2020高考數(shù)學(xué)---命題形式變化及真假判定

1、第1煉命題形式變化及真假判定一、基礎(chǔ)知識(shí)：(一)命題結(jié)構(gòu)變換1、四類命題間的互化：設(shè)原命題為“若p ,則q ”的形式，則(1)否命題：“若p ,則q”(2)逆命題：“若q,則p”(3)逆否命題：“若q ,則p”2、p vq , p Aq(1)用“或”字連接的兩個(gè)命題(或條件)，表示兩個(gè)命題(或條件)中至少有一個(gè)成立即可，記為p q(2)用“且”字連接的兩個(gè)命題(或條件)，表示兩個(gè)命題(或條件)要同時(shí)成立，記為pq3、命題的否定p :命題的否定并不是簡單地在某個(gè)地方加一個(gè)“不”字，對(duì)于不同形式 的命題也有不同的方法(1) 一些常用詞的“否定”：是一不是全是一不全是至少一個(gè)一都沒有至多n個(gè)一至少n

2、 +1個(gè)小于一大于等于(2)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定：邏輯聯(lián)接詞對(duì)應(yīng)改變，同時(shí) p,q均變?yōu)閜,q :p 或 q 一p 且qp 且 q 一p 或q(3)全稱命題與存在性命題的否定全稱命題：p : _x M , p x 'p : x M , p(x)存在性命題：p: x M , p x - 'p : _x M，p(x)規(guī)律為：兩變一不變兩變：量詞對(duì)應(yīng)發(fā)生變化( Vu三)，條件p(x )要進(jìn)行否定=p(x)一不變：x所屬的原集合 M的不變化(二)命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，但在一組有關(guān)系的命題中，真假性也存在一定的關(guān)聯(lián)。1、四類命題：原命題與逆否命題真假性相同

3、，同理，逆命題與否命題互為逆否命題，所以真假性也相同。而原命題與逆命題，原命題與否命題真假?zèng)]有關(guān)聯(lián)2、p vq , p q ,如下列真值表所示:pqp或q真真真真假真假真真假假假pqp且q真真真真假假假真假假假假簡而言之“一真則真”簡而言之“一假則假”3、p :與命題p真假相反。4、全稱命題：真：要證明每一個(gè) M中的元素均可使命題成立假：只需舉出一個(gè)反例即可5、存在性命題：真：只需在M舉出一個(gè)使命題成立的元素即可假：要證明M中所有的元素均不能使命題成立二、典型例題例1 ：命題“若方程 ax2 bx + c = 0的兩根均大于0,則ac > 0 ”的逆否命題是（）2A. “若ac>0

4、,則方程ax bx + c = 0的兩根均大于0”2B. “若方程ax bx+c=0的兩根均不大于 0,則acE0”C. “若ac<0,則方程ax2 - bx +c = 0的兩根均不大于 0”D. “若ac <0 ,則方程ax2 - bx + c =0的兩根不全大于0”思路：所謂逆否命題是要將原命題的條件與結(jié)論否定后并進(jìn)行調(diào)換，“ ac > 0 ”的對(duì)立面是“ac0”，“均大于0”的對(duì)立面是“不全大于 0”（注意不是：都不大于 0）,再調(diào)換順序即可，D選項(xiàng)正確答案：D例2：命題“存在xZ,x2+2x+m W0”的否定是（）A.存在 x e Z, x2 +2x +m >0

5、 B ,不存在 xe Z,x2 +2x + m>0C. 對(duì)任意 xwZ,x2+2x+mM0 D ,對(duì)任意 xwZ,x2 +2x + m>0思路：存在性命題的否定：要將量詞變?yōu)椤叭我狻?，語句對(duì)應(yīng)變化22x +2x+mM0T x +2x+m>0,但x所在集合不變。所以變化后的命題為：對(duì)任意2x匚 Z, x +2x +m >0答案：D例3:給出下列三個(gè)結(jié)論（1）若命題p為假命題，命題q為假命題，則命題“p v q 為假命題（2）命題“若xy = 0,則x = 0或y = 0 ”的否命題為“若 xy # 0 ,則x # 0或y # 0 ”（3）命題“ Vx w R,2x >

6、;0”的否定是“ ：3xw R,2xM0”，則以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A. 3B. 2C. 1D. 0思路：（1）中要判斷pq的真假，則需要判斷 p,q各自的真值情況，q為假命題，則q為真命題，所以 p,q 一假一真，pvq為真命題，（1）錯(cuò)誤（2）“若，則”命題的否命題要將條件和結(jié)論均要否定，而（2）中對(duì)“x = 0或y = 0"的否定應(yīng)該為“ x # 0且y #0 "，所以（2）錯(cuò)誤（3）全稱命題的否定，要改變量詞和語句，且x的范圍不變。而（3）的改寫符合要求，所以（3）正確綜上只有（3）是正確的答案：C例4 :有下列四個(gè)命題“若x+y = 0 ,則x,y互為相反數(shù)”的

7、逆命題“全等三角形的面積相等”的否命題“若q £1 ,則x2 +2x +q =0有實(shí)根”的逆否命題“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆命題其中真命題為（）A. B.C.D.思路：中的逆命題為“若x, y互為相反數(shù)，則x + y = 0 "，為真命題。中的否命題為“如果兩個(gè)三角形不是全等三角形，則它們的面積不相等"，為假命題（同底等高即可）。中若要判斷逆否命題的真假，則只需判斷原命題即可。q M 1時(shí)，判別式 = 4 4q之0 ,故方程有實(shí)根。所以原命題為真命題，進(jìn)而其逆否命題也為真命題。中的逆命題為“如果一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角相等，則它為不等邊三角形”顯然是假命題。綜上

8、，正確答案：C小煉有話說：在判斷四類命題的真假時(shí)，如果在寫命題或判斷真假上不好處理，則可以考慮其對(duì)應(yīng)的逆否命題，然后利用原命題與逆否命題同真同假的特點(diǎn)進(jìn)行求解例5:下列命題中正確的是（）A.命題“三x W R ,使得X2 -1 <0 ”的否定是“ Vx W R ,均有X2 1 < 0 ”B.命題“若x =3,則X2 -2x 3 = 0”的否命題是“若 x=3,則X2 2x 3#0”C.命題“存在四邊相等的四邊形不是正方形”，該命題是假命題D.命題“若cosx = cosy，則x = y ”的逆否命題是真命題思路：分別判斷 4個(gè)選項(xiàng)的情況，A選項(xiàng)命題的否定應(yīng)為“ VxW R,均有x2

9、 - 1之0”，B選型否命題的形式是正確的，即條件結(jié)論均否定。C選項(xiàng)的命題是正確的，菱形即滿足條件，D選項(xiàng)由原命題與逆否命題真假相同，從而可判斷原命題的真假，原命題是假的，例如終邊相同的角余弦值相同，所以逆否命題也為假命題。D錯(cuò)誤答案：B例6：如果命題“ p且q ”是假命題，“q ”也是假命題，則（）A.命題“p或q”是假命題B.命題“ p或q”是假命題C.命題“4且q ”是真命題D.命題“ p且q ”是真命題思路：涉及到“或”命題與“且”命題的真假，在判斷或利用條件時(shí)通常先判斷每個(gè)命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷。題目中以q為入手點(diǎn)，可得q是真命題，而因?yàn)?p且q是假命題，所以p只能是假命題

10、。進(jìn)而 p是真命題。由此可判斷出各個(gè)選項(xiàng)的真假：只有 C 的判斷是正確的答案：C例7：已知命題p：若xy,則一x<-y；命題q ：若x > y ,則x2 > y2,在命題p八q ；pq；p八（1q ）；（pjq中，真命題是（）A.B.C.D.思路：可先判斷出 p,q的真假，從而確定出復(fù)合命題的情況。命題p符合不等式性質(zhì)，正確，而q命題是錯(cuò)的。所以是假的，是真的，中，因?yàn)閜為假，q為真，所以正確，不正確。綜上可確定選項(xiàng)D正確答案：Dp1: -lx 三 iQ 二例8：下列4個(gè)命題中，其中的真命題是p2 ： X 0,1 ,1ogx logiX 23P3 : 一x 三0,二10gl

11、x2p4： 一 xsx：10gl x3A. pi,p3B. pi, p4C. p2,p3D. p2,p4思路：pi, p2為存在性命題，所以只要找到符合條件的x即可。pi可作出,y 二2 ,y 3i的圖像，通過觀察發(fā)現(xiàn)找不到符合條件的x ; p2同樣作圖可得Vx w (0,i ),1og i x a 10gl x ,所以 p2 正確；p3通過作圖可發(fā)現(xiàn)圖像中有一部分<10gl x ,所2以p3錯(cuò)誤；在p4中，可得當(dāng)i 口xw 0,時(shí)，,30=i,所以.-< i < 1ogi x , p4正確。綜上可得:23= i,1ogi x 1ogi一一33p2 , p4正確答案：D小煉有

12、話說：（i）在判斷存在性命題與全稱命題的真假，可通過找例子（正例或反例）來進(jìn)行簡單的判斷，如果找不到合適的例子，則要嘗試?yán)贸Ｒ?guī)方法證明或判定（2）本題考察了指對(duì)數(shù)比較大小，要選擇正確的方法（中間橋梁，函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合）進(jìn)行處理，例如本題中 pi, p2, p3運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合，而 p4通過選擇中間量判斷。22例 9:已知命題 p :二x° = R,mx0 + i W 0 ,命題 q : Vxc R, x +mx+i>0,若 p vq 為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. 2WmW2b. mW2或m2 c. m W2d. m 之2思路：因?yàn)閜“q為假命題，所以可得p,q均為假

13、命題。則p,q為真命題。 2 2-'p : Vx = R,mx +1 >0;_|q : 5x = R,x +mx+1 M0。解決這兩個(gè)不等式能成立與恒成立問題即可。解：px/q為假命題p, q均為假命題'/ -p : Vx= R,mx2 +1 > 0;rq :三x w R, x2 + mx +1 < 0,p,q為真命題對(duì)于 一p : -x R,mx2 1021mx 1 0= m -x1當(dāng) xwR時(shí)，一二 <0 m > 0 x對(duì)于q :三xw R,x2 + mx+1 W0 ,設(shè)f (x )= x2 +mx+1 ,由圖像可知：若 >q成立，則 =

14、m24至0 ，解得：m >2或 m < -2所以綜上所述：m _2小煉有話說：因?yàn)槲覀兤饺兆鲱}都是以真命題為前提處理，所以在邏輯中遇到已知條件是假命題時(shí)，可以考慮先寫出命題的否定，根據(jù)真值表得到命題的否定為真，從而就轉(zhuǎn)化為熟悉的形式以便于求解例10：設(shè)命題p :函數(shù)f (x ) = lg(x2 -4x +a2 )的定義域?yàn)镽 ；命題q : Vm£一1,1】，不等式a2 -5a 3之Jm2 +8恒成立,如果命題“ pyq”為真命題，且“ p/vq”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思路：由“ p vq"為真命題可得 p,q至少有一個(gè)為真，由“ p Aq"為假命

15、題可得p,q至少有一個(gè)為假。兩種情況同時(shí)存在時(shí)，只能說明p,q是一真一假。所以分為p假q真與p真q假進(jìn)行討論即可解：:命題“ puq”為真命題，且“ pq”為假命題二p,q 一真一假若p假q真，則p:函數(shù)f(x)=lg(x2 -4x + a2加定義域不為R=16 -4a2 -0= -2 - a - 2 q : a2 -5a -3 之 Jm2 +8恒成立a2 - 5a - 3 _ m2 8=3max2.a 5a6 之 0n aW1 或 a 之6-2 < a < -1若p真q假，則p:函數(shù)f (x )=lg(x2 4x + a2 )的定義域?yàn)镽2=16 -4a <0= a <

16、; -2或 a >2q : -im 1-1,11,不等式 a2 -5a -3 :二.m2 8a2 -5a -3< （Jm2 +8 ）= 3 解得 一1 <a <6max.2 ： a : 6綜上所述：a三12,-11|J 2,6三、近年模擬題題目精選：1、（2014 河南高三模擬，9）已知命題 p : 3x w R,ln x + x-2 = 0 ,命題 q: Vx w R,2x ± x2 ,則下列命題中為真命題的是（）A. p qB. p qC. p qD. _p _ q2、（2014,岳陽一中，3）下列有關(guān)命題的敘述： 若p/q為真命題，則 pcq為真命題2&

17、quot; x >5 是 x -4x 5 >0 ”的充分不必要條件命題p :三x亡R,使得x2 +x -1 < 0,則一'p : Vx亡R ,使得x2 + x -120命題：“若x2 3x+2=0 ,則x=1或x = 2”的逆否命題為：“若x#1或x#2,則x2 -3x +2 /0 ”其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 23、 （ 2014成都七中三月模擬，4 ）q:Vae R, log2a（+1）則 0）C. 3D. 4已知命題p:三xWR, 2 xex,命題A.命題puq是假命題C.命題pq是假命題B.命題pAq是真命題D.命題pq是真命題214、（2014新津

18、中學(xué)三月月考，6）已知命題“三XWR,使得2x +（a 1戶+萬M0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. -二，-1B,-3,二C.-1,3D, -3,1x y _ 1 ,5、（2014新課標(biāo)全國卷I）不等式組：的解集記為D ,有下面四個(gè)命題：x-2y < 4Pi : - x,y D,x 2y - -2P2 : x, y D, x 2y _ 2P3 : - x,y D,x 2y < 3P4: x,y D,x 2y < -1其中真命題是（A. P2, P3B. P1,P2C. P1, P4D. P1, P3習(xí)題答案：1、答案：C解析：分別判斷 p,q真假，令f (x)=lnx + x-2,可得f(1)f(2)<0由零點(diǎn)存在性定理可知三xw(1,21使得f (x)=lnx + x