3121_任意角的三角函數(shù)(優(yōu)秀課件)

1、學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知識(shí)與技能、知識(shí)與技能借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)借助單位圓理解任意角的三角函數(shù);從任意角三角從任意角三角函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)其定義域，函數(shù)值的符號(hào)函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)其定義域，函數(shù)值的符號(hào);已知角已知角終邊上一點(diǎn)終邊上一點(diǎn),會(huì)求角會(huì)求角的各三角函數(shù)值的各三角函數(shù)值; 記住三角記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）. 2、過(guò)程與方法、過(guò)程與方法利用終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值利用終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值 ;各各個(gè)三角函數(shù)值的象限符號(hào)；誘導(dǎo)公式一的熟練應(yīng)個(gè)三角函數(shù)值的象限符號(hào)；誘導(dǎo)公式一的熟練應(yīng)用。用。 3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀、情感

2、、態(tài)度與價(jià)值觀學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神科學(xué)精神. 教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)v 重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義，各三角函數(shù)值在重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義，各三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào)，特殊角的三角函數(shù)值每個(gè)象限的符號(hào)，特殊角的三角函數(shù)值.v 難點(diǎn)：對(duì)三角函數(shù)的自變量的多值性的理難點(diǎn)：對(duì)三角函數(shù)的自變量的多值性的理解，三角函數(shù)的求值中符號(hào)的確定解，三角函數(shù)的求值中符號(hào)的確定.1.在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧OabMPcOabMPyx2.在直角坐標(biāo)

3、系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？新課新課 導(dǎo)入導(dǎo)入22:barOPbMPaOM其中yx2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPM誘思誘思 探究探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPbaab1.銳角三角函數(shù)（在單位圓中）銳角三角函

4、數(shù)（在單位圓中）以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心，以單位圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓，稱(chēng)為長(zhǎng)度為半徑的圓，稱(chēng)為單位圓單位圓. yOP),(bax1M2.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè)設(shè) 是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)),(yxP 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，記作的正弦，記作 ，即，即 ；ysinysin （2） 叫做叫做 的余弦，記作的余弦，記作 ，即，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點(diǎn)上點(diǎn)

5、的的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱(chēng)為函數(shù)，我們將他們稱(chēng)為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域.)0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊的終邊說(shuō)說(shuō) 明明（1）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值橫坐標(biāo)的比值. .的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)， 正切就是正切就是 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與. .（2） 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當(dāng)當(dāng) 的終邊在的終邊在 y橫坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)等于0， xytan無(wú)意義，此時(shí)無(wú)意義

6、，此時(shí) )(2zkk軸上時(shí)，點(diǎn)軸上時(shí)，點(diǎn)P 的的（3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).任意角的三角函數(shù)的定義過(guò)程：任意角的三角函數(shù)的定義過(guò)程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù)直角三角形中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù)直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin單位圓中定義銳角三角函數(shù)單位圓中定義銳角三角函數(shù) ababtan,cos,sin單位圓中定義任意角的三角函數(shù)單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,

7、sinyxcosxytan,例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：解：在直角坐標(biāo)系中，作在直角坐標(biāo)系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 13( ,).22所以所以 53sin,32 51cos,325tan3.3 思考：思考：若把角若把角 改為改為 呢呢? 3567,2167sin,2367cos3367tan實(shí)例實(shí)例 剖析剖析xyoAB35P15.1P15.3 設(shè)角設(shè)角 是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角， 是終邊上的任意一點(diǎn)，是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離 .),( yxP022yxrP那么那么

8、叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點(diǎn)有關(guān)，而與點(diǎn) 在角的在角的終邊上的位置無(wú)關(guān)終邊上的位置無(wú)關(guān).P定義推廣：定義推廣：例例2.已知角已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P220( 3)( 4)5.OP 解解:由已知可得由已知可得設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過(guò)點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn) 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400

9、PM于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx4, 30P0MOyxMyxP ,135122222yxr1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是于是，鞏固鞏固 提高提高練習(xí)練習(xí): 1.已知角已知角 的終邊過(guò)點(diǎn)的終邊過(guò)點(diǎn) ， 求求 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值.5 ,12P解：解：由已知可得：由已知可得：P15.22P15 ,8aaaa.已知角 的終邊上一點(diǎn)R且0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaa

10、a所以 1017 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 32sin,cos ,tan.yx.已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當(dāng)角 的終邊在第一象限時(shí)，221,2125在角 的終邊上取點(diǎn)，則r=22 5152sin,cos,tan255155 2當(dāng)角 的終邊在第三象限時(shí)，221, 2125r 在角 的終邊上取點(diǎn)，則22 5152sin,cos,tan255155 1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定

11、它們的定義域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-yxo+-+-yxoyxo全為+yxosincostansinyr cosxr tanyx 三個(gè)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三個(gè)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)心得心得: :角定象限角定象限, ,象限定符號(hào)象限定符號(hào). .P15.3例例3. 求證：當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角求證：當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角 為第三象限角為第三象限角.反之

12、也對(duì)反之也對(duì)0tan 0sin 證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)槭绞?成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；0sin 又因?yàn)橛忠驗(yàn)槭绞?成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因?yàn)橐驗(yàn)槭蕉汲闪ⅲ越鞘蕉汲闪?，所以?的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明.P15.6如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？

13、個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 .020360到或 ？ 例題例題235344cossintantan.( )sin .cos .tan() 例例4.4.確確定定下下列列三三角角函函數(shù)數(shù)值值的的符符號(hào)號(hào), ,然然后后用用計(jì)計(jì)算算器器驗(yàn)驗(yàn)證證: : (1)250;(2)(-);(3)(-672 );(4)3 (1)25

14、0;(2)(-);(3)(-672 );(4)34 4（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?= 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以)672tan(tan(482 360 )tan48 , tan( 672 )0; 48解：解： （2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第四象限角，所以是第四象限角，所以4sin0;420tantan()tan. ( (4 4) )3 3o5.911 (1)sin1480 10; (2)cos; (3)tan(-)46例 求下列三角函數(shù)值:oooo(1)sin1480 10 = sin(40 10+ 4360 ) =

15、sin40 100.645; 92(2)coscos(2 )cos;4442113(3)tan()tan(2 )tan.6663解：解：6.已知已知 在第二象限在第二象限, 試確定試確定 sin(cos ) cos(sin ) 的符號(hào)的符號(hào). 解解: 在第二象限在第二象限, -1cos 0, 0sin 1. - - - -1, 1 ,2 2 - - cos 0, 0sin . 2 2 sin(cos )0. sin(cos ) cos(sin ) Oxy2( ,)33ppaP PM MP P1 1P P2 232y=21sin xyoP1P2xyo T A210 30 例利用單位圓尋找適合下列

16、條件的例利用單位圓尋找適合下列條件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 3tan3 例例3 3. .若若, ,試試比比較較的的大大小小. .0sin,tan, 2. 解：如圖，在單位圓中，設(shè) AOP=（0，）,則AP=2PPMOAMAATOAOPT過(guò)點(diǎn) 作于，過(guò)點(diǎn) 作交的延長(zhǎng)線于 ，.MPAT則角 的正弦線為，正切線為POAPOAAOT的面積扇形的面積的面積，111222OA MPOAOA AT，即MPAT.sintan .POxyMAT54sin32sin 與與AB o S2 S1P2P1 M1例例.利用三角函數(shù)線比較下

17、列各組數(shù)的大?。豪萌呛瘮?shù)線比較下列各組數(shù)的大小：解：解： 如圖可知：如圖可知： 54tan32tan 與與54sin32sin M254sin32sin 與與AB oT2T1 S2 S1例例.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。豪萌呛瘮?shù)線比較下列各組數(shù)的大?。航猓航猓?如圖可知：如圖可知： 54tan32tan 與與54sin32sin 54tan32tan 例例5.5.求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .( )2cos1f aa=-OxyP2MP112x=2,2()33kkkZppapp -+P1cos2a1.(0,2 )cossintanxxxx在內(nèi)使成立的 的取值范圍是( )3(,)44A53(,)42B3(,2 )2C37(,)24DCxyoMPAT32.(, )4若，則下列各式錯(cuò)誤的是( )( )sincos0A( )sincos0B( )|sin| |cos|C()sincos0DDsin0,cos0,|sin| |cos|分析：xyoy=-xPM 練習(xí)練習(xí)xyoy=-xxyoy=-xxyoMPsincos1,(0,)2