廣東省深圳市高中數(shù)學(xué)說課比賽課件 微積分基本定理

1、一、教材分析一、教材分析 地位、作用：地位、作用：歐洲數(shù)學(xué)家們沖出了古希臘人歐洲數(shù)學(xué)家們沖出了古希臘人“嚴(yán)格證明嚴(yán)格證明”的圣殿，以直觀推斷的思維方式，創(chuàng)立了被恩的圣殿，以直觀推斷的思維方式，創(chuàng)立了被恩格斯譽(yù)為格斯譽(yù)為“人類精神的最高勝利人類精神的最高勝利”的微積分學(xué)，的微積分學(xué)，微積分基本定理正是它的核心！微積分基本定理正是它的核心！2 2教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析： 重點(diǎn)：重點(diǎn)： 通過探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速通過探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)微積分基本定理的雛度與位移的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)微積分基本定理的雛形，進(jìn)而把結(jié)論一般化形，進(jìn)而把結(jié)論一般化, ,是這節(jié)課的重點(diǎn)是這節(jié)課

2、的重點(diǎn). . 難點(diǎn)：進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定積分的基難點(diǎn)：進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定積分的基本思想來探究問題，同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的意義作本思想來探究問題，同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的意義作為橋梁來轉(zhuǎn)化被積函數(shù)是這節(jié)課的難點(diǎn)。為橋梁來轉(zhuǎn)化被積函數(shù)是這節(jié)課的難點(diǎn)。教學(xué)目標(biāo)分析：教學(xué)目標(biāo)分析： 知識(shí)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程，直使學(xué)生經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程，直觀了解微積分基本定理的含義和幾何意義，并理觀了解微積分基本定理的含義和幾何意義，并理解導(dǎo)數(shù)與定積分的互逆關(guān)系；通過計(jì)算兩個(gè)簡單解導(dǎo)數(shù)與定積分的互逆關(guān)系；通過計(jì)算兩個(gè)簡單的定積分，使學(xué)生體會(huì)微積分基本定理的優(yōu)越性，的定積分，使學(xué)生體會(huì)微積分基本定理的優(yōu)越性，理解微積

3、分在數(shù)學(xué)史上舉足輕重的地位。理解微積分在數(shù)學(xué)史上舉足輕重的地位。 能力目標(biāo)：能力目標(biāo)：讓學(xué)生能夠體會(huì)微積分運(yùn)動(dòng)變化地思維讓學(xué)生能夠體會(huì)微積分運(yùn)動(dòng)變化地思維方式和初等數(shù)學(xué)中靜態(tài)的思維方式的區(qū)別，方式和初等數(shù)學(xué)中靜態(tài)的思維方式的區(qū)別，并且培養(yǎng)學(xué)生在探索過程中善于變通的思想，并且培養(yǎng)學(xué)生在探索過程中善于變通的思想，敢于挑戰(zhàn)陳規(guī)的精神敢于挑戰(zhàn)陳規(guī)的精神! ! 情感目標(biāo)：情感目標(biāo)：A 揭示尋求計(jì)算定積分新方法的必要性揭示尋求計(jì)算定積分新方法的必要性, 激發(fā)學(xué)生的求知欲。激發(fā)學(xué)生的求知欲。B 體會(huì)體會(huì)“以直代曲以直代曲”臨淵羨魚，不如退臨淵羨魚，不如退而結(jié)網(wǎng)的思想。而結(jié)網(wǎng)的思想。C 感受用近似無限接近精確

4、的方法。感受用近似無限接近精確的方法。教學(xué)方法和手段：教學(xué)方法和手段： 盡管已是高中學(xué)生，但抽象的概念依然盡管已是高中學(xué)生，但抽象的概念依然令學(xué)生望而生畏，因此著眼于個(gè)別實(shí)例的研令學(xué)生望而生畏，因此著眼于個(gè)別實(shí)例的研究，強(qiáng)調(diào)來龍去脈，淡化證明過程。學(xué)生既究，強(qiáng)調(diào)來龍去脈，淡化證明過程。學(xué)生既不用面對(duì)極限、無窮項(xiàng)求和、導(dǎo)數(shù)、積分綜不用面對(duì)極限、無窮項(xiàng)求和、導(dǎo)數(shù)、積分綜合難題的證明，又不失為良好的推導(dǎo)微積分合難題的證明，又不失為良好的推導(dǎo)微積分基本定理的過程?；径ɡ淼倪^程。由于學(xué)生剛學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，知道導(dǎo)數(shù)的幾何由于學(xué)生剛學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為切線的斜率意義即為切線的斜率,路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)

5、數(shù)即為路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為速度速度) t (v) t (s二、學(xué)情分析：二、學(xué)情分析： 根據(jù)函數(shù)曲線圖學(xué)生不難看出位移差根據(jù)函數(shù)曲線圖學(xué)生不難看出位移差)a ( s)b( ss二、學(xué)情分析：二、學(xué)情分析： 上一節(jié)中剛學(xué)習(xí)了上一節(jié)中剛學(xué)習(xí)了“汽車行駛的路程汽車行駛的路程”，學(xué)，學(xué)生明白路程的計(jì)算實(shí)際上是一個(gè)求定積分的過程，生明白路程的計(jì)算實(shí)際上是一個(gè)求定積分的過程，即對(duì)即對(duì) 的定積分。的定積分。) t (v 讓學(xué)生再一次感受小區(qū)間不斷細(xì)分對(duì)近似程度讓學(xué)生再一次感受小區(qū)間不斷細(xì)分對(duì)近似程度的影響，如何通過逐步逼近而求出定積分。的影響，如何通過逐步逼近而求出定積分。教學(xué)過程：教學(xué)過程：公元公元3 3

6、世紀(jì)誕生的劉徽著名的世紀(jì)誕生的劉徽著名的“割圓術(shù)割圓術(shù)”： 教學(xué)過程：教學(xué)過程：情景設(shè)置：情景設(shè)置：首先讓學(xué)生回顧計(jì)算首先讓學(xué)生回顧計(jì)算的過程的過程：dxx103dxx103xnifnin1)(lim311lim( )nniinn211lim(1)4nn41=教學(xué)過程：教學(xué)過程：接著動(dòng)手利用定義計(jì)算接著動(dòng)手利用定義計(jì)算dxx211 dxx2111( )limnniifxn111limnniinn11limnnii111lim(1)23nn=重復(fù)以上步驟學(xué)生遇到重復(fù)以上步驟學(xué)生遇到了麻煩；引導(dǎo)學(xué)生分析原因：了麻煩；引導(dǎo)學(xué)生分析原因：和式難求和式難求 當(dāng)被積函數(shù)是當(dāng)被積函數(shù)是 如何求呢？如何求呢？

7、3541,xxx=探究探究問題模型：問題模型：如圖，一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖，一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時(shí)刻是由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時(shí)刻t t的速的速度是。設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段內(nèi)的位度是。設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段內(nèi)的位移為移為S S，你能分別用，表示嗎？，你能分別用，表示嗎？)(tss )()(tstvba,)(ts)(tv觀察圖象得到物體的位移觀察圖象得到物體的位移s s，即，即 )()(asbss分析分析: 下面我們討論如何用速度函數(shù)下面我們討論如何用速度函數(shù)v(t)來表示位來表示位移移s，因?yàn)樵谏弦还?jié)，因?yàn)樵谏弦还?jié)“汽車行駛的路程汽車行駛的路

8、程”中，學(xué)中，學(xué)生知道了位移就是對(duì)速度函數(shù)生知道了位移就是對(duì)速度函數(shù)v(t)的定積分，在的定積分，在此學(xué)生肯定會(huì)聯(lián)想到只要知道了此學(xué)生肯定會(huì)聯(lián)想到只要知道了v(t), 不就解決了不就解決了嗎？但是題目已知的只是路程函數(shù)嗎？但是題目已知的只是路程函數(shù)s(t), 因此接因此接下來的關(guān)鍵在于建立下來的關(guān)鍵在于建立v(t)與與s(t)的關(guān)系。下面分的關(guān)系。下面分8個(gè)步驟來討論：個(gè)步驟來討論： ）以研究這小段山高為例：以研究這小段山高為例：問題問題1 1能否把一小段的山高近似地看作一個(gè)直角三角形呢？能否把一小段的山高近似地看作一個(gè)直角三角形呢？ 問題問題2 2假設(shè)是直角三角形，那么斜邊如何構(gòu)造呢？假設(shè)是

9、直角三角形，那么斜邊如何構(gòu)造呢？問題問題3 3在這個(gè)直角三角形種哪些量是已知或可求的？在這個(gè)直角三角形種哪些量是已知或可求的？ ili通過討論發(fā)現(xiàn)山高通過討論發(fā)現(xiàn)山高那么把所有累加起來那么把所有累加起來不正好就是山的高度嗎？不正好就是山的高度嗎？ siniiihlih1niih分割：分割：等分成等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 011iinatttttb01 , ,t t12 , ,t t1, ,iitt,1nntt=可用線段可用線段來近似代替來近似代替曲邊曲邊 ABAB，得到直角三角形，得到直角三角形ACDACD，ADAD正正是曲線是曲線在左端點(diǎn)在左端點(diǎn)A A處的處的切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：切線

10、，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：ADAD的斜率就是的斜率就是tanDACtanDAC，所以所以 )(tss tanihDACt另一方面曲線另一方面曲線S S在左端點(diǎn)在左端點(diǎn)A A處的切線就是處的切線就是 ，引進(jìn)導(dǎo)數(shù)引進(jìn)導(dǎo)數(shù)1()is t1tan()iihDACts tt 近似代替近似代替：當(dāng)很小時(shí)，我們可以認(rèn)為當(dāng)很小時(shí)，我們可以認(rèn)為 tiiSh求和：求和：1111().nnniiiiiiSShs tt取極限：取極限：物體的總位移的近似值物體的總位移的近似值 就越接近精確值就越接近精確值S S 即即 11()niistt=11011lim()lim(),nniitniibaSs tts tn ( )(

11、)s tv t11lim()ninibasv tn 讓學(xué)生觀察，這不正是速度函數(shù)讓學(xué)生觀察，這不正是速度函數(shù)的定積分嗎？的定積分嗎？ ( )v t（引入定積分得到左邊雛形引入定積分得到左邊雛形） ( ).basv t dt（建立導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系建立導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系） ( )( )( )( )bbaasv t dts t dts bs a歸納小結(jié)：歸納小結(jié)：式表明，速度函數(shù)在區(qū)間式表明，速度函數(shù)在區(qū)間 a a，b b 上的定積分等于位移函數(shù)上的定積分等于位移函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 a a，b b 的右端的右端點(diǎn)處的函數(shù)值點(diǎn)處的函數(shù)值s(bs(b) )與左端點(diǎn)處的函數(shù)值與左端點(diǎn)處的函數(shù)值s (a)之差

12、之差式是否具有一般性呢？式是否具有一般性呢？( )v t( )s t 水到渠成：給出微積分基本定理的一般形式。水到渠成：給出微積分基本定理的一般形式。 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) f(x),若，則若，則( )( )f xF x( )( )( )baf x dxF bF a即牛頓即牛頓萊布尼茲公式（萊布尼茲公式（NewtonNewtonLeibniz FormulaLeibniz Formula）。）。 （16461716）（16421727）活學(xué)活用：活學(xué)活用：利用微積分基本定理解決前面的問題利用微積分基本定理解決前面的問題 以學(xué)生練習(xí)、討論為主，讓學(xué)生與上一節(jié)例題比較，以學(xué)生練習(xí)、討論為主，讓學(xué)生與上

13、一節(jié)例題比較，得出結(jié)論：結(jié)果相同，但比用定義計(jì)算定積分簡單，教得出結(jié)論：結(jié)果相同，但比用定義計(jì)算定積分簡單，教師給出規(guī)范的書寫格式。初步展示利用微積分基本定理師給出規(guī)范的書寫格式。初步展示利用微積分基本定理求定積分的優(yōu)越性。求定積分的優(yōu)越性。dxx103dxx211知識(shí)的延伸：通過計(jì)算下列定積分得到定積知識(shí)的延伸：通過計(jì)算下列定積分得到定積分的幾何意義分的幾何意義2sin xdx通過計(jì)算結(jié)果能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚耐ㄟ^計(jì)算結(jié)果能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論面積表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論20sin xdx22sin( cos )( cos2 )( cos )2xdxx 2200s

14、in( cos )( cos2 )( cos0)0 xdxx 我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：（）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是（）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是0 0；（2 2）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸上方時(shí)，定積分的值取正值；軸上方時(shí)，定積分的值取正值；（3 3）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值；軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值；（4 4）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸上方的面積等于位于軸上方的面積等于位于x x軸下方軸下方的面積時(shí)，定積分的值為的面積時(shí)，定積分的值為0 0得到定積分的幾何意義：得到定積分的幾何意義：曲邊梯形面積的代數(shù)和曲邊梯形面積的代數(shù)和。生活鏈接：生活鏈接：假設(shè)一物體從飛機(jī)上扔下，假設(shè)一物體從飛機(jī)上扔下，t秒物體的下落速度近似為：秒物體的下落速度近似為：（，）（，）)1 ()(ktekgtv2/8 . 9smg 12 . 0sk（1）寫出）寫出t秒后物體下落距離的表達(dá)式；秒后物體下落距離的表達(dá)式； （2）如果是從高出地面）如果是從高出地面5000 m的高空處扔下，那么的高空處扔下，那么大約經(jīng)過多少秒后將觸到地面？大約經(jīng)過多少秒后將觸到地面？ 四、教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)：四、教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)：整個(gè)是由特殊到一般，直觀到抽象，