數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力

1、數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈?？v觀近幾年各地的中考題，以動(dòng)態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。 以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究，在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運(yùn)動(dòng)對象而言，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)等。動(dòng)態(tài)幾何型試題題目靈活多變，動(dòng)中有靜、動(dòng)靜結(jié)合，能夠在運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)展學(xué)生空間想象能力，綜合分析能力，是近幾年中考命題的熱點(diǎn)。下面以06、07年各地中考題為例，將動(dòng)態(tài)幾何問題進(jìn)行分類分析。題型一：點(diǎn)動(dòng)型點(diǎn)動(dòng)型就是

2、在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上，設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并對這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。1.單動(dòng)點(diǎn)型例1（2007年遼寧十二市）如圖， 已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)， DMN也隨之整體移動(dòng)） 。（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？都請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請利用圖證明

3、；若不成立，請說明理由；（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請你在圖中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立?請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由練習(xí)1（2007年福州市）如圖，直線ACBD，連結(jié)AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成、四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連結(jié)PA，PB，構(gòu)成PAC，APB，PBD三個(gè)角（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°角）（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第部分時(shí)，求證：APB =PAC +PBD；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第部分時(shí)，APB =PAC +PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)

4、P落在第部分時(shí)，全面探究PAC，APB，PBD之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)點(diǎn)的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論選擇其中一種結(jié)論加以證明練習(xí)2（2006年綿陽市）在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，分別過點(diǎn)B、D作BEPA、DFPA，垂足分別為E、F，如圖（1）請?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系若點(diǎn)P在DC 的延長線上（如圖），那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點(diǎn)P在CD 的延長線上呢（如圖）？請分別直接寫出結(jié)論；（2）請?jiān)冢?）中的三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)加以證明解決此類動(dòng)點(diǎn)幾何問題常常用的是“類比發(fā)現(xiàn)法”，也就是通過對兩個(gè)或幾個(gè)相類似的數(shù)學(xué)研究對象的異同進(jìn)行觀察和比較，

5、從一個(gè)容易探索的研究對象所具有的性質(zhì)入手，去猜想另一個(gè)或幾個(gè)類似圖形所具有的類似性質(zhì)，從而獲得相關(guān)結(jié)論。類比發(fā)現(xiàn)法大致可遵循如下步驟：（1）根據(jù)已知條件，先從動(dòng)態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況。（2）結(jié)合某一相應(yīng)圖形，以靜制動(dòng)，運(yùn)用所學(xué)知識（常見的有三角形全等、三角形相似等）得出相關(guān)結(jié)論。（3）類比猜想出其他情況中的圖形所具有的性質(zhì)。2.雙動(dòng)點(diǎn)型例2（2007聽哈爾濱市）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，AF平分BAC，交BD于點(diǎn)F（1）求證：；（2）點(diǎn)C1從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），同時(shí)點(diǎn)A1從點(diǎn)A出發(fā)，沿著BA的延長線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)與的運(yùn)動(dòng)速度相同，

6、當(dāng)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)A1也隨之停止運(yùn)動(dòng)如圖2，A1F1平分BA1C1，交BD于點(diǎn)F1，過點(diǎn)F1作F1E1A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1，與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A1E1=3，C1E1=2時(shí)，求BD的長3.多動(dòng)點(diǎn)型例3（2006年眉山市）如圖，MON = 90°，在MON的內(nèi)部有一個(gè)正方形AOCD，點(diǎn)A、C分別在射線OM、ON上，點(diǎn)B1是ON上的任意一點(diǎn)，在MON的內(nèi)部作正方形AB1C1D1.（1）連結(jié)D1D，求證：ADD1 = 90°；（2）連結(jié)CC1，猜一猜，C1CN的度數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論；（3）在ON上再任取

7、一點(diǎn)B2，以AB2為邊，在MON的內(nèi)部作正方形AB2C2D2，觀察圖形，并結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，請你再做出一個(gè)合理的判斷.練習(xí)（2007年宜昌市）如圖1，在ABC中，ABBC5，AC=6. ECD是ABC沿BC方向平移得到的，連接AE，AC和BE相交于點(diǎn)O.（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；（2）如圖2，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（圖2），（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點(diǎn)Q，QRBD，垂足為點(diǎn)R.四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；當(dāng)線段BP的長為何值時(shí)，PQR與BOC相似？通過上述例題可以發(fā)現(xiàn)，

8、雙動(dòng)點(diǎn)的題型可以轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)題型求解，關(guān)鍵是抓準(zhǔn)決定整道題的那個(gè)關(guān)鍵的動(dòng)點(diǎn)，從而將問題轉(zhuǎn)化.題型二：線動(dòng)型1.線平移型例4（2007年樂山市）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A，D不重合），一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊AB交于點(diǎn)E我們知道，結(jié)論“RtAEPRtDPC”成立（1）當(dāng)CPD=30°時(shí)，求AE的長；（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使DPC的周長等于AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由2.線旋轉(zhuǎn)型例5（2006年衡陽市） 已知：如圖，平行四邊形ABCD中，ABAC，AB=1， ，對角線AC、BD交于O點(diǎn)，將

9、直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC、AD于點(diǎn)E、F.(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).線動(dòng)實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)動(dòng)，即點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng)，進(jìn)而還會產(chǎn)生面動(dòng)，因而線動(dòng)型幾何問題可以通過轉(zhuǎn)化成點(diǎn)動(dòng)型問題來求解.解決此類題的關(guān)鍵是要把握圖形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系.從運(yùn)動(dòng)變化得圖形的特殊位置，進(jìn)而探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對我們解決運(yùn)動(dòng)變化問題是極為

10、重要的.題型三：圖動(dòng)型圖形的運(yùn)動(dòng)變換主要有平移、旋轉(zhuǎn)和翻折這三種基本變換。主要是對給定的圖形（或其一部分）實(shí)行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系，這類問題常與探究性、存在性等結(jié)合在一起，考察學(xué)生動(dòng)手能力、觀察能力、探索與實(shí)踐能力.1.圖形平移型例6（2007年河北?。〢BC中，AB=AC，CGBA交BA的延長線于點(diǎn)G一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B（1）在圖1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的

11、位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEBA于點(diǎn)E此時(shí)請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DEDF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）圖形平移實(shí)質(zhì)上就是線的平移，線的平移會產(chǎn)生相似圖形，所以這類問題解題的關(guān)鍵思路是利用相似得到待求量之間的關(guān)系。本題是一道利用三角板為背景設(shè)計(jì)的題目，求解時(shí)一定要了解三角板的特性，使求解難度降低，通過求解我們還可以看出，三角板通過適當(dāng)?shù)牟僮髂茏兓贸鲈S

12、多精彩的中考數(shù)學(xué)試題，近兩年的中考中就頻頻出現(xiàn)此類問題。2.圖形旋轉(zhuǎn)型例7（2007年臨沂市）如圖1，已知ABC中，ABBC1，ABC90°，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N.證明DMDN；在這一過程中，直角三角板DEF與ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DMD

13、N是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DMDN是否仍然成立？若成立，請寫出結(jié)論，不用證明.練習(xí)1（2006年常德市）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中ABC=DEF=90°，C=F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證APDCDQ此時(shí)，AP·CQ；（2）

14、將三角板DEF由圖9所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，其中0°90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由；（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（圖2，圖3供解題用）練習(xí)2（2007年資陽市）如圖1，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PEBC于點(diǎn)E，PFCD于點(diǎn)F.(1) 求證：BP=DP；(2) 如圖2，若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；(3) 試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的

15、兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論 .練習(xí)3（2007年揚(yáng)州市）如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點(diǎn)O（1）以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連結(jié)的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；（2）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為，求旋轉(zhuǎn)的角度n解：（1）我連結(jié)的兩條相交且互相垂直的線段是_和_理由如下：圖形的旋轉(zhuǎn)實(shí)質(zhì)就是線的旋轉(zhuǎn)，也可抓住旋轉(zhuǎn)圖形和不變圖形的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成動(dòng)點(diǎn)問題先動(dòng)后靜來求解.3.圖

16、形翻折型例8（2007年濟(jì)寧市）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到ABE.過B點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線AD上，得折痕PQ.(1)求證：PBEQAB；(2)你認(rèn)為PBE和BAE相似嗎？如果相似給出證明，如不相似請說明理由；(3)如果沿直線EB折疊紙片，點(diǎn)A是否能疊在直線EC上？為什么？練習(xí)1（2007年孝感市）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）.圖1

17、 圖2請解答以下問題：（1）如圖1，若延長MN交BC于P，BMP是什么三角形？請證明你的結(jié)論；（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP ？（3）設(shè)矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系. 設(shè)直線BM為y=kx，當(dāng)MBC=60°時(shí)，求k的值.此時(shí)，將ABM沿BM折疊，點(diǎn)A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點(diǎn)）？為什么？圖3練習(xí)2（2007年臺州市）如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處已知折

18、痕，且（1）判斷OCD與ADE是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由圖形翻折實(shí)際上是軸對稱變換，變換前后的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。常常與角平分線、線段垂直平分線、等腰三角形的高相聯(lián)系。解決旋轉(zhuǎn)、平移、翻折的動(dòng)態(tài)幾何問題關(guān)鍵是結(jié)合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有關(guān)知識，全面尋找圖形運(yùn)動(dòng)過程中的不變量。例9（2007義烏）如圖1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）圖1 圖2 圖3小明在對這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問題，請你幫助解決.（1）將圖3中的ABF沿BD向右平移到圖4的位