3121_任意角的三角函數(shù)(優(yōu)秀課件)

1、學習目標學習目標1、知識與技能、知識與技能借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)借助單位圓理解任意角的三角函數(shù);從任意角三角從任意角三角函數(shù)的定義認識其定義域，函數(shù)值的符號函數(shù)的定義認識其定義域，函數(shù)值的符號;已知角已知角終邊上一點終邊上一點,會求角會求角的各三角函數(shù)值的各三角函數(shù)值; 記住三角記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導公式（一）函數(shù)的定義域、值域，誘導公式（一）. 2、過程與方法、過程與方法利用終邊與單位圓的交點坐標求三角函數(shù)值利用終邊與單位圓的交點坐標求三角函數(shù)值 ;各各個三角函數(shù)值的象限符號；誘導公式一的熟練應個三角函數(shù)值的象限符號；誘導公式一的熟練應用。用。 3、情感、態(tài)度與價值觀、情感

2、、態(tài)度與價值觀學習轉化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的學習轉化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神科學精神. 教學的重點和難點教學的重點和難點v 重點：三角函數(shù)的定義，各三角函數(shù)值在重點：三角函數(shù)的定義，各三角函數(shù)值在每個象限的符號，特殊角的三角函數(shù)值每個象限的符號，特殊角的三角函數(shù)值.v 難點：對三角函數(shù)的自變量的多值性的理難點：對三角函數(shù)的自變量的多值性的理解，三角函數(shù)的求值中符號的確定解，三角函數(shù)的求值中符號的確定.1.在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba復習回顧復習回顧OabMPcOabMPyx2.在直角坐標

3、系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？新課新課 導入導入22:barOPbMPaOM其中yx2.在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPM誘思誘思 探究探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPbaab1.銳角三角函數(shù)（在單位圓中）銳角三角函

4、數(shù)（在單位圓中）以原點以原點O為為圓心，以單位圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為長度為半徑的圓，稱為單位圓單位圓. yOP),(bax1M2.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設設 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點),(yxP 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，記作的正弦，記作 ，即，即 ；ysinysin （2） 叫做叫做 的余弦，記作的余弦，記作 ，即，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點上點

5、的的坐標或坐標的比值坐標或坐標的比值為函數(shù)值的為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域.)0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊的終邊說說 明明（1）正弦就是交點的縱坐標，余弦就是交點）正弦就是交點的縱坐標，余弦就是交點橫坐標的比值橫坐標的比值. .的橫坐標，的橫坐標， 正切就是正切就是 交點的縱坐標與交點的縱坐標與. .（2） 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當當 的終邊在的終邊在 y橫坐標等于橫坐標等于0， xytan無意義，此時無意義

6、，此時 )(2zkk軸上時，點軸上時，點P 的的（3）由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立）由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應關系一一對應關系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù).任意角的三角函數(shù)的定義過程：任意角的三角函數(shù)的定義過程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù)直角三角形中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin直角坐標系中定義銳角三角函數(shù)直角坐標系中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin單位圓中定義銳角三角函數(shù)單位圓中定義銳角三角函數(shù) ababtan,cos,sin單位圓中定義任意角的三角函數(shù)單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,

7、sinyxcosxytan,例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：解：在直角坐標系中，作在直角坐標系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點坐標為的終邊與單位圓的交點坐標為 13( ,).22所以所以 53sin,32 51cos,325tan3.3 思考：思考：若把角若把角 改為改為 呢呢? 3567,2167sin,2367cos3367tan實例實例 剖析剖析xyoAB35P15.1P15.3 設角設角 是一個任意角，是一個任意角， 是終邊上的任意一點，是終邊上的任意一點，點點 與原點的距離與原點的距離 .),( yxP022yxrP那么那么

8、叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關，而與點有關，而與點 在角的在角的終邊上的位置無關終邊上的位置無關.P定義推廣：定義推廣：例例2.已知角已知角 的終邊經過點的終邊經過點 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P220( 3)( 4)5.OP 解解:由已知可得由已知可得設角設角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過點分別過點 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400

9、PM于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx4, 30P0MOyxMyxP ,135122222yxr1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是于是，鞏固鞏固 提高提高練習練習: 1.已知角已知角 的終邊過點的終邊過點 ， 求求 的三個三角函數(shù)值的三個三角函數(shù)值.5 ,12P解：解：由已知可得：由已知可得：P15.22P15 ,8aaaa.已知角 的終邊上一點R且0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaa

10、a所以 1017 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 32sin,cos ,tan.yx.已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當角 的終邊在第一象限時，221,2125在角 的終邊上取點，則r=22 5152sin,cos,tan255155 2當角 的終邊在第三象限時，221, 2125r 在角 的終邊上取點，則22 5152sin,cos,tan255155 1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定

11、它們的定義域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號確定三角函數(shù)值在各象限的符號yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-yxo+-+-yxoyxo全為+yxosincostansinyr cosxr tanyx 三個三角函數(shù)在各象限的符號三個三角函數(shù)在各象限的符號心得心得: :角定象限角定象限, ,象限定符號象限定符號. .P15.3例例3. 求證：當下列不等式組成立時，角求證：當下列不等式組成立時，角 為第三象限角為第三象限角.反之

12、也對反之也對0tan 0sin 證明：證明： 因為因為式式 成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；0sin 又因為又因為式式 成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因為因為式都成立，所以角式都成立，所以角 的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來請同學們自己證明反過來請同學們自己證明.P15.6如果兩個角的終邊相同，那么這兩如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同一三角函數(shù)值有何關系？

13、個角的同一三角函數(shù)值有何關系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉化為求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 .020360到或 ？ 例題例題235344cossintantan.( )sin .cos .tan() 例例4.4.確確定定下下列列三三角角函函數(shù)數(shù)值值的的符符號號, ,然然后后用用計計算算器器驗驗證證: : (1)250;(2)(-);(3)(-672 );(4)3 (1)25

14、0;(2)(-);(3)(-672 );(4)34 4（1）因為）因為 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（3）因為）因為 = 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以)672tan(tan(482 360 )tan48 , tan( 672 )0; 48解：解： （2）因為）因為 是第四象限角，所以是第四象限角，所以4sin0;420tantan()tan. ( (4 4) )3 3o5.911 (1)sin1480 10; (2)cos; (3)tan(-)46例 求下列三角函數(shù)值:oooo(1)sin1480 10 = sin(40 10+ 4360 ) =

15、sin40 100.645; 92(2)coscos(2 )cos;4442113(3)tan()tan(2 )tan.6663解：解：6.已知已知 在第二象限在第二象限, 試確定試確定 sin(cos ) cos(sin ) 的符號的符號. 解解: 在第二象限在第二象限, -1cos 0, 0sin 1. - - - -1, 1 ,2 2 - - cos 0, 0sin . 2 2 sin(cos )0. sin(cos ) cos(sin ) Oxy2( ,)33ppaP PM MP P1 1P P2 232y=21sin xyoP1P2xyo T A210 30 例利用單位圓尋找適合下列

16、條件的例利用單位圓尋找適合下列條件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 3tan3 例例3 3. .若若, ,試試比比較較的的大大小小. .0sin,tan, 2. 解：如圖，在單位圓中，設 AOP=（0，）,則AP=2PPMOAMAATOAOPT過點 作于，過點 作交的延長線于 ，.MPAT則角 的正弦線為，正切線為POAPOAAOT的面積扇形的面積的面積，111222OA MPOAOA AT，即MPAT.sintan .POxyMAT54sin32sin 與與AB o S2 S1P2P1 M1例例.利用三角函數(shù)線比較下

17、列各組數(shù)的大?。豪萌呛瘮?shù)線比較下列各組數(shù)的大小：解：解： 如圖可知：如圖可知： 54tan32tan 與與54sin32sin M254sin32sin 與與AB oT2T1 S2 S1例例.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。豪萌呛瘮?shù)線比較下列各組數(shù)的大?。航猓航猓?如圖可知：如圖可知： 54tan32tan 與與54sin32sin 54tan32tan 例例5.5.求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .( )2cos1f aa=-OxyP2MP112x=2,2()33kkkZppapp -+P1cos2a1.(0,2 )cossintanxxxx在內使成立的 的取值范圍是( )3(,)44A53(,)42B3(,2 )2C37(,)24DCxyoMPAT32.(, )4若，則下列各式錯誤的是( )( )sincos0A( )sincos0B( )|sin| |cos|C()sincos0DDsin0,cos0,|sin| |cos|分析：xyoy=-xPM 練習練習xyoy=-xxyoy=-xxyoMPsincos1,(0,)2