非平穩(wěn)信號與周期功率譜-

1、第17卷第4期南京郵電學(xué)院學(xué)報Vol.17No.41997年12月Journal of Nanjing Institute of Posts and Telecommunications Dec.1997非平穩(wěn)信號與周期功率譜曹士坷(南京郵電學(xué)院通信工程系,南京,210003摘要首先引入了周期相關(guān)和周期功率譜(簡稱周期譜的概念,并把它們用于振幅調(diào)制(AM 和正交振幅調(diào)制(QAM 信號的時間平均功率譜的推導(dǎo)。得到了精確的功率譜公式,適合于基帶調(diào)制信號是非平穩(wěn)的情況。假設(shè)基帶信號平穩(wěn),則公式可以簡化為一般通信教科書中的常見形式。關(guān)鍵詞隨機(jī)信號,頻譜分析,調(diào)幅,正交調(diào)制中圖分類號TN911161引言

2、我們在求取調(diào)制信號功率譜時一般都假定基帶信號是廣義平穩(wěn)的(簡稱平穩(wěn),可以證明調(diào)制后的信號是周期平穩(wěn)的,從而可以計(jì)算出它的時間平均自相關(guān),并利用Wiener 2Khintch 公式可算出它的時間平均功率譜(簡稱平均譜1。例如,調(diào)幅(AM 信號為:S (t =A (t cos (2f 0t +0(1如果A (t 廣義平穩(wěn),那么S (t 的自相關(guān)為:R S (t ,u >E S (t S (u (2所以,R S t +2,t -2an i se =E S t +2K wor S t -2En nd onv =E A t +2(上8頁cos 2f 0t+2+0e t me nfts A b r

3、e s si =12R A(cos (4f 0t +20+cos (2f 0(3式中:R A (>E A (t +A (t (4由式(3可見:R S (t +T ,u +T =R S (t ,u (5并且易知:收稿日期:1997203231m S (t +T =m S (t (6式中,m S (t 是S (t 的均值:m S (t >E S (t ,T >1f 0(7從式(5、(6可知,S (t 是廣義周期平穩(wěn)隨機(jī)過程(簡稱周期平穩(wěn)過程2,所以S (t 的時間平均自相關(guān)為:R S (>lim H 1H +H/2-H/2R S t +2,t -2流程d t =12R A(

4、cos (2f 0(8由Wiener 2Khintch 公式知S (t 的平均功率譜為:P S (f =F R S (=14P A (f +f 0+P A (f -f 0(9式中,P A (f 是A (t 的功率譜,P A (f =F R A (10用以上方法求取功率譜的關(guān)鍵條件是A (t 必須廣義平穩(wěn)。如果A (t 是一般非平穩(wěn)的隨機(jī)過程,那么這種方法不再適合,所以應(yīng)該另想辦法。以下給出一種求平均功率譜的方法。首先定義隨機(jī)過程X (t 的周期自相關(guān)R X (,為周期頻率,利用Wiener 2Khintch 公式計(jì)算周期功率譜(簡稱周期譜P X (f ;而所求的時間平均功率譜只是周期譜的一個特

5、例,即P X (f 0。這種方法適用于基帶信號是一般隨機(jī)過程的情況。2周期功率譜與周期自相關(guān)先研究特例:X(t是一個周期平穩(wěn)過程23,它的均值(數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)都以某個T為周期,即m X(t+T=m X(t(11a R X(t+T,u+T=R X(t,u(11b由于自相關(guān)以T為周期,所以可展開為Fourier級數(shù):R X t+2,t-2基帶穩(wěn),則=R X(e j2t(12式中,>n/T,nZ(整數(shù)集合。并且有:R X(=1T+T/2-T/2R X t+2,t-2f0e-j2t d t(13可以確定必然存在0,使R X(0;否則, X(t退化為平穩(wěn)過程;平穩(wěn)過程是周期平穩(wěn)過程的特例。式(1

6、3實(shí)際上是時間平均的形式,仿式(13可將X(t推廣為一般過程,定義周期自相關(guān)為:R X(>limH1H+H/2-H/2R X t+2oe-j2t d t(14如果存在0,使R X(0,就說X(t在周期頻率上顯示周期平穩(wěn)性。平穩(wěn)過程僅在=0處顯示周期平穩(wěn)性,周期平穩(wěn)過程僅可能在=n/T上顯示周期平穩(wěn)性,而一般過程可能在任何上顯示周期平穩(wěn)性。推廣的Wiener2Khintch公式為:P X(f=FR X(15上式左邊稱周期功率譜。仿式(14、(15,對任意過程X(t和Y(t,還可定義周期互相關(guān)和周期互功率譜:R X Y(>limH1H+H/2-H/2R X Y t+2:e-j2t d

7、t(16P X Y(f=FR X Y(17從式(14(17知平均相關(guān)和平均譜是在=0上的特例 ,即R X(=R X(0 (18P X(f=P X(f0(19 R X Y(=R X Y(0(20P X Y(f=P X Y(f0(21下面利用它們來求AM和QAM的時間平均功率譜。3調(diào)制信號的功率譜先看AM信號。設(shè)A(t非廣義平穩(wěn),也非廣義周期平穩(wěn),則由式 (1、(14知:R S(>limH1H+H/2-H/2R S t+2,Pe-j2t d t=limH1H+H/2-H/2E A t+2隨機(jī)那不再X利用neX適用帶信期功率期自,t-2P A (f -2f 0e 20+P A (f 2f 0e

8、 -20(25當(dāng)且僅當(dāng)在周期頻率±2f 0處A (t 不顯示周期平穩(wěn)性時,式(25后兩項(xiàng)消失,才有:P S (f =14 P A (f +f 0+14 P A(f -f 0(26這是一般教科書所給出的公式46。下面討論較復(fù)雜的QAM 信號,其表達(dá)式為:S (t =X (t cos (2f 0t +Y (t sin (2f 0t (27X (t 和Y (t 為一般的隨機(jī)過程。按式(14、(16有:R S (>lim H 1H+H/2-H/2R S t +2(e -j2t d t=limH 1H+H/2-H/2E X t +2RX t ej 20R處顯性,穩(wěn)過顯平穩(wěn)R X(1,對X

9、 2RX關(guān)和平在PPX X(t和Y(t如果進(jìn)一步滿足互不相關(guān)條件,則式(31的虛部為0,從而得到:P S(f=14 P X(f+f0+ P X(f-f0+14P Y(f+f0+ P Y(f-f0(32式(32就是一般教科書中常給出的QAM平均功率譜公式,它是式(32的簡化,簡化條件是在周期頻率±2f0處X(t和Y(t平衡,且X(t和Y(t互不相關(guān)。4結(jié)束語以上利用周期相關(guān)和周期功率譜對AM和QAM信號的時間平均功率譜進(jìn)行推導(dǎo),所得結(jié)果比文獻(xiàn)2,4,5中給出的更精確和更具有一般性。對于取樣、調(diào)頻和調(diào)相等信號,也可進(jìn)行類似的分析。參考文獻(xiàn)1曹士坷.數(shù)字調(diào)制信號功率譜的求法.南京郵電學(xué)院學(xué)

10、報, 1994,14(1:182Proakis J G.Digital Communications.New Y ork:Mc Graw2Hill, 19893Papoulis A.Probability,Random Variables and Stochastic Process2 es.New Y ork:Mc Graw2Hill,19844Peebles P Z.Probability,Random Variables and Random Signal Principles.New Y ork:Mc Graw2Hill,19875Carlson A B.Communication S

11、ystems.New Y ork:Mc Graw2Hill, 19756Wozencraft J M,Jacobs I M.Principles of Communication Engi2 neering.New Y ork:John Wiley&Sons,1965曹士坷1964年生。南京郵電學(xué)院通信工程系講師。(見本刊1997年第2期第76頁Non2stationary Signals and Cyclic Spectral DensityC aoShikeDepartment of Communication Engineering,Nanjing Instituteof Pos

12、ts and Telecommunications,210003,Nanjing,PRCAbstractCyclic correlation and cyclic power spectral density(cyclic spectrumare discussed in this paper, followed by their application in the computation of time2averaged power spectral density for both AM and QAM signals.Therefore,some precise formulas are deduced,which are suitable for non2stationary baseband modulat2 ing signals.When the baseband mo