平面向量基本定理及其坐標(biāo)運(yùn)算

1、 平面向量基本定理及其坐標(biāo)運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理1平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果e1和和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么該平面內(nèi)任一向不平行的向量，那么該平面內(nèi)任一向量量a，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)a1，a2使使a ，把不共線向量，把不共線向量e1，e2叫叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基基底底，記為，記為 叫做向叫做向量量a關(guān)于基底關(guān)于基底e1，e2的分解式的分解式a1e1a2e2e1，e2，a1e1a2e2 2正交分解正交分解 如果基底的兩個(gè)基向量如果基底的兩個(gè)基向量e1，e2互相垂直，則稱這個(gè)基底為互相

2、垂直，則稱這個(gè)基底為 ，在正交基底下分解向量，在正交基底下分解向量，叫做叫做 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理基底基底正交正交正交分解正交分解 3向量坐標(biāo)向量坐標(biāo) 設(shè)設(shè)e1，e2為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的正交基底，由平面向量基本定理，對(duì)于正交基底，由平面向量基本定理，對(duì)于平面上的一個(gè)向量平面上的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)數(shù)x，y，使得，使得axe1ye2，我們把有序，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量叫做向量 ，記作：，記作： ， 叫叫a在在x軸上的坐標(biāo)，軸上的坐標(biāo)， 叫叫a在在y軸上的坐軸上的坐標(biāo)把標(biāo)把a(bǔ)(x，y)叫做向量的坐標(biāo)表叫做向量的坐標(biāo)表示示基礎(chǔ)知識(shí)梳理

3、基礎(chǔ)知識(shí)梳理a在基底在基底e1，e2下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)a(x，y)xy向量與它的坐標(biāo)之間是什么關(guān)向量與它的坐標(biāo)之間是什么關(guān)系？系？【思考思考提示提示】向量與它的坐標(biāo)向量與它的坐標(biāo)之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即向量確定，之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即向量確定，則坐標(biāo)唯一；坐標(biāo)確定，則向量唯則坐標(biāo)唯一；坐標(biāo)確定，則向量唯一一基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 4向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則，則ab ，ab = ，a 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理(a1b1，a2b2)(a1b1，a2b2)(a1，a2)基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理1(2009年高考湖北卷改編年高考湖北卷改編)若向若向

4、量量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則，則b()A3acB3acCa3c Da3c答案：答案：B三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)答案：答案：B三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化答案：答案：A三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化答案：答案：8三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化5(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)已知向量已知向量a(1,2)，b(x,1)，若，若ua2b，v2ab，且，且uv，則，則x_.三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化1以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組個(gè)向量都可

5、表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同合，基底不同，表示也不同2利用已知向量表示未知向利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算乘運(yùn)算課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一考點(diǎn)一平面向量的基本定理及其應(yīng)用平面向量的基本定理及其應(yīng)用提醒提醒：由于基底向量不共線，所由于基底向量不共線，所以以0不能作為一個(gè)基底向量不能作為一個(gè)基底向量課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練M，設(shè)，設(shè)a，b，以，以a、b為基底表示為基底表示.課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)

6、講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)】(1)本題兩次利用了共本題兩次利用了共線的條件，并且注意方程思想的利線的條件，并且注意方程思想的利用；用；(2)解決類似問題應(yīng)重視平面幾何解決類似問題應(yīng)重視平面幾何知識(shí)的應(yīng)用；知識(shí)的應(yīng)用；(3)用基底表示向量是用向量解決用基底表示向量是用向量解決問題的基礎(chǔ)，應(yīng)根據(jù)條件靈活應(yīng)用，問題的基礎(chǔ)，應(yīng)根據(jù)條件靈活應(yīng)用，并熟練掌握并熟練掌握課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，就

7、可以使很多幾何問題的解合起來，就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】利用向量的坐標(biāo)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐運(yùn)算及向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系求解標(biāo)的關(guān)系求解課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】利用向量的坐標(biāo)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是根據(jù)相等的向量坐運(yùn)算解題，主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程組求標(biāo)相同這一原則，通過列方程組求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)解；在將向

8、量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向不能寫錯(cuò)意向量的方向不能寫錯(cuò)課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練兩平面向量共線的充要條件有兩兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：種形式：(1)若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab的充要條件是的充要條件是x1y2x2y10；(2)若若ab(a0)，則，則ba.課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練已知平面內(nèi)三個(gè)向量：已知平面內(nèi)三個(gè)向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿

9、足求滿足ambnc的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)m、n；(2)若若(akc)(2ba)，求，求實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)k.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練1向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示(1)對(duì)向量對(duì)向量a(x，y)的理解的理解axe1ye2(e1，e2分別是分別是x軸、軸、y軸正方向上的單位向量軸正方向上的單位向量)；若向量若向量a的起點(diǎn)是原點(diǎn)，則的起點(diǎn)是原點(diǎn)，則(x，y)就是其終點(diǎn)的坐標(biāo)就是其終點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)2平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)a