數(shù)列專題復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、數(shù)列專題復(fù)習(xí)指導(dǎo)、復(fù)習(xí)要求等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)；一般數(shù)列的通項(xiàng)及前 n項(xiàng)和計(jì)算.二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、數(shù)列：是按照一定順序排列而成的一列數(shù)，從函數(shù)角度看，這種順序法則就是函數(shù)的對應(yīng)法則，因此數(shù)列可以看作是一個(gè)特殊的函數(shù)， 其特殊性在于：第一，定義域是正整數(shù)集或其子集； 第二， 值域是有順序的，不能用集合符號表示.研究數(shù)列，首先研究對應(yīng)法則一一通項(xiàng)公式： an=f(n),nN*, 要能合理地由數(shù)列前 n項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式，其次研究前n項(xiàng)和公式Sn :& 力2：；":;q，由Sn定義,得到Sin =1數(shù)列中的重要公式：an. 一般數(shù)列的an及Sn，除化歸為

2、等差數(shù)列或等比數(shù)列外，Sn Snn 王2求Sn還有下列基本題型：裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減法2、等差數(shù)列(1) 定義： an為等差數(shù)列=an1.-an=d(常數(shù))，nN*u2an =務(wù) an1(n>2, nN*)；(2) 通項(xiàng)公式：an =a! (n - 1)d, an = am (n - m)d ；前n項(xiàng)和公式：Sn =na, 吃 弘 J(a1 an)；2 2(3) 性質(zhì)：an二an b，即an是n的一次型函數(shù)，系數(shù) a為等差數(shù)列的公差；Sn =an2 bn,即Sn是n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；若an, bn均為等差數(shù)列，則an ± bn, kan+c ( k , c為常數(shù))均為等差數(shù)列

3、；當(dāng) m n = p q時(shí),am ' aap aq ；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S?n二(2n - 1)an, S奇 = (n 1)a 中，0禺=(n 1)a 中3 、等比數(shù)列= anJan 1 (n> 2, n N*)；(1)定義：電1 =q ( q為常數(shù)，an豐0)； a；an(2) 通項(xiàng)公式：an 二 an，an 二 amqn;q =1q胡na1前 n 項(xiàng)和公式：Sn =<a1 (1-qn) _a1 -anq-1 -q1 -q(3) 性質(zhì)：當(dāng)m，n = p q時(shí)，amaapaq，當(dāng)2n=p q時(shí)，a； =apQ，數(shù)列k an成等比數(shù)列4、等差、等比數(shù)列的應(yīng)用(1) 基本量的思想：

4、常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)，公比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等；(2) 靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡化計(jì)算三、典型例題例1.已知數(shù)列 an為等差數(shù)列，公差 d工0,其中ak1，ak2,，akn恰為等比數(shù)列，若例2.設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S7 = 7,5 = 75,Tn為數(shù)列也的前n項(xiàng)和，求Tn.n例3.正數(shù)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn ,且2. Sn'an 1，求：1 1(1)數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn ，數(shù)列 bn的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：B：.an an2例4.等差數(shù)列 an中，前m項(xiàng)的和為77( m為奇數(shù))，其中偶數(shù)項(xiàng)的和為

5、33,且a1 - am=18， 求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.1211例5.設(shè)an是等差數(shù)列，bn=(-)，已知b1+b2+b3=，b1b2®=_，求等差數(shù)列的通項(xiàng)a*.2 88例6.已知數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn1 =4an 2,(n =1,2,),a1 =1.(1) 設(shè)bn二an1 -2an,求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)設(shè)Cn號，求證：數(shù)列©是等差數(shù)列；(3 )求an的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn .1例7.函數(shù)f (x)對任意x R都有f (x) f (1 -x) .21 1 n 1 *(1 )求 f ( ), f ( ) f (), (nN)的值；2 nn(2)

6、 數(shù)列an滿足an = f (0) f(丄) f(2) f(LJ) f(1),數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？n nn請予以證明；（3） bn,Sn =3,Tnb",試比較Tn和Sn的大小.例8.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn =n(n 1)(n N).(II)若數(shù)列bn滿足：an(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;a b(III)令Cn(n N*),求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Tn.4同步練習(xí)(一) 選擇題1 、已知a,b, a b成等差數(shù)列，a,b, ab成等比數(shù)列，且 0< log m ab <1，則m取值范圍是A、m>1 B 、1<m<8 C 、

7、m>8 D 、0<m<1 或 m>82、設(shè)a>0， b >0，a,x1,x2,b成等差數(shù)列，a, y1, y2 ,b成等比數(shù)列，則A、x1x2 wy1y2B、X1X2y1yC、x1x2 <y1y2 D 、x1x2 > yy2A、3、已知Sn是 an的前n項(xiàng)和，Sn = Pn ( P R, n N+),那么數(shù)列 an是等比數(shù)列 B、當(dāng)PM 0時(shí)是等比數(shù)列 C當(dāng)PM 0, PM 1時(shí)是等比數(shù)列 D、不是等比數(shù)列 an是等比數(shù)列，且 an>0, a2a4 2a3a5 - a4a25，則 a3 a5等于A、10、15、20已知a,b,c成等差數(shù)列，

8、則二次函數(shù)y =ax2 2bx - c的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)是A、若x的方程x夕七=Q£-x北=0 （ a工b ）的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為 -的等差數(shù)列，則4A、3 B11C13 D318242472已知每從材料工地運(yùn)送電線桿到500 m以外的公路，沿公路一側(cè)每隔50 m埋栽一根電線桿,次最多只能運(yùn)3根，要完成運(yùn)載20根電線桿的任務(wù)，最佳方案是使運(yùn)輸車運(yùn)行A、 11700 m、14700 m、14500 m、14000 m8 、已知等差數(shù)列 an中，|a3 |=|a9 |，公差d<0,則使前n項(xiàng)和Sn取最大值的正整數(shù)A、4 或 5、6 或 7 D 、8 或 9（二）填空題9、已知數(shù)列

9、 an滿足a-i 2a2 3a，nan = n(n 1)(n 2),則它的前n項(xiàng)和Sn =10、設(shè)等差數(shù)列 an共有3n項(xiàng)，它的前2n項(xiàng)之和為100,后2n項(xiàng)之和為200，則該等差數(shù)列的中間n項(xiàng)的和等于.11、 長方體的三條棱成等比數(shù)列，若體積為216cm3，則全面積的最小值是 cm2.12、若不等于1的三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，則（2 _logba）（1 + log。a） =.（三）解答題13、 已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85,偶數(shù)項(xiàng)之和為170,求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).14、已知等比數(shù)列 an的首項(xiàng)為a1>0,公比q>-1 （ q工1）,設(shè)數(shù)列bn

10、的通項(xiàng)bn =aman2,（n，N*），數(shù)列 an,bn的前n項(xiàng)和分別記為An,Bn,試比較An與Bn大小.15、數(shù)列 an中，印=8,a4 =2且滿足a. 2 =2an 1 -a., (n NO (1)求數(shù)列 a“通項(xiàng)公式;(2)設(shè) Sn =| a11+|a2 |+ +| an|，求 Sn ；(3)設(shè) bn =1n(12-an)(n N) Tn =0 b2 亠亠bn,是否存在最大的整數(shù) m，使得對于任意的n N+,均有Tn 成立？若存在，求出 m的值；若不存在，32說明理由16、已知數(shù)列 an滿足：a1 =2,an1 =2an -n 1（n，N*）.（I）證明數(shù)列a. - n是等比數(shù)列，并求

11、出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（II）數(shù)列bn滿足：bn二n2an - 2n（n N*）,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn.例題參考答案例1.解題思路分析：從尋找新、舊數(shù)列的關(guān)系著手,設(shè) an首項(xiàng)為ai,公差為d.22ai,a5,a仃成等比數(shù)列， a5 aiai7(ai 4d)ai(ai 4d),. ai = 2d設(shè)等比數(shù)列公比為 q，則q =空二ai 4d二2d 4d二3ai ai2dkn - iai2在等比數(shù)列中：n°n“ccnaak 二 aqa 3，” k 2 3 1.對akn項(xiàng)來說，在等差數(shù)列中:akn = ai - (kn i)d.k2kn =(2 3° -1) (2 31 -

12、1)(2 3心)=2(1 3 323心)-n =3n-n -i.注：本題把ki k kn.看成是數(shù)列 kn的求和問題，著重分析 kn的通項(xiàng)公式。這是解決數(shù)列問題的一般方法，稱為“通項(xiàng)分析法”例2.解題思路分析：法一：利用基本元素分析法設(shè) an首項(xiàng)為ai,公差為d ,o7丄 7X6S 7 =7 a i +d = 7215 X14Si5 =15 atd =75231 » Sn 2d =1nn(n -1)=_2 巴nn 5-上此式為n的一次函數(shù)2 2 魚為等差數(shù)列nTn法二：an為等差數(shù)列,2Sn = AnBn,2S7 =A 77解之得:2S15 =A X15+15B =7512b52Sn

13、寸2號，下略注：法二利用了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì).例3.解題思路分析：(I )涉及到an及Sn的遞推關(guān)系，一般都用an=Sn- Sn j ( n> 2)消元化歸.2 22：jSn an ' 1 , 4Sn=(an+1) , - 4Sn 4 = (an J 1)( n2)4( Sn Sn4)=( an F -(務(wù) J ' 1)2.- 4 a* =a； - a1 ' 2an - 2anV ,an>0, an -an2 ,整理得：(an 4 an )(an - an 4 - 2) = 0 , an為公差為2的等差數(shù)列在2、Sn二a* 1中，令n = 1,ai =

14、1 , an = 2n - 1(II ) b1i 11、( )(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 11 i ii iiBn (丄-丄)d 丄)2 ai a 2 a 2 a 3a n丄)a n 1=-(-2 aia n -11 1.2a n -i2注：遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想，例本題由4Sn=( an+1)2 推出 4Sn = .斗 T)2，它其實(shí)就是函數(shù)中的變量代換法.在數(shù)列中一般用n -1, n 1等去代替n，實(shí)際上也就是說已知條件中的遞推 關(guān)系是關(guān)于n的恒等式，代換就是對n賦值.§2nj =(2n _1)an 二S偶=(n _1)an =332 n _ 177n _1

15、- 33= 4,. m 二 7,. an =11 a1 a 2an=22 ,又 ai - am =18,ai =20,am =2,d = -3，二 an= 3n 23.例4.分析：利用前奇數(shù)項(xiàng)和和與中項(xiàng)的關(guān)系令m = 2n-1，nN例5.解題思路分析：T.,.17bi b381_4bi b2S = 21b3 :8bi182=2bn=2(丄)2 =23或b4nJ2n _54 二 2bnan 二 log 1 bn ,2an =2n -3,或 an 二-2n 5. an為等差數(shù)列， bn為等比數(shù)列,從求解 bn著手：t tib3b；注：本題化歸為 bn求解，比較簡單。若用 an求解，則運(yùn)算量較大.例

16、6. (1 )證明：由Sn卅=4an + 2,(n = 1,2，)易知Sn =4an+2,(n 2),兩式相減有an卅 _2anan 1 = 4an -4an，即 an 1 - 2an = 2(an - 2an 1 ) ,2,an _2anJ bn是以a2 -2ai為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.n 由 a1= 1, Sn1二 4an2 易得a2二 5, a-2a 3,bn二 a*12an = 32(2)證明：；cn2n由(1)知,an 1-2an故數(shù)列cn是以c二旦(3)解：；an2nan an 1 " 2an2n2n 1n -13 2=3 公，則 CnH1- Qn+l為首項(xiàng)，以3為公

17、差的等差數(shù)列.即2241,. an 二31 -2n =(3n -1)曠由題意有 S4an4 2 =43(n -1) -1 2n*2 = (3n -4) 2n，2.例 7.解：(1)f() f (1 _) = f (丄)f ()=丄，f (-)=丄.22222241111令 x ,得 f (一) f (1),nnn212n _ 1(2)a f (0) f (-) f ()f (- -) f (1),nn-又a.十）f（匸廠 f (丄)f (0),nn以上兩式相加有2 an1=f (0) f (1) f () nn 1f () f f (0),nn 11二1所以數(shù)列an是等差數(shù)列.44an -1Tn £ b；b：= 16(