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1、本資料來(lái)源于七彩教育網(wǎng)數(shù)學(xué)解題中的幾種常見(jiàn)錯(cuò)誤會(huì)澤縣茚旺高級(jí)中學(xué) 楊順武 654200在學(xué)習(xí)過(guò)程中,每個(gè)學(xué)生都會(huì)或多或少地犯一些錯(cuò)誤,有的學(xué)生會(huì)認(rèn)真地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),確保以后不再犯同樣的錯(cuò)誤,有的學(xué)生則不善于總結(jié),以至于一錯(cuò)再錯(cuò),最終導(dǎo)致考場(chǎng)失利,每次月考結(jié)束后,總會(huì)有許多遺憾,某個(gè)選擇題不該錯(cuò),某個(gè)計(jì)算題粗心把結(jié)果算錯(cuò),某道題忽略了一個(gè)已知條件,如此種種,舉不勝舉,為幫助同學(xué)們糾正常犯的解題錯(cuò)誤,本文詳細(xì)分析這些常見(jiàn)錯(cuò)誤,并有針對(duì)性的給出糾正的辦法:1、粗心之錯(cuò)這里所說(shuō)的“粗心”,指的是一些莫名其妙,會(huì)而不對(duì)的錯(cuò)誤,如計(jì)算60-15=55等等。例1,已知?jiǎng)t|的值為: 錯(cuò)解:因|,|,|都是正值
2、,故只需令,即可得和為。錯(cuò)因:粗心把忘掉減去。正解:令可得,|+|=例2,若函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸是 。A、B、C、D、C、錯(cuò)解:可用特殊函數(shù)法,設(shè),則是偶函數(shù),。 的對(duì)稱(chēng)軸為,選D。錯(cuò)因:也是粗心所致,你怎么能把代入中呢?正解:抽象函數(shù)問(wèn)題可采用特殊函數(shù)法:設(shè):,則是偶函數(shù)。 對(duì)稱(chēng)軸為,選A。糾錯(cuò)方法:要糾正粗心的錯(cuò)誤,唯有培養(yǎng)認(rèn)真的習(xí)慣。2、理解錯(cuò)誤理解錯(cuò)誤主要指學(xué)生對(duì)概念的理解不全面,甚至錯(cuò)誤,如對(duì)定義域?yàn)榕c值域?yàn)榈睦斫饣煜?,造成張冠李戴的錯(cuò)誤,對(duì)函數(shù)的定義域與函數(shù)有意義的理解模糊,造成合而為一的錯(cuò)誤的現(xiàn)象等。例3,已知函數(shù)的值域?yàn)?,則實(shí)數(shù)的取值范圍為: 。錯(cuò)解:令,則恒成立
3、,所以應(yīng)有, 解得。即的取值范圍為(4,0)。錯(cuò)因分析:以上錯(cuò)解的錯(cuò)誤原因在于沒(méi)有準(zhǔn)確地理解函數(shù)的值域?yàn)榈囊饬x。根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹的苋”橐磺姓龑?shí)數(shù)時(shí),函數(shù)的值域才是,而當(dāng)時(shí),由圖可知,恒成立,這只能說(shuō)明函數(shù)的定義域?yàn)椋荒鼙WC可以取遍一切正數(shù),要使可以取遍一切正數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知,的圖象應(yīng)與軸有交點(diǎn)才能滿足。正解:要使的值能取遍一切正實(shí)數(shù),應(yīng)有。解得或,即的取值范圍為 。例4,首項(xiàng)是,從第10項(xiàng)起開(kāi)始比1大的等差數(shù)列的公差d的取值范圍是 。A、 B、 C、D、錯(cuò)解1:由,得,解得,故選A。錯(cuò)解2:由,且,得,故選C。錯(cuò)因分析:錯(cuò)解1只考慮到了這個(gè)條件,沒(méi)有注意
4、到題中“開(kāi)始比1大”這段關(guān)鍵語(yǔ)句,錯(cuò)解2雖然注意到了這關(guān)鍵的語(yǔ)句,但卻忽視了這種情況,因此都得出了錯(cuò)誤的答案。正確解:由題意得:,即 ,解得,選D。糾錯(cuò)方法:對(duì)于同學(xué)們出現(xiàn)的理解錯(cuò)誤,最好的方法是回歸課本,從教材中去重新理解概念。3、忽略之錯(cuò)這種錯(cuò)誤主要表現(xiàn)在解題中忽略隱含條件,忽視特殊情況而導(dǎo)致的錯(cuò)誤。例5,已知,是上的,減函數(shù),那么的取值范圍是 。錯(cuò)解:由已知可得,解得,即的取值范圍為。錯(cuò)因:忽略題中的隱含條件,時(shí)函數(shù)的最小值應(yīng)比時(shí)的函數(shù)最大值還大。正解:由題意可知: 解之得:。這類(lèi)問(wèn)題要特別注意隱含條件。例6,若,則對(duì)任意實(shí)數(shù),的取值范圍為 。A、1B、區(qū)間(0,1) C、 D、不能確定
5、錯(cuò)解:D因,所以可以取無(wú)窮多個(gè)值,所以的值不能確定。錯(cuò)因:該解答過(guò)程忽略了一個(gè)隱含條件從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤的選D。正解:設(shè)點(diǎn)P(),則點(diǎn)P滿足: 解得: 或即 或 所以 故選A。例7,若向量,且的夾角為鈍角,則的取值范圍是: 。錯(cuò)解:因的夾角為鈍角,于是可以得到,所以,故或。錯(cuò)因:忽視了,不是夾角為鈍角的充要條件,因?yàn)榈膴A角為180°時(shí)也有,從而擴(kuò)大了的范圍,導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解:因的夾角是鈍角,故,解得或又由共線且反向可得由、可得的范圍是。例8已知曲線及A(0,0),B(2,3),若曲線C與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍: 錯(cuò)解:直線AB的方程為:,由 得曲線C與線段有且只有一個(gè)公共
6、點(diǎn):,由此得符合條件的的值為。錯(cuò)因:上述解法錯(cuò)誤的原因在于忽略了直線與線段這兩個(gè)概念的區(qū)別,線段AB的方程為:,而不是,曲線C與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程在0,2 內(nèi)只有一個(gè)根。正解:線段AB所在直線的方程為:由 得要使兩曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),只需方程在之間只有一個(gè)根。當(dāng)時(shí),不符合題意,舍去。當(dāng)時(shí),要使方程在0,2內(nèi)只有一個(gè)根,因?yàn)?,所以只需即可,由此得即。因此,符合條件的的取值范圍為1。糾錯(cuò)方法:要糾正忽略之錯(cuò),可認(rèn)真審題,仔細(xì)分析題意。4、思維定式錯(cuò)誤所謂思維定式就是人們通過(guò)訓(xùn)練,形成的思維習(xí)慣,如錯(cuò)誤地將等式的性質(zhì)類(lèi)比到不等式中,造成習(xí)慣性的錯(cuò)解現(xiàn)象,如對(duì)分式不等式,習(xí)慣上不考慮分母
7、的符號(hào),直接將分式不等式化為整式不等式。例9,不等式的解集為: 錯(cuò)解:,即。 的的范圍為()。錯(cuò)因:受解分式方程的影響,去分母而導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解:不等式的解集為。糾錯(cuò)方法:克服思維定式,必須要從基礎(chǔ)知識(shí)抓起,區(qū)分易混淆的式子。5、重復(fù)或遺漏之錯(cuò)這類(lèi)錯(cuò)誤通常發(fā)生在排列、組合、概率問(wèn)題之中,因考慮不周,導(dǎo)致重復(fù)或遺漏。例10,從5雙不同的鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只鞋子配成一雙的取法有 種。錯(cuò)解:從5雙鞋子中任取一雙有種取法,第二步,從余下的8只中任取兩只有種取法,由分步計(jì)數(shù)原理可知,一共有· =140種符合條件的取法。錯(cuò)因:第一步的種取法中,若取到這一雙鞋,第二步的種取法中,取到另一雙鞋;這種取法與第一步的種取法中取,第二步種取法到實(shí)際上是同一種取法,在上述解法中視為了不同的取法,因此產(chǎn)生了重復(fù)現(xiàn)象。正解:至少有2只成雙有兩種可能。恰有一雙:種恰成二雙:種,共有130種取法。糾錯(cuò)方法:避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象的方法就是分類(lèi)或分步中一定要細(xì)心,認(rèn)真領(lǐng)會(huì)排列組合的原理。6、以偏概全之錯(cuò)這類(lèi)錯(cuò)誤常發(fā)生在數(shù)列、圓錐曲線等問(wèn)題中。例11,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為: 。錯(cuò)解:因?yàn)?,所以。錯(cuò)因:此題錯(cuò)在沒(méi)有分析的情況,以偏概全,誤認(rèn)為任何情況下都有。正解:時(shí),時(shí),。 糾錯(cuò)方法:
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