2010年高考數(shù)學試題分類匯編--數(shù)列

1、2010年高考數(shù)學試題分類匯編數(shù)列（2010上海文數(shù)）21.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第一個小題滿分6分，第2個小題滿分8分。已知數(shù)列的前項和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).解析：(1) 當n=1時，a1=-14；當n2時，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以數(shù)列an-1是等比數(shù)列；(2) 由(1)知：，得，從而(nÎN*)；由Sn+1>Sn，得，最小正整數(shù)n=15（2010湖南文數(shù)）20.（本小題滿分13分）給出下面的數(shù)表序列：其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的

2、n個數(shù)是1,3,5，2n-1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。（I）寫出表4，驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n3）（不要求證明）； （II）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12，記此數(shù)列為 求和： （2010全國卷2理數(shù)）（18）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和（）求；（）證明：【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運用所學知識解決問題的能力. 【參考答案】【點評】2010年高考數(shù)學全國I、這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命

3、題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.估計以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).（2010陜西文數(shù)）16.（本小題滿分12分）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（）求數(shù)列an的通項;（）求數(shù)列2an的前n項和Sn.解 （）由題設(shè)知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列得，解得d1，d0（舍去）， 故an的通項an1+（n1）×1n.()由（）知=2n，

4、由等比數(shù)列前n項和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.（2010全國卷2文數(shù)）（18）（本小題滿分12分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和。【解析】本題考查了數(shù)列通項、前項和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。（1）設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于與的方程求得與，可求得數(shù)列的通項公式。（2）由（1）中求得數(shù)列通項公式，可求出BN的通項公式，由其通項公式化可知其和可分成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。（2010江西理數(shù)）22. （本小題滿分14分高考資源*網(wǎng)）證明以下命題：（1） 對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c)，使得成等差數(shù)列。（2） 存在無窮多

5、個互不相似的三角形，其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列?！窘馕觥孔鳛閴狠S題，考查數(shù)學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 （1）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進行拼湊。證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立。結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。證明：當成等差數(shù)列，則，分解得：選取關(guān)于n的一個多項式，做兩種途徑的分解對比目標式，構(gòu)造，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。下證互不相似。任取正整數(shù)m，n，若m，相似：則三邊對應(yīng)成比例， 由比例的性質(zhì)得：，與約定不

6、同的值矛盾，故互不相似。（2010安徽文數(shù)）（21）（本小題滿分13分)設(shè)是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.()證明：為等比數(shù)列；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和. 【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力.【解題指導】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，證明為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求的通項公式，代入數(shù)列，然后用錯位相減法求和.【方法技巧】對于數(shù)列與幾何圖

7、形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項與之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項公式或其他所求結(jié)論.對于數(shù)列求和問題，若數(shù)列的通項公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列時，通常是利用前n項和乘以公比，然后錯位相減解決.（2010重慶文數(shù)）（16）（本小題滿分13分，（）小問6分，（）小問7分. ）已知是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，為的前項和.（）求通項及；（）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及其前項和.（2010浙江文數(shù)）（19）（本題滿分14分）設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足+15=

8、0。（）若=5，求及a1；（）求d的取值范圍。（2010重慶理數(shù)）（21）（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分）在數(shù)列中，=1，其中實數(shù)。（I） 求的通項公式；（II） 若對一切有，求c的取值范圍。（2010山東文數(shù)）（18）（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列滿足：，.的前n項和為. （）求 及；（）令（）,求數(shù)列的前n項和.（2010北京文數(shù)）（16）（本小題共13分）已知為等差數(shù)列，且，。（）求的通項公式；（）若等差數(shù)列滿足，求的前n項和公式解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差。 因為 所以 解得所以 （）設(shè)等比數(shù)列的公比為 因為所以 即=3所以的前項和公式為（2010北京理數(shù)）（20

9、）（本小題共13分）已知集合對于，定義A與B的差為A與B之間的距離為（）證明：，且;（）證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)() 設(shè)P，P中有m(m2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）證明：（I）設(shè)， 因為，所以, www.ks 從而 又由題意知，.當時，; 當時，所以(II)設(shè)， ，. 記，由（I）可知 所以中1的個數(shù)為，的1的個數(shù)為。 設(shè)是使成立的的個數(shù)，則 由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)。（III）,其中表示中所有兩個元素間距離的總和，www.ks設(shè)種所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個

10、1，個0則=由于所以從而（2010四川理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）設(shè)bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；（）設(shè)cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Sn.本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力.解：(1)由題意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202分(2)當nN *時，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)

11、1a2(n1)1(a2n1a2n1)8w_w w. k#s5_u.c o*m即 bn1bn8所以bn是公差為8的等差數(shù)列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首項為b1a3a16,公差為8的等差數(shù)列則bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1w_w w. k#s5_u.c o*m 2n1 2n于是cn2nqn1.當q1時，Sn2462nn(n1)當q1時，Sn2·q04·q16·q22n·qn1.兩邊同乘以q，可得 qSn2·q14·q26·q32n·qn.

12、上述兩式相減得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m 2·2nqn 2·所以Sn2·綜上所述，Sn12分（2010天津文數(shù)）（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.（）證明成等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項公式；（）記，證明.【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法，滿分14分。（I）證明：由題設(shè)可知，。從而，所以，成等比數(shù)列。（II）解：由題設(shè)可得所以 .由，得 ，從

13、而.所以數(shù)列的通項公式為或?qū)憺?，。（III）證明：由（II）可知，以下分兩種情況進行討論：（1） 當n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m若，則，若，則 .所以，從而（2） 當n為奇數(shù)時，設(shè)。所以，從而綜合（1）和（2）可知，對任意有（2010天津理數(shù)）（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，且對任意.，成等差數(shù)列，其公差為。（）若=，證明，成等比數(shù)列（）（）若對任意，成等比數(shù)列，其公比為?！窘馕觥勘拘☆}主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。（）證明：由題設(shè)，可得。所以=2k(k+

14、1)由=0，得于是。所以成等比數(shù)列。（）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得當1時，可知1，k從而所以是等差數(shù)列，公差為1。（）證明：，可得，從而=1.由（）有所以因此，以下分兩種情況進行討論：（1） 當n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m()若m=1,則.若m2，則+所以(2)當n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m+1（）所以從而···綜合（1）（2）可知，對任意,有證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得所以由可知?？傻?，所以是等差數(shù)列，公差為1。（ii）證明：因為所以。所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得= ，故。從而。所以，由，可得

15、。于是，由（i）可知以下同證法一。（2010全國卷1理數(shù)）（22）(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效）已知數(shù)列中， .（）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（）求使不等式成立的的取值范圍 .（2010四川文數(shù)）（20）（本小題滿分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m已知等差數(shù)列的前3項和為6，前8項和為-4。（）求數(shù)列的通項公式；w_w w. k#s5_u.c o*m（）設(shè)，求數(shù)列的前n項和（2010山東理數(shù)）（18）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，的前n項和為（）求及；（）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項和【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以有，解得，所以；=。（

16、）由（）知，所以bn=，所以=，即數(shù)列的前n項和=?！久}意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。（2010湖南理數(shù)）21（本小題滿分13分）數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點（）當a=0時，求通項； （）是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。（2010湖北理數(shù)）（） 2. （2010安徽理數(shù)）20、（本小題滿分12分） 設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0。 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有。（2010江蘇卷）19、（本小題滿分16分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項公