理學最小二乘法的原理及在建模中的應用分析

1、學校代碼： 10128學 號： 本科畢業(yè)論文(題 目：最小二乘法的原理及在建模中的應用分析學生姓名： 學 院： 系 別： 專 業(yè)： 班 級：指導教師： 副教授二 一年 六 月摘要最小二乘法是一種最基本、最重要的計算技巧與方法.它在建模中有著廣泛的應用,用這一理論解決討論問題具有簡明、清晰的特點,特別在大量數(shù)據(jù)分析的研究中具有十分重要的作用和地位.隨著最小二乘法理論不斷的完善,其基本理論與應用已經(jīng)成為一個不容忽視的研究課題.本文共分三部分.緒論主要介紹最小二乘法的起源、基本概念以及本文的主要工作;第一章闡述了最佳平方逼近和曲線擬合的算法,并做出二者的流程圖,接著對曲線擬合的線性和非線性模型給出求

2、解方法,最后總結(jié)出常用的模型函數(shù)以及線性化方法;第二章首先通過解決實際算例,闡述如何克服病態(tài)方程,然后通過預測研究生招生人數(shù),闡明它在建模中的作用,并作簡單的分析,最后做出了總結(jié).關(guān)鍵詞:最小二乘法;最佳平方逼近;曲線擬合;病態(tài)方程;MatlabAbstractLeast-square method is one of the most fundamental and most important calculation methods and skills in modeling.It is widely used in solving this theory,discuss the pro

3、blem with concise,clear characteristics,especially in the research of data analysis plays a very important role and status.With the least square theory constantly,perfect the basic theory and application has become a serious research topic.The paper has three parts are mainly introduced. Introductio

4、n to the origin of least squares, basic concepts and the main job, Thefirst chapter describes best square approximation and the curve fitting, the algorithm and the flowchart, then both of the curve fitting is linear and nonlinear model of solving method, and finally summarizes common model function

5、 and linearization method, The second chapter first through solving practical examples, this paper discusses how to overcome the pathological equation, and then through the prediction of graduate student recruit students number, expounds its role in modeling and simple analysis, finally made a summa

6、ry.Keywords:Least-square method;The best square approximation;The curve fitting; Psychopathic equation;Matlab目錄緒論1第一章最小二乘法概述31.1 預備知識31.2 最佳平方逼近問題41.3 曲線擬合問題61.4 曲線擬合的模型分類81.4.1 線性模型81.4.2 非線性模型111.5 總結(jié)13第二章最小二乘法在建模中的應用162.1 應用舉例162.2 病態(tài)方程182.3 建模分析202.4總結(jié)24參考文獻25附錄A 最佳平方逼近流程圖26附錄B 曲線擬合流程圖27附錄C 部分Ma

7、tlab程序28謝辭33緒論在科學研究中,為了揭示某些相關(guān)量之間的關(guān)系,找出其規(guī)律,往往需要做數(shù)據(jù)擬合,其常用方法一般有傳統(tǒng)的插值法、最佳一致逼近多項式、最佳平方逼近、最小二乘擬合、三角函數(shù)逼近、帕德（Pade）逼近等,以及現(xiàn)代的神經(jīng)網(wǎng)絡逼近、模糊逼近、支持向量機函數(shù)逼近、小波理論等.其中,最小二乘法是一種最基本、最重要的計算技巧與方法. 它在建模中有著廣泛的應用,用這一理論解決討論問題簡明、清晰,特別在大量數(shù)據(jù)分析的研究中具有十分重要的作用和地位.隨著最小二乘理論不斷的完善,其基本理論與應用已經(jīng)成為一個不容忽視的研究課題.1.最小二乘法的起源與基本概念1805年勒讓德(Legendre)發(fā)表

8、的論著計算彗星軌道的新方法附錄中,最早提到最小二乘法,Legendre之所以能做出這個發(fā)現(xiàn),是因為他沒有因襲前人的方法要設法構(gòu)造出個方程去求解,他認識到關(guān)鍵不在于使某一方程嚴格符合,而在于要使誤差以一種平衡的方式分配到各個方程,具體地說,他尋求這樣的值,使得達到最小.1809年,高斯(Gauss)發(fā)表論著天體運動理論,對其誤差進行了研究,再該書末尾,他寫了一節(jié)有關(guān)“數(shù)據(jù)結(jié)合”的問題,以及其簡單的手法導出誤差分布-正態(tài)分布,并用最小二乘法加以驗證.關(guān)于最小二乘法,Gauss宣稱自1795年以來他一直使用這個原理.這立刻引起了Legendre的強烈反擊,他提醒說科學發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)只能以出版物確定,并

9、嚴斥Gauss剽竊了他人的發(fā)明.他們間的爭執(zhí)延續(xù)了多年.因而,這倆位數(shù)學家之間關(guān)于優(yōu)先權(quán)的爭論僅次于牛頓(Newton)和萊布尼茲(Leibniz)之間關(guān)于微積分發(fā)明的爭論.現(xiàn)在一般認為,二人各自獨立的發(fā)明了最小二乘法.盡管早在10年前,Gauss就使用這個原理,但第一個用文字形式發(fā)表的是Legendre.最小二乘法在19世紀初發(fā)明后,很快得到歐洲一些國家的天文學家和測地學家的廣泛關(guān)注.同時,誤差的分布是“正態(tài)”的,也立刻得到天文學家的關(guān)注.正態(tài)分布作為一種統(tǒng)計模型,在19世紀極為流行,一些學者甚至把19世紀的數(shù)理統(tǒng)計學稱為正態(tài)分布的統(tǒng)治時代.綜上可知,Legendre和Gauss發(fā)現(xiàn)最小二乘

10、法是從不同的角度人手的:一個是為解線性方程組,一個是尋找誤差函數(shù);一個用的是整體思維,考慮方程組的均衡性,一個用的是逆向思維,首先接受經(jīng)驗事實,一個是純代數(shù)方法,一個致力于應用.相比而言,高斯不愧為數(shù)學王子,他把最小二乘法推進得更遠、更深刻,這極大地推進了數(shù)理統(tǒng)計學的發(fā)展.發(fā)展至今,其已在各個方面有了應用.其基本原理如下.基本原理:在自然科學和工程實踐中,經(jīng)常會遇到尋求經(jīng)驗公式問題.由實驗或觀測得到一組數(shù)據(jù),而各是不同的,且設,通過這些數(shù)據(jù),我們求一曲線,在函數(shù)空間中尋找一個逼近函數(shù)由于觀測有誤差,因此并不為零.但要求這就是曲線擬合的最小二乘問題.2.選題背景與本文的主要工作在科學研究中,為了

11、揭示某些相關(guān)量之間的關(guān)系,找出其規(guī)律,往往需要求解其函數(shù)解析式.一種方法是采用插值逼近法,即所構(gòu)造的近似函數(shù)在已知節(jié)點上必須滿足要求逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)在各已知點處的誤差為零,即要求的曲線必須通過所有的點,常用的插值法有拉格朗日(Lagrange)插值,牛頓(Newton)插值,埃爾米特(Hermite)插值等.另一方面,由于觀測數(shù)據(jù)較多,一般不用插值法,而是用擬合的方法.即只要找到一條曲線,即能反映給定數(shù)據(jù)的一般趨勢,又不出現(xiàn)局部較大的波動即可,只要與的偏差滿足某種要求就行了.這種數(shù)據(jù)間的非確定關(guān)系需要統(tǒng)計方法來描述,最常用的方法就是數(shù)據(jù)擬合.數(shù)據(jù)擬合就是找一種函數(shù)的解析表達式或近似表達式來

12、描述這組數(shù)據(jù)間的函數(shù)關(guān)系,通常用到最小二乘法.數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法通過最小化誤差的平方和,尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù).利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù),并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小.本文就是在這樣的背景下,第一章主要介紹了最小二乘法的原理,對最佳平方逼近和曲線擬合給出求解方法,總結(jié)了非線性模型下最小二乘法的求法.第二章主要講述其在實際中的應用,以及如何克服法方程病態(tài)的方法.最后通過實例闡述其在建模中的作用.第一章 最小二乘法概述最小二乘法通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配.利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù),并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為

13、最小.在下面的章節(jié)中我們主要分析最小二乘法的原理,分別對最佳平方逼近和曲線擬合做了簡單概述,重點對曲線擬合的非線性模型給出總結(jié).1.1 預備知識定義1.1 設在區(qū)間上非負函數(shù),滿足條件:1)存在;2)對非負的連續(xù)函數(shù),若則在上就稱為區(qū)間上的權(quán)函數(shù).定義1.2設上的權(quán)函數(shù),積分稱為函數(shù)與在上的內(nèi)積.定義1.3內(nèi)積若滿足下列四條公理:1)2),為常數(shù)3)4),當且僅當時則連續(xù)函數(shù)空間上就形成一個內(nèi)積空間.若,則其內(nèi)積定義為定義1.4設為非奇異矩陣,稱為矩陣的條件數(shù),其中為中的某種矩陣范數(shù).則對方程組(1)如果條件數(shù)很大,則稱為病態(tài)方程組(或為病態(tài)).(2)當相對較小時,稱為良態(tài)方程組(或是良態(tài)的)

14、.定義1.5設在給定函數(shù)系,若滿足條件則稱函數(shù)系是上帶權(quán)為的正交函數(shù)系.定義1.6對于給定的函數(shù),若次多項式滿足關(guān)系 (1-1)其中為所有不超過次的多項式,則稱為在區(qū)間上的次最佳平方逼近多項式.定義1.7對于給定函數(shù),如果存在使 (1-2)則稱是在空間中的最佳平方逼近函數(shù).1.2最佳平方逼近問題最佳平方逼近問題就是對于給定的一個函數(shù),用另一個函數(shù)去逼近它.如圖1.1所示圖1.1 最佳平方逼近圖由公式(1-1)和公式(1-2)要求在給定的函數(shù)類中中找到一個函數(shù)使?jié)M足函數(shù)類一般可取比較低次的多項式集合或其他較簡單的函數(shù)類.其中,是上給定的權(quán)函數(shù),它表示不同的點地位的強弱,它的地位越重要,從而權(quán)也越

15、大.其求解步驟概括如下:Step1做出函數(shù)圖形并尋找規(guī)律Step2 設定數(shù)學模型,給出函數(shù)空間Step3利用最佳平方逼近原理求出,滿足表示為是權(quán)函數(shù),具體的求出,相當于求解法方程Step4求出誤差Step5分析并找出模型的優(yōu)缺點,求誤差,若誤差大,則應重新建立函數(shù)空間,最佳平方逼近流程圖見附錄A.1.3曲線擬合問題曲線擬合就是對于給定的一組數(shù)據(jù),如圖1.2所示.圖1.2曲線擬合圖要求在給定的函數(shù)類中找到一個函數(shù) (nm)使?jié)M足這里這種求逼近的方法就稱為曲線擬合的最小二乘法.函數(shù)類一般可取比較低次的多項式集合或其它較簡單的函數(shù)類.實用中,為了使問題提法更具有一般性,常對最小二乘法中加權(quán)平方,即其

16、中,是上給定的權(quán)函數(shù),它表示不同的點地位的強弱,例如點處的權(quán)可以用來表示數(shù)據(jù)在實驗中重復的次數(shù),也可以用來表示數(shù)的準確度,越準確,它的地位越重要,從而權(quán)也越大.滿足關(guān)系式稱為上述最小二乘問題的最小二乘解.概括如下:Step1 將數(shù)據(jù)點描在坐標紙上尋找規(guī)律Step2 設定數(shù)學模型,給出函數(shù)空間Step3利用最小二乘法求的,其中,滿足S(x)可表達為表為是權(quán)函數(shù)具體的求出,相當于求解法方程=Step4求出誤差的大小,即Step5 分析并找模型的優(yōu)缺點,求誤差,若誤差大,則應重新設立模型,曲線擬合最小二乘法流程圖見附錄B.1.4曲線擬合的模型分類實際應用中,由于觀測數(shù)據(jù)較多,最常用的方法就是曲線擬合

17、.曲線擬合即只要找到一條曲線,即能反映給定數(shù)據(jù)的一般趨勢,又不出現(xiàn)局部較大的波動即可,只要擬合函數(shù)與原函數(shù)的偏差滿足某種要求就行了.對于誤差,很大程度依賴于模型的選取,本節(jié)重點介紹了選取不同模型的方法.1.4.1線性模型已知觀測點如圖,需要擬合線性函數(shù),如圖1.3所示.圖1.3線性擬合圖設直線方程的表達式為要根據(jù)所測量的已知數(shù)據(jù)求出最佳的和.對滿足線性關(guān)系的一組測量數(shù)據(jù),假定自變量的誤差可以忽略,則在同一下,點和直線上的點的偏差如下所示顯然大多時候測量點不可能都在直線上,一般令為最小值 ,即D對和分別求一階偏導數(shù)為再求二階偏導數(shù)為顯然滿足最小值條件,令一階偏導數(shù)為零:引入平均值則有解得 (1-

18、3)將,值帶入線性方程,即得到線性方程.為了加深對最小二乘擬合原理的理解,現(xiàn)舉出如下例子,通過舉例使大家對最小二乘擬合有所掌握.例1.1已知一組實驗數(shù)據(jù)如表1-1所示,求它的擬合曲線.表1-1數(shù)據(jù)表12345245892.012.983.505.025.47首先把這些數(shù)據(jù)畫出來如下圖1.4所示.圖1.4散點圖發(fā)現(xiàn)這些點在一條直線附近,故可選則線性函數(shù)作擬合曲線.即令作數(shù)學模型.其次,由已知有,求得,于是法方程為由公式(1-3)得,并解此方程組得故所得的擬合函數(shù)為非線性模型在許多實際問題中,變量之間的關(guān)系并不都是線性的,也就是說變量之間存在非線性關(guān)系,此時就需要建立非線性模型才能對實際問題給出合

19、理的解釋.對于非線性模型一般有兩種處理方法:一種是進行一些變換,將非線性問題化成線性問題來求解;另一種是不能化成線性問題,而是直接使用非線性模型.比如模型這是一個非線性模型,但令即可化為對的線性模型同樣,對于多項式模型只要令就可以得到線性模型在比如,非線性模型 (1-4)兩邊取自然對數(shù),得 (1-5)令就可以得到線性模型有些非線性模型是不能化成線性模型的,比如模型當未知時,我們就不能通過對兩邊取對數(shù)化成線性模型,只能采取非線性最小二乘法求解.非線性模型一般可記為式中,是因變量;是自變量;為未知參數(shù)向量;, , 且互相獨立.仍采用最小二乘法估計參數(shù),即求使達到最小的,稱為的非線性最小二乘估計.若

20、函數(shù)對參數(shù)連續(xù)可微時,可以利用微分法,建立正規(guī)方程組,求解使達到最小的.將函數(shù)分別對參數(shù)求偏導,并令其為0,得p+1個方程, 非線性最小二乘估計就是上時的解. 例1.2 設一發(fā)射源的發(fā)射強度公式為與的數(shù)據(jù)如表1-2.表1-2發(fā)射源數(shù)據(jù)表81.751.341.000.740.56試用最小二乘法確定.由公式(1-4)和(1-5),先求數(shù)據(jù)表如表1-3所示.表1-3與的數(shù)據(jù)表0.81.15060.86710.55960.29270.0000-0.301-0.5798由最小二乘擬合原理,得則其解為所以即發(fā)射強度

21、公式近似為指數(shù)擬合圖為1.5所示.圖1.5 發(fā)射源指數(shù)擬合圖1.5總結(jié)綜上所述,最小二乘法就是以最小二乘原理為依據(jù),同時解出一組未知參量的最佳值,最后確定函數(shù)解析式的方法.同時,它所做出的曲線擬合能夠清晰地表現(xiàn)出變量間的函數(shù)關(guān)系,還能通過數(shù)據(jù)點與曲線的偏離程度大致估計觀測誤差.特別適用于通過實驗求解未知形式的函數(shù)關(guān)系式或者用簡單的解析式近似復雜的表達式,是科學實驗中對數(shù)據(jù)處理的一種重要方法.其中最小二乘法最重要的一步就是由所給出的數(shù)據(jù),建立模型函數(shù),根據(jù)經(jīng)驗,有以下圖作參考,如圖1.6到圖1.13所示.圖1.6 函數(shù)圖形圖1.7函數(shù)圖形圖1.8 函數(shù)圖形圖1.9 函數(shù)圖形圖1.10 函數(shù)圖形圖

22、1.11 函數(shù)圖形圖1.12函數(shù)圖形圖1.13 函數(shù)圖形由實際數(shù)據(jù),建立出比較合適的模型,在求解模型的系數(shù)中可以借助計算機軟件,如matlab,最終得到比較理想的擬合函數(shù).當然,有些時候也可以先把擬合的模型化為比較好處理的函數(shù),例如,對函數(shù),可以令,只要擬合和的函數(shù),再把x和y回代即可,以下給出常用函數(shù)與之間的變換,如表1-4所示.表1-4 線性化變化函數(shù)線性化形式變量與常數(shù)變換在實際中,由于數(shù)據(jù)的不確定性與不穩(wěn)定性,因為給出的函數(shù)過于簡單往往并不能真實反映實際問題,而過于復雜,又很難處理.總之,對不同的實際問題,應靈活建立數(shù)學模型,結(jié)合計算機軟件,準確的擬合出模型函數(shù).第二章最小二乘法在建模

23、中的應用隨著科學技術(shù)的發(fā)展,實驗數(shù)據(jù)處理越來越方便.但也提出了新的課題,就是在選擇數(shù)據(jù)處理方法時應該比以往更為慎重.因為稍有不慎,就會根據(jù)正確的實驗數(shù)據(jù)得出不確切的乃至錯誤的結(jié)論.因此本章將結(jié)合實例讓大家更深一步體會最小二乘法在建模中的應用.2.1 應用舉例例2.1已知一組離散數(shù)據(jù)如表2-1,試用二次多項式進行曲線擬合,并求出誤差.表2-1數(shù)據(jù)表0123400.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.7183首先將數(shù)據(jù)點描于坐標紙上,如圖2.1所示.圖2.1散點圖然后利用公式計算內(nèi)積,寫出法方程,其法方程為解得故擬合所得的曲線為經(jīng)計算所得的誤差為對于給定

24、的離散數(shù)據(jù)也可以用二次多項式擬合,故當其是二次多項式時,經(jīng)計算得法方程為解得故擬合曲線為.經(jīng)計算得誤差為故從誤差可以看出,比好.擬合如圖2.2所示.圖2.2 一次函數(shù)與二次函數(shù)對比圖2.2病態(tài)方程在最小二乘解法中,當取時,系數(shù)矩陣的條件數(shù)為386.79;當取時,系數(shù)矩陣的條件數(shù)為;取時,系數(shù)矩陣的條件數(shù)為.故可知法方程為病態(tài)方程組.克服病態(tài)方程組的方法為正交多項式方法,其擬合原理與用多項式作擬合的原理類同,所不同的是用首項系數(shù)為1的正交多項式系代替函數(shù)系.解決病態(tài)方程組常用方法就是施密特(Schmidt)正交化方法.其步驟如下:設線性無關(guān),若取則是兩兩正交的非零向量組,則將單位化,即令則向量組

25、是標準正交向量組.例2.2用正交多項式方法求在例2.1中的離散數(shù)據(jù)的二次多項式曲線擬合.首先利用公式依次求出0.00,0.25,0.50,0.75,1.00上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項式,.得:,然后由正交多項式求出曲線擬合的二次多項式的系數(shù),.由解得所以得出的二次擬合多項式為所得的擬合曲線如圖2.3所示.圖2.3 二次曲線擬合圖由此可以看出,采用正交多項式所得的有效數(shù)字更多,故更為精確.2.3建模分析例2.3以下表2-2顯示出我國若干年份的研究生實際招生人數(shù),請運用此表和所學的數(shù)值計算理論,嘗試選擇合適的算法來測算2011和2012年可能的招生人數(shù).表2-2 研究生招生計劃年 份199920002

26、001200220032004200520062007200820092010人數(shù)(萬)8.712.815.620.2626.732.637.039.842.044.847.553.4為了計算的簡便,將年份由1999-2010變?yōu)榈?-12年,即預測第十三年和第十四年的招生人數(shù).分析此題,是根據(jù)以往經(jīng)驗,預測出第十三年和第十四年的招生人數(shù),所以此題可用最小二乘法進行擬合,并進行預測.由Matlab做出實際人數(shù)如圖2.4所示.圖2.4 研究生散點圖由圖形看不出有明顯規(guī)律,所以對此題做以下幾種擬合,找到最優(yōu)值.由于多項式的高次不穩(wěn)定性,所以只做一次、二次、三次以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的擬合.

27、模型一:一次函數(shù)擬合由Matlab擬合程序如下%求一次函數(shù)擬合系數(shù)x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4polyfit(x,y,1)%運行結(jié)果ans =4.0587 5.3815%擬合后兩圖的對比x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4y0=4.0587*x+5.3815plot(x,y,b,x,y0,-r)%求誤差r0波動圖及誤差平方d0x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,3

28、2.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4y0=4.0587*x+5.3815r0=y-y0 d0=r0*r0plot(x,r0)%運行結(jié)果r0 = -0.7402 -0.6989 -1.9576 -1.3563 1.0250 2.8663 3.2076 1.9489 0.0902 -1.1685d0 =38.2920由以上得一次擬合多項式為做出一次擬合圖形與實際圖形的比較圖2.5,以及誤差圖2.6.圖2.5 一次函數(shù)比較圖圖2.6 一次函數(shù)誤差圖計算得一次擬合函數(shù)誤差平方和為 模型二:二次函數(shù)擬合由Matlab擬合如下(程序見附錄C,下同)做出二次擬合圖形與實際圖形的

29、比較圖2.7,以及誤差圖2.8.圖2.7 二次函數(shù)比較圖圖2.8 二次函數(shù)誤差圖計算得二次擬合函數(shù)誤差平方和為 模型三:三次函數(shù)擬合由Matlab擬合如下做出三次擬合圖形與實際圖形的比較圖2.9,以及誤差圖2.10.圖2.9 三次函數(shù)比較圖圖2.10 三次函數(shù)誤差圖計算得三次擬合函數(shù)誤差平方和為 模型四:冪函數(shù)擬合由Matlab擬合如下做出冪函數(shù)擬合圖形與實際圖形的比較圖2.11,以及誤差圖2.12.圖2.11 冪函數(shù)比較圖圖2.12 冪函數(shù)誤差圖計算得冪函數(shù)擬合函數(shù)誤差平方和為 模型五:對數(shù)函數(shù)擬合由Matlab擬合如下做出對數(shù)函數(shù)擬合圖形與實際圖形的比較圖2.13,以及誤差圖2.14.圖2

30、-13 對數(shù)函數(shù)比較圖圖2-14 對數(shù)函數(shù)誤差圖計算得對數(shù)擬合函數(shù)誤差平方和為 模型六:指數(shù)函數(shù)擬合由Matlab擬合如下做出指數(shù)函數(shù)擬合圖形與實際圖形的比較圖2.15,以及誤差圖2.16.圖2-15 指數(shù)函數(shù)比較圖圖2-16 指數(shù)函數(shù)誤差圖計算得指數(shù)擬合函數(shù)誤差平方和為 綜合上述六種模型,得到如表2-3表2-3 研究生擬合各方案比較擬合的模型函數(shù)表達式誤差平方和擬合2011擬合2012一次函數(shù)擬合38.292058.144662.2033二次函數(shù)擬合22.210054.811057.3322三次函數(shù)擬合21.384953.594655.0331冪函數(shù)擬合26.515556.250059.61

31、15對數(shù)函數(shù)擬合200.23348.566849.9514指數(shù)函數(shù)擬合186.49763.860171.9301經(jīng)過比較,當擬合函數(shù)為三次時,誤差的平方和最小,觀察此函數(shù),可得出2011年招生人數(shù)為53.5946,2012年招生人數(shù)55.0331.由于本題所給出的實際數(shù)據(jù)為間斷式的離散型,并且所給數(shù)據(jù)極少,這樣,用最小二乘法就存在不穩(wěn)定性,建議只用擬合函數(shù)預測2011和2012年.當然,最后招生的人數(shù)也需要根據(jù)國家的政策而定.2.4總結(jié)最小二乘法是一個重要的方法,在工程技術(shù)中被廣泛應用,用其解決實際問題除了先要建立正確的模型外,擬合出模型中的參數(shù)也是一個十分重要的環(huán)節(jié),如果能較好地擬合出模型中

32、的參數(shù),則有利于實際問題的解決.擬合模型中的參數(shù),常用的有兩種方法:一是作線性擬合,二是作非線性擬合,作線性擬合相對說來要容易些,而作非線性擬合要困難一些,一般根據(jù)實驗數(shù)據(jù)直接作圖后,觀察圖形,應用以往經(jīng)驗,可直接選取合適的函數(shù)空間即可.本論文對非線性擬合做了較為詳細的總結(jié),但由于本文作者水平有限,還希望大家給予意見.參考文獻1王青建.數(shù)學史簡編M.北京.科學出版社.1998.2丁天彪.數(shù)值計算方法M.河南.黃河水利出版社,2003. 3張池平.計算方法M.北京.科學出版社,2006. 4張韻華.數(shù)值計算方法與算法M.北京.科學出版社,2006.5徐躍良.數(shù)值分析M.四川.西南交通大學出版社,

33、2005.6杜廷松,沈艷軍,覃太貴.數(shù)值分析及實驗M.北京.科學出版社.2006年2月.7關(guān)治,陸金甫.數(shù)值方法M.北京.清華大學出版社.2006年2月.8同濟大學計算數(shù)學教研室.數(shù)值分析基礎M.上海.同濟大學出版.2005年3月.9周品,何正風.MATLAB數(shù)值分析M.北京.機械工業(yè)出版社.2009年1月10林成森.數(shù)值計算方法M.北京.科學出版社.1998. 11李慶揚,王能超.數(shù)值分析M.北京.清華大學出版社.2008年.12李炳釗.數(shù)值分析基礎M.上海.同濟大學出版.1998年.14王沫然.MATLAB與科學計算M.北京.電子工業(yè)出版社.2003.15TheMethod of Leas

34、t SquaresJ.HervAbdi.TheUniversityof Texas at Dallas.16Least-SquaresFitting of Circles and EllipsesJ.WalterGander,Gene H.Golub,Rolf Strebel.Dedicated to Ake Bjorck on the occasion of his 60th birthday.17The MethodofLeast SquaresJ.StevenJ.Miller.Mathematics DepartmentBrownUniversityProvidence,RI02912.

35、由最佳平方逼近原理求出逼近函數(shù)設立函數(shù)空間結(jié)束開始輸入初值函數(shù)判斷誤差大，重新設立函數(shù)空間否輸出是附錄A 最佳平方逼近流程圖由曲線擬合基本原理求出逼近函數(shù)設立函數(shù)空間結(jié)束開始輸入初值已知數(shù)據(jù)判斷誤差大，重新設立函數(shù)空間否輸出是附錄B 曲線擬合流程圖附錄C 部分Matlab程序研究生招生人數(shù)%畫原圖x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4scatter(x,y)%二次擬合x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4

36、polyfit(x,y,2)%運行結(jié)果ans =-0.1098 5.4858 2.0518%擬合后兩圖的對比x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4y1=-0.1098*x.2+5.4858*x+2.0518plot(x,y,b,x,y1,-r)%誤差r1波動圖及誤差平方d1x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4y1=-0.1098*x.2+5.4858*x+2.0518r1=y-y1d1=r1*r1plo

37、t(x,r1)%運行結(jié)果r1 =d1d1 =22.2100%三次擬合x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4polyfit(x,y,3)%運行結(jié)果ans = -0.0085 0.0554 4.5922 3.2079%擬合后兩圖的對比x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4y2=-0.0085*x.3+0.0554*x.2+4.5922*x+ 3.2079plot(x,y,b,x,y2,-r)%誤差r2波動圖及

38、誤差平方d2x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4y2=-0.0085*x.3+0.0554*x.2+4.5922*x+ 3.2079r2=y-y2d2=r2*r2plot(x,r2)%運行結(jié)果r2 = 0.8530 0.2541 -1.6536 -1.6591 0.2086 1.6805 1.8476 0.6609 -0.8286 -1.3699 -1.6120 1.7961d2 =21.3849%冪函數(shù)擬合 function z=mihanshu(x)x=1:9y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0fun0=inline(b(1)*exp(b(2)*log(x),b,x)b0=0,0b=nlinfit(x,y,fun0,b0) end%運行結(jié)果b =7.5454 0.7832%擬合后兩圖的對比x=1:12y=8.7,12.8,15.6,20.26,26.7,32.6,37.0,39.8,42.0,44.8,47.5,53.4y3=7.5454*x. 0.7832plot(x,y,b,x,y3,-r)%誤差r3波動圖