全等三角形歷年中考難題

1、紅城教育培訓(xùn)學(xué)校數(shù)學(xué)教研組制作 制作人：汪皞監(jiān)制：汪校長(zhǎng) 黃校長(zhǎng) 童老師（第6題）全等三角形專題（一） 姓名：1.如圖，平分于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）A.1 B.2 C.3 D. 42.如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且DAB=30°。有以下四個(gè)結(jié)論：AFBC ；ADGACF； O為BC的中點(diǎn)； AG：DE=：4，其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .（錯(cuò)填得0分，少填酌情給分）3如圖，在RtABC中，BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A

2、、D重合，連結(jié)BE、EC試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想ABCDE4八（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖）.設(shè)計(jì)了如下方案： （）AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是AOB的平分線.（）AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是AOB的平分線.（1）方案（）、方案（）是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說明理由.（2

3、）在方案（）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PMOA，PNOB.此方案是否可行？請(qǐng)說明理由. 5（2010湖南婁底）如圖10，在四邊形ABCD中，ADBC，E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BE，BEAE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD6（2010江蘇揚(yáng)州）電子跳蚤游戲盤是如圖所示的ABC，AB=6，AC=7，BC=8如果跳蚤開始時(shí)在BC邊的P0處，BP0=2跳蚤第一步從P0跳到AC邊的P1（第一次落點(diǎn))處，且CP1=CP0；第二步從P1跳到AB邊的P2（第一次落點(diǎn))處，且AP2=AP1；第三步從P2跳到BC邊的P3（第三次落點(diǎn))處，且BP3=B

4、P2；跳蚤按上述規(guī)則一致跳下去，第n次落點(diǎn)為Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2007與P2010之間的距離為（ ）A1 B2 C3 D4ABCP0P3P2P1第8題7（2010安徽蚌埠）在中，分別是上的點(diǎn)， 交于點(diǎn)，若，則四邊形的面積為_。8（2010安徽蚌埠）三角形紙片內(nèi)有100個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共103個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線。現(xiàn)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，并把紙片剪成小三角形，則這樣的三角形的個(gè)數(shù)為_。9.觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形有 個(gè) 10、（2009臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且E

5、F交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由； （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由ADFCGEB圖1ADFC

6、GEB圖2ADFCGEB圖311、（2009年牡丹江）已知中，為邊的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明AECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F12（2008山東泰安）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)圖1圖2DCEAB（第22題）（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：13、在等邊

7、的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示）14、已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證當(dāng)

8、繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）15 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 16、如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFB

9、D圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。17、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD18、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC 全等三角形難題1.在ABC 中，ABAC，A20°，D、E 分別是AB、AC 上的點(diǎn)，DCB50

10、76;，EBC60°，求DEB 的度數(shù)。2.在三角形ABC 中，AB=AC,AD 平分角ABC 交AC 于D，AD+BD=BC，求角A 的度數(shù)。3.在直角三角形ABC 中，BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E 是直線AC 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=EC，AMBD，垂足為M，AM 的延長(zhǎng)線交BC 于N，直線BD 直線NE 相交于點(diǎn)F，試判斷三角形DEF的形狀，并加以證明。4.如圖，在ABC 中，C = 2B ，D 是BC 上的一點(diǎn)，且AD AB ，點(diǎn)E 是BD的中點(diǎn)，連結(jié)AE （1）求證：AEC = C（2）求證：BD = 2AC（3）若AE = 6.5，AD = 5，那么ABE

11、 的周長(zhǎng)是多少？全等三角形中的動(dòng)態(tài)幾何問題汪老師：動(dòng)態(tài)幾何題，是指以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題；而通過對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化，使同學(xué)們經(jīng)歷由觀察、想象、推理等發(fā)現(xiàn)、探索的過程，是中考數(shù)學(xué)試題中，考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的重要題型；解決這類問題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)本文以中考試題中的全等三角形動(dòng)態(tài)幾何題為例，談?wù)勥@類問題的解題思路，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考例1（揚(yáng)州）在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；D

12、E=ADBE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=ADBE；ABCDEMN圖2（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明ACBEDNM圖3CBAED圖1NM證明：評(píng)注：本題以直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中與ABC的不同的位置關(guān)系為背景設(shè)置的三個(gè)小題，第（1）小題的兩個(gè)小題中，是的臺(tái)階，只要證明了，不難得到；第（1）小題思路又作為解決第（2）小題的借鑒；第（3）小題為探索性問題，探索的結(jié)論及證明過程可借鑒第（1）、（2）兩小題，整個(gè)試題考查了同學(xué)們從具體、特殊的情形出發(fā)去探究運(yùn)動(dòng)變化過程中的規(guī)律的能力例2（錦州）如

13、圖A，ABC和CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，連接AF和BE（1）線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論； （2）將圖A中的CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖B，（1）中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說明理由；（3）若將圖A中的ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，請(qǐng)你畫山一個(gè)變換后的圖形C（草圖即可），（1）中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷不必說明理由； （4）根據(jù)以上證明、說理、畫圖，歸納你的發(fā)現(xiàn)答：全等三角形提高練習(xí)1.如圖所示，ABCADE，BC的延長(zhǎng)線過點(diǎn)E，ACB=AED=105°，CAD=10°，B=50°，求DEF的度數(shù) 。 ABCFDE

14、2.如圖，AOB中，B=30°，將AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52°得到AOB邊AB與邊OB交于點(diǎn)C（A不在OB上），則ACO的度數(shù)為 。BAABOC 3如圖所示，在ABC中，A=90°，D,E分別是AC,BC上的點(diǎn)，若ADBEDBEDC,則C的度數(shù)是 。 DECBA4.如圖所示，把ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°，得到ABC,AB交AC于點(diǎn)D，若ADC=90°，則A= 。 BDACBA5已知，如圖所示，AB=AC,ADBC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,則AD= .ABDC6如圖，RtABC中，BAC=90°

15、，AB=AC,分別過點(diǎn)B，C,作過點(diǎn)A的直線的垂線BD,CE,垂足為D,E，若BD=3，CE=2,則DE= . DAECB7如圖，AD是ABC 的角平分線，DEAB,DFAC,垂足分別是E,F，連接EF,交AD于G,AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論。 BDCFAEG8.如圖所示，在ABC中，AD為BAC的角平分線，DEAB于E,DFAC于F, ABC的面積是 28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的長(zhǎng)。AEFBDC9.已知，如圖，AB=AE, B=E, BAC=EAD, CAF=DAF. 求證：AFCDABEDFC10.如圖，AD=BD,ADBC于D,BEAC于E,AD于BE相交于點(diǎn)

16、H，則BH與AC相等嗎？為什么？ABDCEF 11.如圖所示，已知，AD為ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD. 求證：BEACBAEHDC12DAC, EBC均是等邊三角形，AE,BD分別與CD,CE交于點(diǎn)M,N, 求證：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) CMN為等邊三角形（4）MNBCEEDACBNM13已知：如圖1，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM，CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F (1)求證：AN=BM； (2)求證：CEF為等邊三角形；(3)將ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 O，其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖

17、形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）14. 如圖所示，已知ABC和BDE都是等邊三角形。下列結(jié)論： AE=CD；BF=BG；BH平分AHD； AHC=600,BFG是等邊三角形； FGAD。其中正確的有（ ） A 3個(gè) B 4個(gè) C 5個(gè) D 6個(gè)15.已知：BD，CE是ABC的高，點(diǎn)F在BD上，BF=AC,點(diǎn)G在CE的延長(zhǎng)線上，CG=AB. 求證:AGAF BCDAGEF16.如圖：在ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。 求證：（1）AD=AG， （2）AD與AG的位置關(guān)系如何。1

18、7.如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD 的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且DAE=FAE.求證：AF=AD+CFABFCED18.如圖所示，已知ABC中，AB=AC,D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ADB=60°，E是AD上一點(diǎn)，且DE=DB,求證：AC=BE+BCADEBC19.如圖所示，已知在AEC中，E=90°，AD平分EAC,DFAC,垂足為F,DB=DC.求證：BE=CF.ABFCDE20.已知：如圖3-50，AB=DE，直線AE，BD相交于C，BD=180°，AFDE，交BD于F 求證：CF=CD21.如圖，OC是AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PDOA于D， PEOB于E，F(xiàn)是OC上一點(diǎn)，連接DF和EF，求證：DF=EF。BADC CCEF22.已知：如圖，BFAC于點(diǎn)F，CEAB于點(diǎn)E，且BD=CD 求證：BDEC