高二數(shù)學(xué)下冊 9.7　直線和平面所成的角與二面角教案2人教版

1、課 題：97直線與平面所成的角和二面角(二)教學(xué)目的：1.理解二面角及其平面角的概念,能確認(rèn)圖形中的已知角是否為二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法:(1)根據(jù)定義;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂線定理或逆定理教學(xué)重點：二面角的概念和二面角的平面角的作法教學(xué)難點：二面角的平面角的一般作法及其尋求授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1 斜線,垂線,射影垂線 自一點向平面引垂線,垂足叫這點在這個平面上的射影. 這個點和垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段. 斜線 一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個

2、平面的斜線斜線和平面的交點叫斜足；斜線上一點與斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段射影 過斜線上斜足外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影垂足和斜足間線段叫這點到這個平面的斜線段在這個平面內(nèi)的射影直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線直線與平面垂直射影是點斜線任一點在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上2射影長相等定理:從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線中射影相交兩條斜線相交；射影較長的斜線段也較長相等的斜線段射影相等，較長的斜線段射影較長垂線段比任何一條斜線段都短OB=OCÞAB=AC OB>OCÞAB>ACAB=ACÞ

3、;OB=OC AB>ACÞOB>OCOA<AB，OA<AC3直線和平面所成角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角一直線垂直于平面，所成的角是直角一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角.直線和平面所成角范圍： 0，（2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角4公式：已知平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成角，且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角，則有.二、講解新課：1 二面角的概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一

4、條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面若棱為，兩個面分別為的二面角記為；二面角的圖形表示：第一種是臥式法，也稱為平臥式：第二種是立式法，也稱為直立式：2二面角的平面角： （1）過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（2）一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角說明：（1）二面角的平面角范圍是；（2）二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直三、講解范例：例1 在正四面體中，求相鄰兩個平面所成的二面角的平面角的大小解：取的中點，連接，正四面體，于，

5、為二面角的平面角，方法一：設(shè)正四面體的棱長為1，則，由余弦定理得方法二：（向量運算）令，棱長為1，又，即相鄰兩個平面所成的二面角的平面角的大小為例2在棱長為1的正方體中，（1）求二面角的大??；（2）求平面與底面所成二面角的平面角大小解：（1）取中點，連接，正方體，即為二面角的平面角，在中，可以求得即二面角的大小為（2）過作于點，正方體，平面，為平面與平面所成二面角的平面角，可以求得：所以，平面與底面所成二面角的平面角大小為說明：求二面角的步驟：作證算答例3已知：二面角且到平面的距離為，到的距離為，求二面角的大小解：作于點，平面于點，連接，于點，于點，即為二面角的平面角，易知，即二面角的大小為說

6、明：利用三垂線定理作二面角的平面角是解決二面角問題中一種重要的方法，其特征是其中一個平面內(nèi)一點作另一個平面的垂線則已經(jīng)有三種作二面角的平面角的方法，即：定義法、垂面法、三垂線法例4如圖，平面，若，求二面角的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：過作于，過作交于，連結(jié)，則垂直于平面，為二面角的平面角，又平面，平面，又，平面，設(shè)，則，在中，同理，中， ，所以，二面角的正弦值為四、課堂練習(xí)：1如圖所示，已知面，二面角的平面角為，求證：證明：過作的垂線，垂足為，連接平面，平面，為二面角的平面角，即面 是直角三角形 又 即說明：這是推廣的射影定理，也是求二面角平面角的一種方法2如圖，在空間四邊形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角為直二面角，求二面角的大小解：過作于二面角為直二面角 面取中點，為中點，連接 為二面角的平面角令，則 在中即二面角的大小為3設(shè)在平面內(nèi)的射影是直角三角形的斜邊的中點，求（1）與平面所成角的大??；（2）二面角的大??；（3）異面直線和的大小解：（1）面 為與面所成角 即與平面所成角的大小為（2）取中點，連接 又面 為二面角的平面角又 即二面角的大小為（3）取的中點，連接，則與所成的銳