(dǎo)率, 它由導(dǎo)體的材料決定, 單位為1/·m=S/m。 表 4-1 幾種材料在常溫下的電阻率和電導(dǎo)率圖 4-3 推導(dǎo)歐姆定律微分形式所以J=E。在各向同性媒質(zhì)中, 電流密度矢量J和電場強(qiáng)度E方向一致, 都是正電荷運(yùn)動(dòng)方向, 故有 運(yùn)流電流不服從歐姆定律, 所謂運(yùn)流電流, 是指電荷在真空或氣體中由于電場的作用而運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的電流。其電流密度是 式中v(C/m3)為某點(diǎn)的電荷密度, v為該點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)速度。 2. 焦耳定律的微分形式 一般通有電流I的導(dǎo)體, 若其兩端的電壓為U, 則單位時(shí)間內(nèi)電場對電荷所作之功, 即功率是 圖4-3中, 微小圓柱體的體積元為V=Sl, 它的熱損耗功率是

4、 當(dāng)V0, 取P/V的極限就是導(dǎo)體中任一點(diǎn)的熱功率密度, 它是單位時(shí)間內(nèi)電流在導(dǎo)體任一點(diǎn)的單位體積中所產(chǎn)生的熱量, 單位是W/m。表示式是 或上式就是焦耳定律的微分形式。它在恒定電流和時(shí)變電流的情況下都成立, 但對運(yùn)流電流不適用, 因?yàn)檫\(yùn)流電流中電場力對電荷所作的功不變成熱量, 而變成電荷的功能。 4.1.2 恒定電場的基本方程 1.電流連續(xù)性方程, 恒定電場的散度 圖 4-4 電流的連續(xù)性根據(jù)電荷守恒原理, 單位時(shí)間內(nèi)由閉合面S流出的電荷應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)S面內(nèi)電荷的減少量。因而得 然而, 在恒定電場中, 導(dǎo)體內(nèi)部電荷保持恒定, 即不隨時(shí)間變化,故dQ/dt=0所以得 恒定電流連續(xù)性方程的微分

5、形式 如果導(dǎo)體的導(dǎo)電性能均勻, 是常數(shù), 則得 根據(jù)高斯定理,上式說明導(dǎo)體內(nèi)部任一閉合面S內(nèi)包含的凈電荷Q=0。 所以在均勻?qū)w內(nèi)部雖然有恒定電流, 但沒有電荷, 恒定電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。導(dǎo)體內(nèi)部的恒定電場是由表面上的電荷產(chǎn)生的。 在均勻?qū)w內(nèi)部 2. 恒定電場的旋度 因?yàn)樵趯?dǎo)體內(nèi)部電荷量保持恒定, 電場分布也為恒定, 所以恒定電場與靜電場相同也遵循守恒定理, 所以 由斯托克斯定理, 從式(4-16)可得 所以恒定電場也是位場。 恒定電場這個(gè)特性只在電源外的導(dǎo)體中滿足。在電源內(nèi)部, 不僅有電荷產(chǎn)生的電場, 還有其它局外電場, 因此不滿足守恒定理。 在電源外的導(dǎo)體內(nèi), 恒定電場的基本方程

6、為： 微分形式 積分形式 媒質(zhì)特性, 即歐姆定律的微分形式為 由于×E=0, 故電場強(qiáng)度與電位的關(guān)系滿足E=- 。在載有恒定電流的均勻?qū)w內(nèi)部(即為常數(shù)), 可得 所以電源外的導(dǎo)體內(nèi), 電位函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。 4.1.3 恒定電場的邊界條件 1. 兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的邊界 圖 4-5 恒定電場不同媒質(zhì)分界面所以 (4-19)又由Jn=En和E=-, 式(4-19)可表示為 (4-20)根據(jù)式(4-16), 仿第二章節(jié)在交界面上取一扁矩形閉合路徑, 即可得 所以此式說明分界面上電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)。 又因?yàn)镴t=Et, 并應(yīng)用第三章推導(dǎo)電位邊界條件的方法可得 上兩式相除得 此式表明分

7、界面上電流線和電力線發(fā)生曲折。 當(dāng)恒定電流通過電導(dǎo)率不同的兩導(dǎo)電媒質(zhì)時(shí),其電流密度和電場強(qiáng)度要發(fā)生突變。故分界面上必有電荷分布。如兩種金屬媒質(zhì)(通常認(rèn)為金屬的介電常數(shù)為0)的分界面上, 根據(jù)D1n-D2n=s, 則得式中s是分界面上自由電荷面密度。將式(4-20)代入上式得 (4-26)可見, 只要12, 分界面上必定有一層自由電荷密度。如果導(dǎo)電媒質(zhì)不均勻, 即使在同一媒質(zhì)中也會(huì)有體電荷的積聚。 2. 兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率1<<2 當(dāng)一種導(dǎo)電媒質(zhì)為不良導(dǎo)體(10, 但很小), 另一種導(dǎo)電媒質(zhì)為良導(dǎo)體(2很大), 如同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體通常由電導(dǎo)率很高(107數(shù)量級)的銅或鋁制成, 而填

8、充在兩導(dǎo)體間的材料不可能是理想的絕緣電介質(zhì), 總有很小的漏電導(dǎo)存在。例如, 聚乙烯的電導(dǎo)率為10-10數(shù)量級, 由式(4-26)得 3. 第一種媒質(zhì)為理想介質(zhì), 第二種媒質(zhì)為導(dǎo)體 圖 4-6 理想介質(zhì)與導(dǎo)體交界面的電場強(qiáng)度由上式可知E1不垂直導(dǎo)體表面, 那么導(dǎo)體表面不是等位面, 導(dǎo)體也不是等位體, 這是由于2有限, 導(dǎo)體中沿電流方向存在電場。 而在靜電場中, 導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度為零, 介質(zhì)中的場強(qiáng)總是垂直導(dǎo)體表面, 導(dǎo)體是等位體, 其表面是等位面。這一點(diǎn), 恒定電場與靜電場有根本的區(qū)別。然而2越大, E2t和E1t越小, 1也越小, 直至2=時(shí), E1就垂直導(dǎo)體表面, 導(dǎo)體表面為等位面。 例 4.

9、1 設(shè)直徑為2mm的導(dǎo)線, 每100 m長的電阻為1 , 當(dāng)導(dǎo)線中通過電流20 A時(shí), 試求導(dǎo)線中的電場強(qiáng)度。如果導(dǎo)線中除有上述電流通過外, 導(dǎo)線表面還均勻分布著面電荷密度為s=5×10-12(C/m2)的電荷, 導(dǎo)線周圍的介質(zhì)為空氣, 試求導(dǎo)線表面上的場強(qiáng)大小和方向。 圖 4-7 導(dǎo)線表面的電場解 (1) 在導(dǎo)體內(nèi)部只存在Et, 如圖4-7所示。 (2) 因?yàn)樵趯?dǎo)體表面存在恒定電荷, 所以產(chǎn)生的場強(qiáng)是 V/m 導(dǎo)體表面上總的場強(qiáng)為 V/m 電場強(qiáng)度與導(dǎo)體表面的夾角為 V/m 例 4.2 設(shè)有一同心金屬球, 內(nèi)外球體之間均勻充滿二層電導(dǎo)率分別為1和2的導(dǎo)電媒質(zhì), 1、2遠(yuǎn)小于金屬球的

10、電導(dǎo)率。 12, 為常數(shù)。導(dǎo)體球及導(dǎo)電媒質(zhì)的半徑如圖4-8所示。內(nèi)外球間加有直流電壓U0, 極性如圖。試求兩區(qū)域中恒定電場的電流、 電流密度、電場強(qiáng)度及電位的分布。 圖 4-8 同心金屬球解法1: 設(shè)流過兩區(qū)域的任一同心球面的電流為I。 則兩區(qū)域中任一點(diǎn)的電流密度為 導(dǎo)電媒質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場強(qiáng)度分別為故得 將I分別代入J、E1和E2的表示式, 即得到兩個(gè)區(qū)域中的電流密度和電場強(qiáng)度。如果取外金屬球?yàn)殡娢粎⒖键c(diǎn), 則區(qū)域(arc)中任一點(diǎn)的電位是 區(qū)域(crb)中任一點(diǎn)的電位是 解法2: 根據(jù)恒定電場電位方程求解。(1) 方程與解的形式: 由球?qū)ΨQ性, 僅是r的函數(shù), 得 arc crb 所以

11、(2) 由邊界條件確定常數(shù): 聯(lián)立求解上述四個(gè)方程得 所以得 所得結(jié)果與解法1中完全相同。例 4.3 一同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體半徑為a, 外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b, 內(nèi)外導(dǎo)體間填充一種介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的電介質(zhì)材料, 如圖4-9。試計(jì)算同軸電纜單位長度的絕緣電阻R1。 圖 4-9 同軸電纜的橫截面解法1: 用公式(4-6 b), , 式中dl為沿電流方向的長度元, 如圖4-9所示, S是垂直于電流方向的面積, 它可能是坐標(biāo)變量的函數(shù), 所以 解法2: 由兩極間電位差, 可根據(jù)拉普拉斯方程, 先求電位, 再由E=-, J=E, I=S J·ds求得電流強(qiáng)度I與兩極間電位差U的關(guān)系, 則絕緣電阻R1=

12、U/I。 當(dāng)電極有某種對稱關(guān)系時(shí), 可以先假設(shè)由一個(gè)電極通過絕緣材料到另一個(gè)電極的電流為I, 再由J=I/S, E=J/, U=l E·dl, 求得兩極間的電位差與電流的關(guān)系, 也同樣可以求得絕緣電阻。 應(yīng)用上述方法, 假設(shè)同軸電纜內(nèi)外導(dǎo)體間加一直流電壓U, 并考慮軸對稱, 故沿徑向流過同一圓柱面的漏電流密度相等, 是 所以內(nèi)外導(dǎo)體間電壓 則單位長度絕緣電阻是 (/m) 解法3: 根據(jù)靜電比擬法(見§4.2), 由例3.14中同軸線單位長度電容的表示式, 按式(4-30)求得 所以 例 4.4 設(shè)一扇形電阻片的尺寸如圖4-10所示, 材料的電導(dǎo)率為, 試計(jì)算A、B面之間的電

13、阻。 圖 4-10 扇形電阻片解法1: 設(shè)A板電位為U0, B板電位為零。A、B板間的電位滿足拉普拉斯方程, 并由對稱性, 只是的函數(shù), 故 其通解為=C1+C2, 根據(jù)邊界條件, =0, =0 得C2=0; =, =U0, 得C1=U0/, 則 電場強(qiáng)度: 電流密度: A板流向B板的電流: 所以 () 例 4.5 試計(jì)算如圖4-11所示的深埋在地下的銅球的接地電阻, 設(shè)銅球的半徑為a。 圖 4-11 計(jì)算接地電阻解:大地中任一點(diǎn)的電流密度為 電場強(qiáng)度為銅球至無限遠(yuǎn)處電壓是(認(rèn)為電流流至無限遠(yuǎn)處) 所以接地電阻是 式中是土壤的電導(dǎo)率。 §4.2 恒定電場與靜電場的比擬 表 4-2 恒

14、定電場與靜電場比較 例如兩導(dǎo)體電極間的電容為 (F) 兩導(dǎo)體電極間的電導(dǎo)為 (S) 且 例4.6 設(shè)例4-2中同心金屬球內(nèi)外導(dǎo)體間填充二層介電常數(shù)分別為1和2的無耗電介質(zhì), 而幾何尺寸及所加電壓均不變。 (1) 試用靜電比擬法求兩區(qū)域中的電通密度、 電場強(qiáng)度以及電位的分布; (2) 采用靜電場方法求出兩區(qū)域的D、E、分布, 并加以驗(yàn)證。 解 (1) 根據(jù)表4-2, 恒定電場與靜電場中, 只要兩電極的幾何形狀、尺寸及邊界條件不變, 則兩種場的對應(yīng)量可以相互置換, 所以直接得到 (2) 采用靜電場方法求解時(shí), 首先設(shè)內(nèi)、外金屬球帶電量分別為+Q和-Q, 根據(jù)球?qū)ΨQ性, 并且電介質(zhì)均勻, 故電通密度

15、矢量僅在徑向; 又由邊界條件D1r=D2r|r=c, 所以區(qū)域 1 及區(qū)域 2 的D相等。 根據(jù)高斯定理可得 所以取外金屬球?yàn)殡娢粎⒖键c(diǎn), 則兩個(gè)區(qū)域的電位分別是 arc crb 將Q分別代入D、E1、E2、1、2 的表示式, 得到的解與(1)中的解完全相同。 §4.3 恒定磁場的基本方程 §4.3 恒定磁場的基本方程 4.3.1 真空中恒定磁場的旋度, 安培環(huán)路定律 安培環(huán)路定律總結(jié)了恒定磁場與場源電流間的依賴關(guān)系。 安培根據(jù)畢奧薩伐定律總結(jié)出磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流的一般規(guī)律: 真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度沿閉合路徑的線積分等于該閉合路徑包圍電流的代數(shù)和乘以0, 取與回路成右螺旋關(guān)系的電流

16、為正, 反之為負(fù)。 數(shù)學(xué)表示式為 (4-31)圖 4-12 閉合回路包圍的電流見圖4-12, 電流的代數(shù)和 如果電流流過閉合路徑所包圍的面, 則式(4-31)可改寫為 上式中S是由閉合路徑包圍的任一曲面, J為體電流面密度。 所以例 4.7 設(shè)有兩根距離為d的無限長平行細(xì)線, 通有大小相等、 方向相反的電流I, 其橫截面及電流方向如圖4-13所示。試應(yīng)用安培環(huán)路定律計(jì)算該平行雙線的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 圖 4-13 平行雙導(dǎo)線B的計(jì)算解 因?yàn)殡p導(dǎo)線無限長, 磁場沿導(dǎo)線方向不變, 所以在任一個(gè)垂直于雙導(dǎo)線平面上的磁場分布均相同。 圖中xoy平面垂直于雙導(dǎo)線, Z軸與導(dǎo)線平行, 我們只需計(jì)算xoy平面上

17、任一點(diǎn)P(x, y, o)的磁通密度B. 對于單根導(dǎo)線, 由軸對稱性, 相等的圓柱面上B相等。則導(dǎo)線 1 和 2 上的電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度是 式中其中 分別是P點(diǎn)到導(dǎo)線1和2的垂直距離。所以得B只有x和y分量, 且不是z的函數(shù), 磁感應(yīng)線都在垂直于雙導(dǎo)線的平面上, 所以稱為平行平面場。當(dāng)y=0時(shí), 4.3.2 磁場的散度, 磁通連續(xù)性原理 根據(jù)畢奧-薩伐定律, 可推得B所滿足的散度方程。將式(2-12)兩邊對場點(diǎn)取散度, 通過矢量運(yùn)算, 即可得到恒等式 應(yīng)用散度定理得 如果要計(jì)算穿過任一非閉合面的磁通量, 則 例 4.8 試計(jì)算例4.7中, 穿過單位長度雙導(dǎo)線構(gòu)成的平面上的磁通量。設(shè)細(xì)導(dǎo)

18、線的半徑為a。 解 §4.4 恒定磁場的矢量磁位 4.4.1 矢量磁位A 根據(jù)場論公式 用另一個(gè)矢量函數(shù)A的旋度來表示B 式中A稱作為矢量磁位(或稱磁矢位)。 根據(jù)矢量恒等式 因J矢量為源點(diǎn)坐標(biāo)(加撇)的函數(shù),而與場點(diǎn)(不加撇)的坐標(biāo)無關(guān),故J矢量的旋度為零。所以有下式： 因?yàn)樯鲜街畜w積分是對源點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行的, 所以旋度運(yùn)算符號可提到積分以外, 則 參考點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)時(shí)，C矢量為零 (4-41)如果電流分布在表面S上, 則 如果電流分布在細(xì)導(dǎo)線回路中, 則得 (4-43)式(4-41)中的磁矢位A(r)隱含著一個(gè)重要的性質(zhì), 就是恒定電流分布在有限空間的條件下, A的散度是零, 即 上式中

19、應(yīng)用了斯托克斯定理, l表示面積邊緣的閉合曲線。 因?yàn)榇磐康膯挝皇荳b, 所以A的單位是Wb/m。 *2 .3 .3 電磁場的位函數(shù) 由表2-1中的麥?zhǔn)戏匠探M式(d)知, ·B=0 。由于 ·( ×A)=0, 因而可引入下述矢量位函數(shù)A(簡稱矢位或磁矢位): 即而由表2-1中的麥?zhǔn)戏匠探M式(a)知, 由于× =0, 因而可引入標(biāo)量位函數(shù)(簡稱標(biāo)位或電標(biāo)位)如下: 這里 前加負(fù)號是為了使 時(shí)化為靜電場的E=- 。 因 × ×A= ( ·A)- 2A, 上式可改寫為 (2-47)為使方程(2-47)具有最簡單的形式, 我們令

20、此式稱為洛侖茲規(guī)范(Lorentz gauge)。 *4.4.2 矢量磁位的微分方程以直角坐標(biāo)為例, 式(4-41)的矢量磁位可以寫成三個(gè)分量 當(dāng)體電荷密度為v(x, y, z)時(shí), 場點(diǎn)的電位可根據(jù)式(3-15)計(jì)算: 而電位(x, y, z)又滿足微分方程矢量磁位A(r)的每一個(gè)分量是下列泊松方程的解這一結(jié)論。 (4-47)將式(4-47)兩邊分別乘以各單位矢量后相加得 (4-48)上式為矢量位泊松方程。雖然在直角坐標(biāo)中推導(dǎo), 但磁矢量位A(r)在圓柱坐標(biāo)和球面坐標(biāo)中同樣滿足式(4-48)的泊松方程。在體電流密度分布為零的區(qū)域, 則有 此時(shí)矢量磁位滿足拉普拉斯方程。 例 4.9 試計(jì)算磁偶

21、極子在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的矢量磁位和磁感應(yīng)強(qiáng)度。 圖 4-14 磁偶極子磁場的計(jì)算解圓環(huán)上的電流元Idl在場點(diǎn)P產(chǎn)生的矢量磁位, 根據(jù)式(4-43)可表示為 在=0平面兩側(cè)和-處取兩個(gè)電流元Idl和Idl, 并令dl、 dl=dl, 它們在P點(diǎn)產(chǎn)生的dA和dA的方向分別和Idl、 Idl平行, 如圖4-14(b)所示。 上述一對電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的A是因?yàn)閞>>a, a2/r2可以略去, 所以 再根據(jù)二項(xiàng)式定理將上式右端展開, 并略去高階小量, 得 將1/R代入A的表示式, 得 式中S=a2是細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)的面積。 在球坐標(biāo)中, 應(yīng)用公式B=×A, 計(jì)算得 上式與例3.8中一個(gè)中心位于坐

22、標(biāo)原點(diǎn)的電偶極子在遠(yuǎn)處產(chǎn)生電場強(qiáng)度的表示式 其矢量磁位可表示為 圖 4-15 二種偶極子遠(yuǎn)區(qū)場分布圖例 4.10 如圖4-16所示, 設(shè)兩根距離為d的無限長平行細(xì)直導(dǎo)線, 半徑為a, a<<d, 通有大小相等, 方向相反的電流I。 試求: (1) 矢量磁位A的表示式; (2) 應(yīng)用公式B=×A得到磁通密度的表示式; #; (3) 穿過單位長度雙直導(dǎo)線構(gòu)成平面(即xoz平面)的磁通量。 圖 4-16 計(jì)算平行雙導(dǎo)線磁場解 由例4.7已知, 該題是平面場, 只需計(jì)算平面xoy平面上任一點(diǎn)P(x, y, 0)的場。 (1) 根據(jù)公式(4-43), 這里是對電流源所在點(diǎn)的坐標(biāo)積分

23、, R=|-|。 因?yàn)殡娏髌叫衵軸, 所以A也平行z軸。 在點(diǎn)(d/2, 0, z)和點(diǎn)(-d/2, 0, z)取一對電流元(大小相等、 方向相反), 則P點(diǎn)的矢量磁位是 其中設(shè)雙導(dǎo)線在無限遠(yuǎn)處閉合, 故 所以任意一點(diǎn)P矢量磁位是(2) 在直角坐標(biāo)中計(jì)算B=×A即得 (3) 圖 4-17 由A計(jì)算磁通量圖 圖 4-17 由A計(jì)算磁通量圖§4.5 介質(zhì)中的磁場4.5.1 介質(zhì)與磁場的相互影響 傳導(dǎo)電流產(chǎn)生磁場的性質(zhì)已由前論述, 現(xiàn)在討論分子電流產(chǎn)生的磁場。通常用磁化強(qiáng)度來表示介質(zhì)的磁化狀態(tài), 即磁化方向和程度:   為分子磁矩，排列是隨機(jī)的，對外不顯磁性。磁媒質(zhì)的磁

24、化,是媒質(zhì)中出現(xiàn)了宏觀的附加電流,稱為磁化電流。×M相當(dāng)于一個(gè)體電流密度, 稱為束縛體電流密度, 用J來表示: 而 對應(yīng)一個(gè)面電流密度, 稱為束縛面電流密度, 用 表示:  4.5.2 介質(zhì)中的安培環(huán)路定律, 磁場強(qiáng)度 磁介質(zhì)中的磁場應(yīng)由傳導(dǎo)電流和束縛電流共同產(chǎn)生, 真空中安培環(huán)路定律的微分形式應(yīng)改寫為 或 矢量B/0-M的旋度只與傳導(dǎo)電流有關(guān), 記 (A/m) 稱H為磁場強(qiáng)度, 并可得 式(4-57)就是磁介質(zhì)中安培環(huán)路定律的微分形式: (4-60)將式(4-60)兩端在一個(gè)面積S上積分, 再應(yīng)用斯托克斯公式, 即得 故這就是介質(zhì)中安培環(huán)路定律的積分形式,說明磁場強(qiáng)度H沿

25、任意閉合路徑的線積分等于閉合路徑所包圍的傳導(dǎo)電流的代數(shù)和, 與l的環(huán)繞方向成右手螺旋關(guān)系的電流取正值, 反之取負(fù)值。 4.5.3 B和H的關(guān)系, 磁導(dǎo)率 實(shí)驗(yàn)證明, 除鐵磁介質(zhì)外, 在其它各向同性、線性介質(zhì)中, M和H成正比, 表示式是 其中系數(shù)m稱為介質(zhì)的磁化率, 是一個(gè)無量綱的常數(shù), 它取決于物質(zhì)的物理、化學(xué)性質(zhì)。 順磁介質(zhì)中m0, 抗磁介質(zhì)中m0, 真空中m=0。 令于是 表 4-3 幾種材料在常溫下的相對磁導(dǎo)率4.5.4 標(biāo)量磁位m 恒定磁場和靜電場不同, 它是有旋場, 因而不能用標(biāo)量位函數(shù)來表示。但是在沒有傳導(dǎo)電流的區(qū)域中, H的旋度等于零, 在這種無傳導(dǎo)電流的區(qū)域中, 可寫為 上式

26、m稱為磁場的標(biāo)量位, 簡稱標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位, 式中負(fù)號是為了與靜電場相對應(yīng)而人為地引入的。 在均勻介質(zhì)中, 根據(jù)·B=0, B=H, 及H=- m, 可得 例 4.11 一半徑為a(m)的圓形截面的無限長直銅線, 通過電流為I(A), 在銅線外套一個(gè)與之同軸的磁性材料制成的圓筒, 圓筒內(nèi)、 外半徑分別為c(m)和b(m), 相對磁導(dǎo)率r=2000。試求: (1) 圓筒內(nèi)的磁場強(qiáng)度和磁通密度; (2) 通過圓筒中每單位長度的總磁通量; (3) 圓筒中的磁化強(qiáng)度M; (4)圓筒中的束縛電流密度; (5) 圓筒壁外的磁場。 解 (1) 應(yīng)用安培環(huán)路定律: 式中I僅為傳導(dǎo)電流的代數(shù)和。在磁性

27、圓筒橫截面上取一半徑為的圓作為閉合路徑l, 則 于是(2) （3）(4) 由式(4-54), 則材料中束縛體電流密度是 由式(4-55)能分別求出內(nèi)外表面的束縛面電流密度是: (5) 當(dāng)a時(shí), 則 則 解法1：則解法2: 磁性圓筒產(chǎn)生的磁場等效為在真空中束縛電流產(chǎn)生的磁場。 則 由上計(jì)算表明, b處的磁場和沒有圓筒時(shí)的場相同, 這是由于磁性圓筒內(nèi)、外表面束縛電流相互抵消的緣故。而磁性圓筒內(nèi)的磁場就需要考慮筒內(nèi)壁的束縛電流, 所以 §4.6 恒定磁場的邊界條件 4.6.1 B和H的邊界條件 仿第二章推導(dǎo)方法即可得 或 (4-68)上式表明在分界面上磁感應(yīng)強(qiáng)度B的法向分量總是連續(xù)的。由于

28、B=H, 當(dāng)12時(shí), 則在分界面上1H1n=2H2n, 故H1nH2n, 也就是分界面上磁場強(qiáng)度H的法向分量不連續(xù)。 仍按第二章推導(dǎo)方法可得 圖 4-20 表面電流 (4-70)磁場經(jīng)過介質(zhì)分界面時(shí)要突變, 當(dāng)然包含方向的改變, 根據(jù)式(4-68)和式(4-70), 可改寫為 式中1、2分別為磁場強(qiáng)度H與交界面法線方向的夾角, 將上兩式相除則得 4.6.2 A和m的邊界條件 矢量磁位A在邊界上滿足 在沒有傳導(dǎo)電流的分界面上, 由H1t=H2t及B1n=B2n可得標(biāo)量磁位滿足 例 4.12 設(shè)無限長同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑是a(m), 外導(dǎo)體內(nèi)半徑是b(m), 外導(dǎo)體厚度忽略不計(jì), 內(nèi)外導(dǎo)體間填充磁導(dǎo)率

29、為的均勻磁介質(zhì)(0), 內(nèi)外導(dǎo)體分別通有大小相等、方向相反的電流I, 見圖4-21, 試用矢量磁位計(jì)算各區(qū)域的磁場。 解 因?yàn)橥S線無限長, 故磁場分布沿長度方向沒有變化。 又為圓截面、材料均勻, 故磁場是軸對稱場。磁場分布僅是半徑的函數(shù)。采用圓柱坐標(biāo), 取內(nèi)導(dǎo)體電流為 方向, 外導(dǎo)體電流為 方向, 則矢量磁位A只有 方向的分量, H和B只有方向的分量, 并是以軸心為圓心的同心圓。 內(nèi)導(dǎo)體中(a), A滿足泊松方程, 內(nèi)外導(dǎo)體間A滿足拉普拉斯方程。 圖 4-21 同軸線及其磁場分布圖 4-21 同軸線及其磁場分布根據(jù)式（4-48）得一維磁矢位方程 （4-75） （4-76）方程（4-75）的解

30、是方程（4-76）的解是根據(jù)邊界條件確定系數(shù)：因?yàn)?時(shí)，場量必須為有限值，故C1=0,因?yàn)橛邢?，?dǎo)體表面無傳導(dǎo)電流，故根據(jù)式（4-70），在處得最終得到內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)部（ 處）：內(nèi)、外導(dǎo)體間根據(jù)式（4-74），在 處選擇 處為參考點(diǎn)，得故§4.7 電 感 的 計(jì) 算 §4.7 電 感 的 計(jì) 算 4.7.1 自感 圖 4-22 N匝密繞線圈該密繞線圈的全磁通為 又稱磁通匝鏈數(shù), 或簡稱為磁鏈。 圖 4-23 圓柱導(dǎo)體內(nèi)的磁鏈 (4-78)其中2/a2相當(dāng)d所交鏈的匝數(shù)N, 故N=2/a2。 顯然在=a處, 因?yàn)閷?dǎo)體表面附近的磁感應(yīng)線交鏈著全部電流I, 則N=1匝。 在各向同性、線

31、性磁介質(zhì)中, 設(shè)有一閉合導(dǎo)線回路, 在回路通有電流時(shí), 定義穿過回路的磁通與該回路中的電流的比值為 圖 4-24 外自感的計(jì)算或者等于A沿l的閉合線積分: 則穿過以l為邊界的面積上的磁鏈?zhǔn)?根據(jù)外自感的定義可得 計(jì)算單匝線圈導(dǎo)線回路的內(nèi)自感時(shí), 通?；芈烦叽绫葘?dǎo)線截面積尺寸大得多, 則導(dǎo)線內(nèi)部的磁場可近似地認(rèn)為與無限長直導(dǎo)線內(nèi)部的磁場相同。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a, 磁導(dǎo)率為0, 則由例4.12應(yīng)用安培環(huán)路定律算得導(dǎo)線內(nèi)距軸線處的磁通密度是 導(dǎo)線內(nèi)部磁力線是以軸線為中心的同心圓, 在導(dǎo)線長度為l范圍內(nèi),穿過處厚度為d的矩形截面的磁通為(見圖4-25)di=Bds=Bl d, 由公式(4-78)得 故總磁鏈為因而一段長度為l的圓柱形導(dǎo)體的內(nèi)自感是 單位長度的內(nèi)自感為 它與導(dǎo)體半徑無關(guān)。 圖 4-25 內(nèi)自感的計(jì)算圖 4-26 計(jì)算環(huán)形螺線管的外自感例 4.13 如圖4-26所示的矩形截面環(huán)形螺線管共有N匝線圈, 繞在相對磁導(dǎo)率為r的磁介質(zhì)上, 線圈中通有電流I(A), 磁介質(zhì)的截面尺寸如圖4-26所示, 試求外自感。 解 所以 通過螺環(huán)一匝線圈的磁通量是 則穿過整個(gè)螺線管的磁鏈?zhǔn)?該環(huán)形螺線管的外自感是 例 4.14 設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a(m), 外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b(m), 外半徑為c(m)。同軸線所用材料磁導(dǎo)率均