四川大學(xué)線性代數(shù)課件第二章第四節(jié) n階矩陣乘積的行列式

1、引理引理 設(shè)設(shè)A=(aij)n B=(bij)mm C=(cij)mn 則則 A 0 C B d=AB證明：對(duì)證明：對(duì)n作歸納法：當(dāng)作歸納法：當(dāng)n=1時(shí)，即按第一行展開(kāi)，顯然成時(shí)，即按第一行展開(kāi)，顯然成立。設(shè)結(jié)論對(duì)立。設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階階 矩陣成立。矩陣成立。當(dāng)當(dāng)A為為n階矩陣時(shí)：階矩陣時(shí)：.000000111111111221111mmmmnmmnnnnnnbbccbbccaaaaaad按第按第一行一行展開(kāi)展開(kāi)將將d 按照第一行展開(kāi)：按照第一行展開(kāi)：.000000111111111221111mmmmnmmnnnnnnbbccbbccaaaaaad設(shè)設(shè)a1j在在A中的余子式為中的余子式為M1j

2、 ，代數(shù)余子式為代數(shù)余子式為A1ja1j在在d 中的余子式為中的余子式為 之形。之形。 BCMnmj) 1(10由歸納假設(shè)知它在由歸納假設(shè)知它在d 中的余子式及代數(shù)余子式分別為：中的余子式及代數(shù)余子式分別為：BMj1BAj1BAadjnjj111ABAaBjnjj111同理：同理：BABDA0BABAFmn) 1(0BAMBAmn) 1(0一共作nm次相鄰對(duì)換化成引理中的形式定理定理5 （矩陣乘積的行列式定理）（矩陣乘積的行列式定理） 設(shè)設(shè)A，B是是n階矩陣，則階矩陣，則 AB=AB證明：證明：將將B作行分塊：作行分塊：nBBBB21構(gòu)造構(gòu)造行列行列式式BEABA0nnnnnnnBBBaaaa

3、aaaaa10001000100021212222111211nnnnnnnBBBBaaaBaaaBaaa10001000100021112121222111112第n+1行的ai1 倍加到第i 行，i=1，2，nnnnnnnnBBBBaBaaBaBaaBaBaaa1000100010000002122112221212212111112nininiiiniiiniBBBBaBaBa1000100010000000002112111ABBBABaBaBaBaBaBannnnnnnn122111212111BEABBA0EABnn) 1(nnAB) 1() 1(2AB例例1：計(jì)算行列式的值：計(jì)算

4、行列式的值3002543120037215300220035431721532002300513475123223341210)49)(46(課后思考：證明奇數(shù)階反對(duì)稱行列式的值為0可以拆成矩陣之積的行列式計(jì)算方法可以拆成矩陣之積的行列式計(jì)算方法例例2證明證明. 02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2sin 證證. 0000sinsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin 左邊左邊.:)2(;)1(.,111BACDADCBAXYZEOBAEZDCBAYEACOEXnEAnDCBA 證明證明求乘積求乘積并且并且階單位陣階單位陣是是是非奇異的是非奇異的階方陣階方陣都是都是設(shè)設(shè)例例3:3:解解:（）根據(jù)分塊矩陣的乘法，得（）根據(jù)分塊矩陣的乘法，得 EOBAEDCBAEACOEXYZ11 EOBAEBACDOBA11.1 BACD