中考復習之專題十-圓-完美編輯版

1、中考復習之專題十 圓教學準備一. 教學目標（1）掌握圓的有關概念和計算知道圓由圓心與半徑確定，了解圓的對稱性通過圖形直觀識別圓的弦、弧、圓心角等基本元素利用圓的對稱性探索弧、弦、圓心角之間的關系，并會進行簡單計算和說理探索并了解圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征掌握垂徑定理及其推論，并能進行計算和說理了解三角形外心、三角形外接圓和圓內(nèi)接三角形的概念掌握圓內(nèi)接四邊形的性質（2）點與圓的位置關系能根據(jù)點到圓心的距離和半徑的大小關系確定點與圓的位置關系知道“不在同一直線上的三個點確定一個圓”并會作圖（3）直線與圓的位置關系能根據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關系確定直線與圓的位置關系了解切線的

2、概念能運用切線的性質進行簡單計算和說理掌握切線的識別方法了解三角形內(nèi)心、三角形內(nèi)切圓和圓的外切三角形的概念能過圓上一點畫圓的切線并能利用切線長定理進行簡單的切線計算（4）圓與圓的位置關系 了解圓與圓的五種位置關系及相應的數(shù)量關系能根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的數(shù)量關系判定兩圓的位置關系掌握兩圓公切線的定義并能進行簡單計算（5）圓中的計算問題掌握弧長的計算公式，由弧長、半徑、圓心角中已知兩個量求第三個量掌握求扇形面積的兩個計算公式，并靈活運用了解圓錐的高、母線等概念結合生活中的實例（模型）了解圓柱、圓錐的側面展開圖會求圓柱、圓錐的側面積、全面積，并能結合實際問題加以應用能綜合運用基本圖形的面

3、積公式求陰影部分面積二. 教學難點與重點：與圓的性質有關的計算、開放題以及與圓和多邊形結合的探索題是本單元的重點也是難點三. 知識要點：知識點1：知識點之間的關系 知識點2：圓的有關性質和計算弧、弦、圓心角之間的關系：在同圓或等圓中，如果兩條劣弧（優(yōu)?。蓚€圓心角中有一組量對應相等，那么它們所對應的其余各組量也分別對應相等垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對的圓周角相

4、等，都等于該弧所對的圓心角的一半圓內(nèi)接四邊形的性質：圓的內(nèi)接四邊形對角互補，并且任何一個外角等于它的內(nèi)對角知識點3：點與圓的位置關系設點與圓心的距離為，圓的半徑為，則點在圓外； 點在圓上； 點在圓內(nèi)過不在同一直線上的三點有且只有一個圓 一個三角形有且只有一個外接圓三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等知識點4：直線與圓的位置關系設圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則直線與圓相離；直線與圓相切；直線與圓相交切線的性質：與圓只有一個公共點；圓心到切線的距離等于半徑；圓的切線垂直于過切點的半徑切線的識別：如果一條直線與圓只有一個公共點，那么這條直線是圓的切線到

5、圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等切線長：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角知識點5：圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含 設兩圓心的距離為，兩圓的半徑為，則兩圓外離 兩圓外切 兩圓相交 兩圓內(nèi)切 兩圓內(nèi)含 兩個圓構成軸對稱圖形，連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線）是對稱軸由對稱性知：兩圓相切，連心線經(jīng)過切點兩圓相交，連心線垂直平分公共弦兩

6、圓公切線的定義：和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線兩個圓在公切線同旁時，這樣的公切線叫做外公切線兩個圓在公切線兩旁時，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長 知識點6：與圓有關的計算弧長公式： 扇形面積公式：（其中為圓心角的度數(shù)，為半徑）圓柱的側面展開圖是矩形圓柱體也可以看成是一個矩形以矩形的一邊為軸旋轉而形成的幾何體圓柱的側面積底面周長×高 圓柱的全面積側面積2×底面積圓錐的側面展開圖是扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長圓錐體可以看成是由一個直角三角形以一條直角邊為軸旋轉而成的幾何體圓錐的側面積×底面周長&

7、#215;母線；圓錐的全面積側面積底面積例題精講例1. ABC中，AC6，BC8，C90°，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，求AD的長【分析】圓中有關弦的計算問題通常利用垂徑定理構造直角三角形求解，所以作CHAB，這只要求出AH的長就能得出AD的長【解】作CHAB，垂足為HC90°，AC6，BC8AB10C90°，CHAB又AC6， AB10AH3.6CHABAD2AH AD7.2答：AD的長為7.2. 【說明】解決與弦有關的問題，往往需要構造垂徑定理的基本圖形由半徑、弦心距、弦的一半構成的直角三角形，它是解決此類問題的關鍵定理的應用必須與所對應的基本

8、圖形相結合，同學們在復習時要特別注重基本圖形的掌握例2. （1）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為直徑，CAEB，試說明AE與O相切于點A（2）在（1）中，若AB為非直徑的弦，CAEB，AE還與O相切于點A嗎？請說明理由【分析】第（1）小題中，因為AB為直徑，只要再說明BAE為直角即可第（2）小題中，AB為非直徑的弦，但可以轉化為第（1）小題的情形【解】（1）AB是O的直徑C90°BACB90°又CAEBBACCAE 90°即BAE 90°AE與O相切于點A.（2）連結AO并延長交O于D，連結CD.AD是O的直徑ACD90°DCAD90°又

9、DB BCAD90°又CAE B CAECAD90°即EAD 90° AE仍然與O相切于點A. 【說明】本題主要考查切線的識別方法滲透了“由特殊到一般”的數(shù)學思想方法，這對于學生的探索能力的培養(yǎng)非常重要例3. 如圖，已知O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結AD、BD、OC、OD，且OD5（1）若，求CD的長（2）若ADO：EDO4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結果保留）【分析】圖形中有 “直徑對直角”，這樣就出現(xiàn)了“直角三角形及斜邊上的高”的基本圖形，求CD的長就轉化為求DE的長第（2）小題求扇形OAC的面積其關鍵是求AOD的度數(shù)，從而轉化為求AOD的大小【

10、解】（1）AB是O的直徑，OD5ADB90°，AB10又在RtABD中，ADB90°，ABCDBD2BE·ABAB10 BE在RtEBD中，由勾股定理得答：CD的長為（2）AB是O的直徑，ABCDBADCDB，AOCAODAODOBADADOCDBADO設ADO4k，則CDB4kADOEDOEDB90°得k10°AOD180°（OADADO）100°AOCAOD100°則答：扇形OAC的面積為【說明】本題涉及到了圓中的重要定理、直角三角形的邊角關系、扇形面積公式等知識點的綜合，考查了學生對基本圖形、基本定理的掌握程

11、度求DE長的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以運用面積關系來求，但都離不開“直角三角形及斜邊上的高”這個基本圖形解題中也運用了比例問題中的設k法，同時也滲透了“轉化”的思想方法例4. 半徑為2.5的O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P已知BC ：CA4 ： 3，點P在半圓AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q.（1）當點P與點C關于AB對稱時，求CQ的長；（2）當點P運動到半圓AB的中點時，求CQ的長； （3）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長【分析】當點P與點C關于AB對稱時，CP被直徑垂直平分，由垂徑定理求出CP的長，再由

12、RtACBRtPCQ，可求得CQ的長當點P在半圓AB上運動時，雖然P、Q 點的位置在變，但PCQ始終與ACB相似，點P運動到半圓AB的中點時，PCB45°，作BEPC于點E， CPPEEC. 由于CP與CQ的比值不變，所以CP取得最大值時CQ也最大【解】（1）當點P與點C關于AB對稱時，CPAB，設垂足為DAB為O的直徑，ACB90°AB5，AC：CA4：3BC4，AC3SRtACBAC·BCAB·CD 在RtACB和RtPCQ中， ACBPCQ90°，CABCPQ RtACBRtPCQ （2）當點P運動到弧AB的中點時，過點B作BEPC于點E

13、（如圖）P是弧AB的中點，又CPBCABCPB tanCAB 從而由（1）得，（3）點P在弧AB上運動時，恒有故PC最大時，CQ取到最大值當PC過圓心O，即PC取最大值5時，CQ 最大值為【說明】本題從點P在半圓AB上運動時的兩個特殊位置的計算問題引申到求CQ的最大值，一方面滲透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面運用“運動變化”的觀點解決問題時，尋求變化中的不變性（題中的RtACBRtPCQ）往往是解題的關鍵 例5. 如圖，PA，PB是O的切線，A，B為切點，OAB30° （1）求APB的度數(shù)； （2）當OA3時，求AP的長 【點評】本題用到的知識點較多，主要知識點有：圓的切線的

14、性質；等腰三角形的性質；四邊形內(nèi)角和定理；垂徑定理；銳角三角函數(shù)等【解】（1）在ABO中，OAOB，OAB30°，AOB180°2×30°120°，PA、PB是O的切線，OAPA，OBPB，即OAPOBP90° AOB+APB=180°APB=60°（2）如圖，作ODAB交AB于點D，在OAB中，OAOB，ADAB，在RtAOD中，OA3，OAD30°，ADOA·cos30°，APAB3例6. 如圖，這是一個由圓柱體材料加工而成的零件，它是以圓柱體的上底面為底面，在其內(nèi)部“掏取”一個與

15、圓柱體等高的圓錐體而得到的，其底面直徑AB12cm，高BC8cm，求這個零件的表面積（結果保留根號）【解】這個零件的底面積×（）236cm2 這個零件的外側面積12×896cm2 圓錐母線長OC10cm 這個零件的內(nèi)側面積×12×1060cm2，這個零件的表面積為：369660192cm2 例7. 如圖，O是圓柱形木塊底面的圓心，過底面的一條弦AD，沿母線AB剖開，得剖面矩形ABCD，AD24cm，AB25cm，若AmD的長為底面周長的，如圖所示： （1）求O的半徑； （2）求這個圓柱形木塊的表面積（結果可保留根號）【解】（1）連結OA、OD，作OEAD

16、于E，易知AOD120°，AE12cm，可得AOr8cm （2）圓柱形木塊的表面積2S圓S圓柱側（384400）cm2例8. 在圖1和圖2中，已知OAOB，AB24，O的直徑為10. （1）如圖1，AB與O相切于點C，試求OA的值；（2）如圖2，若AB與O相交于D、E兩點，且D、E均為AB的三等分點，試求tanA的值（1）【解】連結OC，AB與O相切于C點，OCA90°，OAOB，ACBC12 在RtACO中，OA13 （2）作OFAB于點F，連結OD，DFEF；AFADDF8412，在RtODF中，OF3，在RtAOF中，tanA 例9. 如圖，在ABC中，C90

17、6;，以BC上一點O為圓心，以OB為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N （1）求證：BA·BMBC·BN；（2）如果CM是O的切線，N為OC的中點，當AC3時，求AB的值（1）【證明】連接MN則BMN90°ACB，ACBNMB，AB·BMBC·BN （2）【解】連接OM，則OMC90°，N為OC中點，MNONOM，MON60°，OMOB，BMON30°ACB90°，AB2AC2×36 例10. 已知：如圖，ABC內(nèi)接于O，點D在OC的延長線上，sinB，CAD30° （1）求證：AD是

18、O的切線；（2）若ODAB，BC5，求AD的長（1）【證明】如圖，連結OA，因為sinB，所以B30°，故O60°，又OAOC，所以ACO是等邊三角形，故OAC60°，因為CAD30°，所以OAD90°，所以AD是O的切線 （2）【解】因為ODAB，所以OC垂直平分AB，則ACBC5，所以OA5，在OAD中，OAD90°，由正切定義，有tanAOD，所以AD5 課后練習一、填空題1. 已知扇形的圓心角為120°，半徑為2cm，則扇形的弧長是_cm，扇形的面積是_cm22. 如圖，兩個同心圓中，大圓的半徑OA4cm，AOBBO

19、C60°，則圖中陰影部分的面積是_cm23. 圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，那么這個圓錐的側面積是_cm24. 如圖，O的半徑為4cm，直線lOA，垂足為O，則直線l沿射線OA方向平移_cm時與O相切 5. 兩圓有多種位置關系，圖中不存在的位置關系是_6. 如圖，從一塊直徑為ab的圓形紙板上挖去直徑分別為a和b的兩個圓，則剩下的紙板面積是_7. 如圖，AB為半圓O的直徑，CB是半圓O的切線，B是切點，AC交半圓O于點D，已知CD1，AD3，那么cosCAB_8. 如圖，BC為半O的直徑，點D是半圓上一點，過點D作O的切線AD，BADA于A，BA交半圓于E，已知BC10，AD4，

20、那么直線CE與以點O為圓心，為半徑的圓的位置關系是_二、選擇題1. 在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為r，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于120°，則r與R之間的關系是（ ） A. R2r B. Rr C. R3r D. R4r2. 圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則它的側面積是（ ） A. 60cm2 B. 45cm2 C. 30cm2 D. 15cm23. 已知圓錐側面展開圖的圓心角為90°，則該圓錐的底面半徑與母線長的比為（ ） A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：14. 將直徑為64cm的圓形鐵皮，做

21、成四個相同圓錐容器的側面（不浪費材料，不計接縫處的材料損耗），那么每個圓錐容器的高為（ ） A. 8cm B. 8cm C. 16cm D. 16cm5. 如圖，圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD疊放在一起，OA3，OC1，分別連結AC、BC，則圓中陰影部分的面積為（ ）A. B. C. 2 D. 46. 如圖，將圓桶中的水倒入一個直徑為40cm，高為55cm的圓口容器中，圓桶放置的角度與水平線的夾角為45°，若使容器中的水面與圓桶相接觸，則容器中水的深度至少應為（ ） A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 35cm7. 生活處處皆學問，如圖，眼鏡鏡片

22、所在的兩圓的位置關系是（ ）A. 外離 B. 外切 C. 內(nèi)含 D. 內(nèi)切8. O的半徑為4，圓心O到直線L的距離為3，則直線L與O的位置關系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 無法確定9. 如圖，已知O的直徑AB與弦AC的夾角為35°，過點C的切線PC與AB的延長線交于點P，那么P等于（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°10. 已知圓A和圓B相切，兩圓的圓心距為8cm，圓A的半徑為3cm， 則圓B的半徑是（ ） A. 5cm B. 11cm C. 3cm D. 5cm或11cm11. 如圖PB為O的切

23、線，B為切點，連結PO交O于點A，PA2，PO5，則PB的長度為（ ）A. 4 B. C. 2 D. 412. 如圖，AB與O切于點B，AO6cm，AB4cm，則O的半徑為（ ）A. 4cm B. 2cm C. 2cm D. m三、解答題1. 如圖，已知正三角形ABC的邊長為2a （1）求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積 （2）根據(jù)計算結果，要求圓環(huán)的面積，只需測量哪一條弦的大小就可算出圓環(huán)的面積； （3）將條件中的“正三角形”改為“正方形”“正六邊形”，你能得出怎樣的結論？ （4）已知正n邊形的邊長為2a，請寫出它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)面積2. 如圖，已知O為原點，點A的坐標為（4，3

24、），A的半徑為2. 過A作直線平行于軸，點P在直線上運動（1）當點P在A上時，請你直接寫出它的坐標；（2）設點P的橫坐標為12，試判斷直線OP與A的位置關系，并說明理由3. 如圖1，已知中，過點作，且，連接交于點（1）求的長；（2）以點為圓心，為半徑作A，試判斷與A是否相切，并說明理由；（3）如圖2，過點作，垂足為以點為圓心，為半徑作A；以點為圓心，為半徑作C若和的大小是可變化的，并且在變化過程中保持A和C相切，且使點在A的內(nèi)部，點在A的外部，求和的變化范圍4. 已知：AB為O的直徑，P為AB弧的中點（1）若O與O外切于點P（見圖甲），AP、BP的延長線分別交O于點C、D，連接CD，則PCD是

25、 三角形； （2）若O與O相交于點P、Q（見圖乙），連接AQ、BQ并延長分別交O于點E、F，請選擇下列兩個問題中的一個作答：問題一：判斷PEF的形狀，并證明你的結論；問題二：判斷線段AE與BF的關系，并證明你的結論我選擇問題 ，結論： .5. 從衛(wèi)生紙的包裝紙上得到以下資料：兩層300格，每格11.4cm×11cm，如圖甲。用尺量出整卷衛(wèi)生紙的半徑（）與紙筒內(nèi)芯的半徑（），分別為5.8cm和2.3cm，如圖乙。那么該兩層衛(wèi)生紙的厚度為多少cm？（取3.14，結果精確到0.001cm）6. 設邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的O的圓心O在直線l上

26、運動，點A、O間距離為D（1）如圖，當ra時，根據(jù)d與a、r之間的關系，將O與正方形的公共點的個數(shù)填入下表：d、a、r之間的關系公共點的個數(shù)dardarardardardar所以，當ra時，O與正方形的公共點的個數(shù)可能有個；（2）如圖，當ra時，根據(jù)d與a、r之間的關系，將O與正方形的公共點的個數(shù)填入下表：d、a、r之間的關系公共點的個數(shù)dardaradarda所以，當ra時，O與正方形的公共點的個數(shù)可能有個；（3）如圖，當O與正方形有5個公共點時，試說明ra；（4）就ra的情形，請你仿照“當時，O與正方形的公共點的個數(shù)可能有 個”的形式，至少給出一個關于“O與正方形的公共點的個數(shù)”的正確結論練習答案一、填空題1. ，2. 3. 604. 4 5. 兩圓相交6. 7. 8. 相離二、選擇題1. C 2. D 3. C 4. A 5. C 6. D 7. A 8. A 9. B 10. D 11. A 12. B三、解答題1. 解（1）S圓環(huán)a2 （2）弦AB或BC或AC （3）圓環(huán)的面積均為·（）2. （4）S圓環(huán)a22. 解：點P的坐標是（2，3）或（6，3） 作ACOP，C為垂足ACPOBP，11ACPOBP在中