數(shù)列求與專題(裂項相消)

1、數(shù)列求和專題復(fù)習(xí)一、公式法2. 等比數(shù)列求和公式:3. 常見數(shù)列求和公式:naiSn = < ai (1 -q)1 -qai _anqi -q(q=1)(q = 1)n1八 k n(n 1);k A2Snn八k2k 41= >n(n 1)(2n 1);6Snn八k31 2Fn(n 1)1.等差數(shù)列求和公式：Sn"1 冇)十1n(n")d2 2_1已知log 3 x，求x x2 x 亠xn 的前n項和.log 2 3例2 :設(shè)Sn =1 2 3亠亠n，Sn(n 32) Sm的最大值.、倒序相加法似于等差數(shù)列的前 n項和的公式的推導(dǎo)方法。 如果一個數(shù)列(an?,與首

2、末兩項等距的兩項之和等于首 末兩項之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加，就得到一個常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱 為倒序相加法.例 3:求 sin21 sin2 2 sin23 亠 亠sin288 sin289 的值例4 :求1212 102小2八22322 923282+卅+102102 12的和.變式1 :已知函數(shù)22x2(1)證明:Uo丿f(x)+f(1-x)=1; (2)求 f | + f '-+f '的值. Uo丿川Mo丿Mo丿三、裂項相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終

3、達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)an=f (n 1)-f(n)(2)sinltan(n 1) -tanncosn cos(n 1)(3)ann(n 1)(4)(2n)2可 一(2n1)(2n 1)=1J2 2n12n 1(5)anan求數(shù)列n(n 1)( n 2)n(n 1)12n2 n(n 1)2(n1) - nn(n 1)(n1)(n2)12nnnn 2 (n 1)2,則 Sn =1 -(n 1)2n例6:在數(shù)列 & 沖，an =二 -，又bn =2，求數(shù)列：bn 的前n項的和.n +1 n +1 n +1an，an+i變式1:求證:cosO cosl cosl cos

4、21cosl2cos88 cos89sin 1四、q倍錯位相減法類似于等比數(shù)列的前 n項和的公式的推導(dǎo)方法若數(shù)列各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項 相乘得到，即數(shù)列是一個“差比”數(shù)列，則采用錯位相減法若a.二bn cn，其中 g是等差數(shù)列， 心是公比為q等比數(shù)列，令二b© F2C2川0占則 qSn =b1C2 b2Q 川 bnMn1兩式相減并整理即得例7:求和：Sn =1 3x 5x2 7x3 亠 亠（2n - 1）xn例8 ：求數(shù)列 ,-4-, -6-，；2，前n項的和.2 2 2 2n五、分組求和法有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個

5、等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可例9:求和：Snh23 54一3 5“|亠6-3 5衛(wèi) 川 2n3 5-例10：求數(shù)列 岔(n 1)(2n 1)'的前n項和.課后鞏固:1.等比數(shù)列an的前n項和& =2n 1，則a；+ a2 =2. 設(shè) Sn =1 +35 +7 " + (1)n(2n 1)，則 S =1113. -:.1 44 7(3n -2) (3n 1)4.(n 1)( n 3),前n項和Sn =5.數(shù)列 1,(1 2),(12 -22)JH>(12 2K 2n-)J|的通項公式 a.2n 1??；的前n項和為7.數(shù)列a滿足:a =1

6、，且對任意的m, n 二N都有：am ,nG mn，則丄丄丄丄a2008a?a3（）A.業(yè)20098.數(shù)列 忌：、bn渝是公差為1的等差數(shù)列,D 2008B.2009C車1004D単2008若其首項滿足3 bi =5, ai b,且 Q,b前10項的和等于（）A. 100B. 85C. 70D . 559.設(shè) m=1 22 3 3 4 亠 亠（n1） n，則 m 等于（A n(n2 1).3D.丄 n(n 7)211B. n(n 4) C.n(n 5)2210. 若 Sn “ -2 3-4(-1)nn，則 S17 - S33 - ?50 等于()A.1B.-1C.0D.211. 設(shè) a ?為等

7、比數(shù)列，fbn 為等差數(shù)列，且b1 =O,Cn pbn，若數(shù)列 ；是1,1,2,則 的前10項和為()A.978B.557C.467D.9792 2 2 2 2 212. 100 一9998 -972 -1 的值是()A.5000B.5050C.10100D.2020013.已知數(shù)列 a ?的首項a3，通項a2n p nq（ n ' N -, p , q為常數(shù)），且a1, a4, a5成等差數(shù)列.求：（1） p , q的值；（2）數(shù)列Q f前n項和Sn的公式.14.設(shè)等差數(shù)列 a 的前n項和為（i）求數(shù)列a ?的通項公式；（2）和Tn.Sn，且 S4 =4S2，a2n =2an 1.若數(shù)列：bn :滿足也 -b-bla1a2an15.已知等差數(shù)列an 1是遞增數(shù)列,（1）求數(shù)列；an ?的通項公式；"b匚的前n項和Sn.且滿足 a4 a? =15， a3 a8 -8.112）令bn（n 一 2），D，求數(shù)列9anan316.已知數(shù)列：an *的前n項和為，且Sn = 2an -1 ；數(shù)列£ 1滿足bn斗- bn二 bnbn_（n-2,n N ），b| = 1.(1)求數(shù)列 右n X 的通項公式；(2)求數(shù)列丿，的前n項和Tn. bn17.在等比數(shù)列；an 中，印0, n，N ，且a3-a2=8，又a1, a5的