菱形的定義、性質(zhì)

1、19.2 .2 菱形的定義、性質(zhì)菱形的定義、性質(zhì)菱形菱形情景創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè) 前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形有一個角是直角有一個角是直角時時,成為什么圖形成為什么圖形?(矩形矩形,由角變化得到由角變化得到) 如果從如果從邊的邊的角度角度,將平行四邊形特殊化將平行四邊形特殊化,又會得到什么特殊的四邊形呢又會得到什么特殊的四邊形呢?有一組有一組鄰邊相等鄰邊相等的的平行四邊形平行四邊形叫菱形叫菱形 平行四邊形平行四邊形 鄰邊相等鄰邊相等菱形菱形 在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊

2、的長度改變邊的長度，請仔細(xì)觀察和思考，在這變化過程，請仔細(xì)觀察和思考，在這變化過程中，哪些關(guān)系沒變？中，哪些關(guān)系沒變？哪些關(guān)系變了哪些關(guān)系變了？ 如果改變了邊的如果改變了邊的長度長度，使，使兩鄰邊相等兩鄰邊相等，那么，那么這個平行四邊形成為怎樣的四邊形？這個平行四邊形成為怎樣的四邊形？AB=BCABCD四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)讓我們一同走進生活中的菱形20002000多年前多年前 一把埋藏在地下的古劍，出土?xí)r一把埋藏在地下的古劍，出土?xí)r依然寒氣逼人，毫無銹蝕，鋒利無依然寒氣逼人，毫無銹蝕，鋒利無比，稍一用力，便可將多層白紙劃比，稍一用力，便可將多層白紙劃破，劍身上整

3、齊排列著黑色破，劍身上整齊排列著黑色菱形菱形暗暗花紋花紋越王勾踐劍越王勾踐劍菱形就在我們身邊菱形就在我們身邊有同學(xué)是這樣做的：將一張長方形的紙對有同學(xué)是這樣做的：將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可開即可.你知道其中的道理嗎？你知道其中的道理嗎？ 如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個菱形的紙片？確地剪出一個菱形的紙片？BDAC菱形是軸對稱圖形菱形是軸對稱圖形(2)從圖中你能得到哪些從圖中你能得到哪些結(jié)論結(jié)論?并說明理由并說明理由.提示提示:從邊、角、對角線、從邊、角、對角線、面積等方面來探討

4、面積等方面來探討 (1)觀察得到的菱形觀察得到的菱形,它是中心對稱圖形嗎它是中心對稱圖形嗎?它是軸對稱圖形嗎它是軸對稱圖形嗎?如果是，有幾條對稱軸如果是，有幾條對稱軸?對稱軸之間有什么位置關(guān)系對稱軸之間有什么位置關(guān)系?菱形是中心對稱圖形菱形是中心對稱圖形 由于平行四邊形的由于平行四邊形的對邊相等對邊相等，而菱形的而菱形的鄰邊相等鄰邊相等， 故：故：菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)2：菱形的菱形的兩條對角線互相垂兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平直，并且每一條對角線平分一組對角。分一組對角。菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì)邊形的所有性質(zhì).菱形的性質(zhì)：菱形

5、的性質(zhì)：BDAC菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)1：菱形的菱形的四條邊都相等四條邊都相等。又：又：已知已知：菱形：菱形ABCDABCD的對角線的對角線ACAC和和BDBD相交于點相交于點O O，如下圖，如下圖，證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形ABCDO在在ABDABD中，中，又又BO=DOBO=DOAB=ADAB=AD（菱形的四條邊都相等）（菱形的四條邊都相等）ACBDACBD，ACAC平分平分BADBAD同理：同理： ACAC平分平分BCDBCD； BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC求證求證：ACBD ACBD ； AC平分平分BAD和和BCD ；BD平分平分ABC和和AD

6、C 命題：命題：菱形的對角線互相垂直平分，菱形的對角線互相垂直平分， 并且每一條對角線平分一組對角；并且每一條對角線平分一組對角；菱形的菱形的 兩條對角線互相平分兩條對角線互相平分菱形的兩組對邊平行且相等菱形的兩組對邊平行且相等邊邊對角線對角線角角數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言菱形的四條邊相等菱形的四條邊相等菱形的兩組對角分別相等菱形的兩組對角分別相等菱形的鄰角互補菱形的鄰角互補菱形的兩條對角線互相垂直平分，菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。并且每一條對角線平分一組對角。四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形 = AD BC AB CD= AB=BC=CD=DAADCBO DAC=BAC

7、 DCA=BCA ADB=CDB ABD=CBD ACBD OA=OC;OB=OD DAB=DCB ADC=ABC DAB+ABC= 180 【菱形的面積公式【菱形的面積公式】菱形是菱形是特殊的平行四邊形特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形的面積嗎面積公式計算菱形的面積嗎?菱形ABCDOES菱形=BCAE思考思考:計算菱形的面積除了上式方法外計算菱形的面積除了上式方法外,利利用對角線能用對角線能 計算菱形的面積公式嗎計算菱形的面積公式嗎? 21ABCD=SABD+SBCD= ACBD S菱形菱形面積：面積：S菱形菱形=底底高高=對角線乘積的一半對角線乘

8、積的一半為什么為什么? ABCD例例1 1 如圖，菱形花壇如圖，菱形花壇ABCDABCD的邊長為的邊長為20m20m， ABCABC6060度，沿著菱形的對角線修建了度，沿著菱形的對角線修建了兩條小路兩條小路ACAC和和BDBD，求兩條小路的長和花，求兩條小路的長和花壇的面積（分別精確到壇的面積（分別精確到0.01m0.01m和和0.01m 0.01m ）OO例例1變形變形DOACB菱形菱形ABCDABCD的周長為的周長為1616，相鄰兩角的度數(shù)，相鄰兩角的度數(shù)比為比為1 1：2 2求菱形求菱形ABCDABCD的對角線的長；的對角線的長；求菱形求菱形ABCDABCD的面積的面積補充例題補充例題

9、：已知如圖，菱形：已知如圖，菱形ABCD中，中，E是是AB的中點，且的中點，且DEAB，AB=1。求求（1）ABC的度數(shù)；的度數(shù)； （2）對角線）對角線AC、BD的長；的長； （3）菱形）菱形ABCD的面積。的面積。ABCDEOABCDO如圖，在菱形如圖，在菱形ABCDABCD中，對角線中，對角線ACAC、BDBD相交于點相交于點O O（2 2）有哪些特殊的三角形？）有哪些特殊的三角形？（1 1）圖中有哪些線段是相等的？哪些角是相）圖中有哪些線段是相等的？哪些角是相等的？等的？相等的線段：相等的線段：相等的角：相等的角：等腰三角形：等腰三角形：直角三角形：直角三角形：全等三角形：全等三角形：已

10、知四邊形已知四邊形ABCD是菱形是菱形AB=CD=AD=BC OA=OC OB=ODDAB=BCD ABC =CDA AOB=DOC=AOD=BOC =90 1=2=3=4 5=6=7=8ABC DBC ACD ABDRtAOB RtBOC RtCOD RtDOARtAOB RtBOC RtCOD RtDOAABD BCD ABC ACDABCDO123456781.1.已知菱形的周長是已知菱形的周長是12cm12cm，那，那么它的邊長是么它的邊長是_._.2.2.菱形菱形ABCDABCD中中ABCABC6060度，度，則則BACBAC_._.ODCBA3cm3cm6060度度3 3、菱形的兩

11、條對角線長分別為、菱形的兩條對角線長分別為6cm6cm和和8cm8cm，則菱形的邊長是（則菱形的邊長是（ ）CA.10cm B.7cm C. 5cm D.4cmABCDO344.在菱形在菱形ABCD中，中，AEBC，AFCD，E、F分別為分別為BC，CD的中點，那么的中點，那么EAF的度數(shù)是（的度數(shù)是（ ）FECABDA.75B.60C.45D.30B5、四邊形、四邊形ABCD是菱形，是菱形，O是兩條對角線的是兩條對角線的 交點，已知交點，已知AB=5cm，AO=4cm，求對角，求對角 線線BD的長。的長。ABCDO94522222OAABOB解：解：四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形ACBDO

12、B=3 BD=2OB=6 cm543有關(guān)菱形問題可轉(zhuǎn)化為直角三角有關(guān)菱形問題可轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形的問題來解決形或等腰三角形的問題來解決6 已知：如圖，已知：如圖，AD平分平分BAC，DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F 求證：求證：EFAD； 321ABCDEF8、如圖，、如圖，E為菱形為菱形ABCD邊邊BC上一點，上一點，且且AB=AE，AE交交BD于于O，且，且DAE=2BAE，求證：求證：EB=OA；ABCDOE7、已知，菱形對角線長分別為、已知，菱形對角線長分別為12cm和和16cm，求菱形的高。，求菱形的高。1.你的收獲是什么？你的困惑是什么？你的收獲是什么？你的

13、困惑是什么？2.你會用類比的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)特殊四邊形知識你會用類比的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)特殊四邊形知識嗎？嗎？課堂反思課堂反思四邊形集合四邊形集合平行四邊形集合平行四邊形集合菱形集合菱形集合矩形集合矩形集合四、課堂小結(jié)：矩形和菱形的性質(zhì)四、課堂小結(jié)：矩形和菱形的性質(zhì) 矩形 菱形定義有一個角是直角的平有一個角是直角的平行四邊形行四邊形有一組鄰邊相等的平行有一組鄰邊相等的平行四邊形四邊形性質(zhì)1、具有平行四邊形的具有平行四邊形的一切性質(zhì)一切性質(zhì)2、四個角都是直角、四個角都是直角3、矩形的對角線相等、矩形的對角線相等1、具有平行四邊形的具有平行四邊形的一切性質(zhì)一切性質(zhì)2、菱形的四條邊都相、菱形的四條邊都相等等3

14、、菱形的對角線互相、菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角垂直，并且每一條對角線平分一組對角線平分一組對角 如圖，邊長為如圖，邊長為a的菱形的菱形ABCD中，中，DAB=60度，度，E是異于是異于A、D兩點的動點，兩點的動點，F(xiàn)是是CD上的動上的動點，滿足點，滿足AE+CF=a。證明：不論證明：不論E、F怎樣移動，三角形怎樣移動，三角形BEF總是正總是正三角形。三角形。ABCDEF例例1、已知：、已知：AD是是ABC的角平分線，的角平分線，DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F，求證：四邊形，求證：四邊形AEDF是菱形。是菱形。ABCDEF123變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練：把本例中的把本例中的“D

15、E/AC交交AB于于E， DF AB交交AC于于F”改成改成“EF垂垂直平分直平分AD”，其他條件不變，其他條件不變，你能否證明四邊形你能否證明四邊形AEDF是是菱形？菱形？菱形性質(zhì)的應(yīng)用菱形性質(zhì)的應(yīng)用w已知已知: :如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCD是邊長為是邊長為13cm13cm的菱形的菱形, ,其中對角線其中對角線BD長長10cm.10cm.求求:(1).:(1).對角線對角線AC的長度的長度; (2).; (2).菱形的面積菱形的面積解:(1)四邊形ABCD是菱形,=2=2ABD的面積的面積.5102121cmBDDEAED=90=900 0,(2)菱形ABCD的面積=ABD的面積+C

16、BD的面積.125132222cmDEADAEAC=2=2AE=2=212=24(cm).12=24(cm).AEBD 212DBCAE.12012102122cm三、課堂練習(xí)（復(fù)習(xí)鞏固）三、課堂練習(xí)（復(fù)習(xí)鞏固） 1、菱形的兩條對角線長分別是、菱形的兩條對角線長分別是6cm和和8cm，則菱形，則菱形 的周長的周長 ，面積，面積 。 2、菱形的面積為菱形的面積為24cm2,一條對角線的一條對角線的長為長為6cm，則另一條對角線長為，則另一條對角線長為 ；邊；邊長為長為 。 3、已知菱形的兩個鄰角的比是、已知菱形的兩個鄰角的比是1：5，高，高是是 8cm，則菱形的周長為，則菱形的周長為 。 4、已

17、知菱形的周長為、已知菱形的周長為40cm，兩對角線的，兩對角線的比為比為3：4，則兩對角線的長分別，則兩對角線的長分別是是 。 由此可進一步推導(dǎo)得出：由此可進一步推導(dǎo)得出：對角線互相垂對角線互相垂直的四邊形的面積都等于兩條對角線乘積的直的四邊形的面積都等于兩條對角線乘積的一半。一半。EDOBA 例例1：如圖，菱形：如圖，菱形ABCD的邊長為的邊長為4cm，BAD2 ABC。對角線。對角線AC、BD相交于點相交于點O，求這個菱形的，求這個菱形的對角線長對角線長和和面積面積。ODCBA變式題變式題（1）：菱形兩條對角線長為）：菱形兩條對角線長為6和和8，菱形，菱形的邊長為的邊長為 ，面積為，面積為

18、 。 （2）：菱形）：菱形ABCD的面積為的面積為96，對角線，對角線AC長為長為16 ，此菱形的邊長為，此菱形的邊長為 。 （3）:菱形對角線的平方和等于一邊平方菱形對角線的平方和等于一邊平方的的 （ ） A. 2倍倍 B. 3倍倍 C.4倍倍 D. 5倍倍5410C 例例2：菱形：菱形ABCD中，對角線中，對角線AC、BD相相交于點交于點O，E、F分別是分別是AB、AD的中點，求證：的中點，求證：OEOF。FEODCBAABCDEF變式題變式題（1）：菱形）：菱形ABCD ,E、F分別分別ABCD的中點，求證：的中點，求證：CE=CF. （2）如果上題中還有）如果上題中還有CEAB,CFAD,求各內(nèi)角的度數(shù)求各內(nèi)角的度數(shù) 例例3：如果菱形的一個角是：如果菱形的一個角是1200，那么這，那么這個角的頂點