數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)三 ——用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

1、n 為了克服沖激響應(yīng)不變法產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象，這是從為了克服沖激響應(yīng)不變法產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象，這是從S平面到平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換平面的標(biāo)準(zhǔn)變換zesT的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的，為了的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的，為了克服這一缺點(diǎn)，產(chǎn)生了雙線性變換法?？朔@一缺點(diǎn)，產(chǎn)生了雙線性變換法。 雙線性變換法的映射函數(shù)：雙線性變換法的映射函數(shù)：1112 12112TszszTTzs分式展開分式展開1022TTszsz 固定其中一個(gè)變量，則另一個(gè)是線性的。或者說(shuō)，這種變固定其中一個(gè)變量，則另一個(gè)是線性的?；蛘哒f(shuō)，這種變換對(duì)于換對(duì)于s和和z是雙線性的。是雙線性的。n（1）把）把s=+j帶入上式得帶入上式得： 因此：因此：

2、 （2）整個(gè)左半平面映射成單）整個(gè)左半平面映射成單位圓的內(nèi)部，因此這是一個(gè)位圓的內(nèi)部，因此這是一個(gè)穩(wěn)定的變換。穩(wěn)定的變換。（3）虛軸以一一對(duì)應(yīng)的方式）虛軸以一一對(duì)應(yīng)的方式映射成單位圓，因此在頻域映射成單位圓，因此在頻域中不會(huì)出現(xiàn)混疊。中不會(huì)出現(xiàn)混疊。 112222TTTTzjj 1220112212011212201122TTjzTTjTjzTjTTjzTTj 12012jTjeTj z由于幅度為由于幅度為1，把，把看做看做的函數(shù)求解，得到：的函數(shù)求解，得到： 12222tantanTT 這說(shuō)明這說(shuō)明和和的關(guān)系是非線性的，但是沒出現(xiàn)混疊。在把的關(guān)系是非線性的，但是沒出現(xiàn)混疊。在把變換為變換為時(shí)

3、產(chǎn)生了非線性畸變。為了克服它帶來(lái)的問題，通常要使時(shí)產(chǎn)生了非線性畸變。為了克服它帶來(lái)的問題，通常要使按上式預(yù)按上式預(yù)修正，以抵消畸變的影響。修正，以抵消畸變的影響。（4）根據(jù)上述變換關(guān)系，可以寫出：）根據(jù)上述變換關(guān)系，可以寫出： 11211azsTzH zHs上式就是模擬濾波器和經(jīng)采樣后的數(shù)字濾波器之間的變換關(guān)系。上式就是模擬濾波器和經(jīng)采樣后的數(shù)字濾波器之間的變換關(guān)系。 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程圖數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程圖求最小階數(shù)求最小階數(shù)N，cButtord,cheblordCheb2ord,ellipord合為一步的設(shè)計(jì)函數(shù)合為一步的設(shè)計(jì)函數(shù)Butter，cheb1，cheb2，ellip，be

4、sself模擬低通濾波器原型設(shè)計(jì)buttap,cheb1ap,cheb2ap,besselap,ellipap函數(shù)頻率變換（變?yōu)楦咄?、頻率變換（變?yōu)楦咄ā?、帶阻等）帶通、帶阻等）lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs模擬數(shù)字變換模擬數(shù)字變換bilinear，impinvar濾波器濾波器系數(shù)系數(shù)B，A濾波器系數(shù)濾波器系數(shù)B，A典型設(shè)計(jì)典型設(shè)計(jì)直接設(shè)計(jì)直接設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)指標(biāo)IIRIIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程n設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的一般步驟：數(shù)字濾波器的一般步驟：把給出的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的把給出的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的性能指標(biāo)性能指

5、標(biāo)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，通過濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，通過濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，來(lái)確定濾波器的最小階數(shù)來(lái)確定濾波器的最小階數(shù)N和固有頻率和固有頻率Wn由最小階數(shù)由最小階數(shù)N得到低通濾波器原型得到低通濾波器原型由固有頻率由固有頻率Wn把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換為低通、高把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換為低通、高通、帶通、帶阻濾波器通、帶通、帶阻濾波器運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器換成數(shù)字濾波器n低通濾波器，采樣頻率為低通濾波器，采樣頻率為1000Hz，通帶臨界頻率，通帶臨界頻率fl =200Hz，通帶內(nèi)衰減小于，通帶

6、內(nèi)衰減小于1dB（p=1）；阻帶臨界頻率）；阻帶臨界頻率fh=300Hz，阻帶內(nèi)衰減大于，阻帶內(nèi)衰減大于25dB（s=25）。設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字）。設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器滿足以上參數(shù)。濾波器滿足以上參數(shù)。nFS=1000;nFl=200;Fh=300; %通帶、阻帶截止頻率通帶、阻帶截止頻率nRp=1;Rs=25;nwp=Fl*2*pi; %臨界頻率采用角頻率表示臨界頻率采用角頻率表示nws=Fh*2*pi; %臨界頻率采用角頻率表示臨界頻率采用角頻率表示nwp1=wp/FS; %求數(shù)字頻率求數(shù)字頻率nws1=ws/FS; %求數(shù)字頻率求數(shù)字頻率nOmegaP=2*FS*tan(wp1/2);%頻率預(yù)畸

7、頻率預(yù)畸nOmegaS=2*FS*tan(ws1/2);%頻率預(yù)畸頻率預(yù)畸 n%選擇濾波器的最小階數(shù)選擇濾波器的最小階數(shù)nn,Wn=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,s); %此處是代入經(jīng)預(yù)畸變后獲得的歸一化模擬此處是代入經(jīng)預(yù)畸變后獲得的歸一化模擬頻率參數(shù)頻率參數(shù)nbt,at=butter(n,Wn,s); % 設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)n階的巴特沃思模擬濾波器階的巴特沃思模擬濾波器nbz,az=bilinear(bt,at,FS); %雙線性變換為數(shù)字濾波器雙線性變換為數(shù)字濾波器nH,W = freqz(bz,az); %求解數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)求解數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)nplot

8、(W*FS/(2*pi),abs(H);grid; nxlabel(頻率頻率/Hz);ylabel(幅值幅值);z,p,k=buttap(n);b,a = zp2tf(z,p,k); % 零極點(diǎn)增益模型到傳遞零極點(diǎn)增益模型到傳遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換bt,at = lp2lp(b,a,Wn); % 低通到低通的轉(zhuǎn)變低通到低通的轉(zhuǎn)變22 tanT 示例結(jié)果示例結(jié)果010020030040050000.10.20.30.40.50.60.70.80.91頻率/Hz幅值設(shè)計(jì)示例設(shè)計(jì)示例n設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，它的采樣率為設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，它的采樣率為fs=100Hz，希望在該系統(tǒng)中

9、設(shè)計(jì)一個(gè)，希望在該系統(tǒng)中設(shè)計(jì)一個(gè)Butterworth型高通數(shù)字濾波器，使其通帶中允許的最大衰減為型高通數(shù)字濾波器，使其通帶中允許的最大衰減為0.5dB，阻帶內(nèi)的，阻帶內(nèi)的最小衰減為最小衰減為40dB，通帶上限臨界頻率為，通帶上限臨界頻率為40Hz，阻帶下限臨界頻率為，阻帶下限臨界頻率為30Hz。MATLAB源程序設(shè)計(jì)如下：源程序設(shè)計(jì)如下：fp=40;fs=30;ft=100;rp=0.5;rs=40;wp=fp/(ft/2);ws=fs/(ft/2); %利用利用Nyquist頻率進(jìn)行歸一化頻率進(jìn)行歸一化n,wc=buttord(wp,ws,rp,rs); %求數(shù)字濾波器的最小階數(shù)和截止頻率

10、求數(shù)字濾波器的最小階數(shù)和截止頻率b,a=butter(n,wc, high); %設(shè)計(jì)高通數(shù)字濾波器系數(shù)設(shè)計(jì)高通數(shù)字濾波器系數(shù)b，aH,W=freqz(b,a,256); %繪出頻率響應(yīng)曲線繪出頻率響應(yīng)曲線plot(W*ft/(2*pi),abs(H);grid; xlabel(頻率頻率/Hz);ylabel(幅值幅值);函數(shù)說(shuō)明函數(shù)說(shuō)明n n,wcn,wc=buttord(wp,ws,rp,rsbuttord(wp,ws,rp,rs););設(shè)計(jì)任意選頻的巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)任意選頻的巴特沃斯濾波器 對(duì)于低通濾波器，對(duì)于低通濾波器，wpws; 對(duì)于帶通濾波器，對(duì)于帶通濾波器，wp和和ws分別為具

11、有兩個(gè)元素的矢量分別為具有兩個(gè)元素的矢量wp=wp1, wp2和和ws=ws1, ws2，并且，并且ws1wp1 wp2ws2; 對(duì)于帶阻濾波器，對(duì)于帶阻濾波器，wp和和ws分別為具有兩個(gè)元素的矢量，分別為具有兩個(gè)元素的矢量，wp=wp1, wp2和和ws=ws1, ws2，并且，并且wp1ws1 ws2wp2;n b,ab,a=butter(n,wc, high)=butter(n,wc, high)：設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)N N階高通濾波器，階高通濾波器，wcwc為它的為它的3dB3dB邊緣頻率，以邊緣頻率，以為單位。為單位。n b,ab,a=butter(n,wcbutter(n,wc) )：當(dāng)：當(dāng)

12、wcwc為具有兩個(gè)元素的矢量為具有兩個(gè)元素的矢量wcwc=w1, w2=w1, w2時(shí)，時(shí)，它設(shè)計(jì)它設(shè)計(jì)2N2N階帶通濾波器，階帶通濾波器，3dB3dB通帶為通帶為w1 ww2 w1 ww2 ，以，以為單位。為單位。n b,ab,a=butter(n,wcbutter(n,wc, high), high)：若：若wcwc=w1, w2=w1, w2時(shí)，它設(shè)計(jì)時(shí)，它設(shè)計(jì)2N2N階帶階帶阻濾波器，阻濾波器，3dB3dB通帶為通帶為w1 ww2 w1 ww2 ，以，以為單位。為單位。示例結(jié)果示例結(jié)果設(shè)計(jì)示例設(shè)計(jì)示例n設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)CB-型帶通型帶通DF，滿足：通帶邊界頻率為，滿足：通帶邊界頻率為8

13、00Hz1800Hz，通帶衰，通帶衰耗小于耗小于3dB，過渡帶寬，過渡帶寬30Hz，阻帶衰耗大于，阻帶衰耗大于15dB，取樣頻率，取樣頻率fs=5000Hz。MATLAB源程序設(shè)計(jì)如下：源程序設(shè)計(jì)如下：fp=800,1800;fs=770,1830;ft=5000;rp=3;rs=15;wp=fp/(ft/2);ws=fs/(ft/2);n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs);b,a=cheby2(n,rs,wn);H,W = freqz(b,a);plot(W*ft/(2*pi),abs(H);grid; xlabel(頻率頻率/Hz);ylabel(幅值幅值);示例結(jié)果示例結(jié)

14、果IIRIIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)注意：在直接設(shè)計(jì)注意：在直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的函數(shù)中，采用的是雙線性變換函數(shù)數(shù)字濾波器的函數(shù)中，采用的是雙線性變換函數(shù)bilinear，如果要用沖激響應(yīng)不變法就得分步進(jìn)行，即采用典型設(shè)計(jì)法。上，如果要用沖激響應(yīng)不變法就得分步進(jìn)行，即采用典型設(shè)計(jì)法。上表中的表中的butter函數(shù)、函數(shù)、 cheby1函數(shù)、函數(shù)、 cheby2函數(shù)和函數(shù)和 ellip函數(shù)，不僅可以設(shè)函數(shù)，不僅可以設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，而且還可以設(shè)計(jì)模擬濾波器。但設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，截止頻率計(jì)數(shù)字濾波器，而且還可以設(shè)計(jì)模擬濾波器。但設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，截止頻率的單位為弧度的單位為弧度/秒

15、，它可以大于秒，它可以大于1.0。1)模擬濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)模擬濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)bessel模擬低通濾波器模擬低通濾波器z,p,k=besselap(n) %設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)bessel模擬低通濾波器模擬低通濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器z,p,k=buttap(n) %設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)chebyshevI型模擬低通濾波器型模擬低通濾波器z,p,k=cheb1ap(n,Rp) %設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)chebyshevI型模擬低通濾波器型模擬低通濾波器%Rp：通帶內(nèi)的波紋系數(shù)，單位分貝：通帶內(nèi)的波紋系數(shù)，單位分貝設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)che

16、byshevII型模擬低通濾波器型模擬低通濾波器z,p,k=cheb2ap(n,Rs) %設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)chebyshevII型模擬低通濾波器型模擬低通濾波器%Rs：阻帶內(nèi)的波紋系數(shù)低于通帶：阻帶內(nèi)的波紋系數(shù)低于通帶Rs分貝分貝設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器z,p,k=ellipap(n,Rp.Rs) %設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器2）濾波器階數(shù)的選擇）濾波器階數(shù)的選擇下列函數(shù)除了能選擇模擬濾波器的階數(shù)外，同時(shí)也能選擇數(shù)字濾波器的階數(shù)。下列函數(shù)除了能選擇模擬濾波器的階數(shù)外，同時(shí)也能選擇數(shù)字濾波器的階數(shù)。選擇選擇butterworth濾波器階數(shù)濾波器階數(shù)數(shù)字域：數(shù)字域：n,Wn=butt

17、ord(Wp,Ws,Rp,Rs)模擬域：模擬域：n,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)選擇選擇chebyshevI型濾波器階數(shù)型濾波器階數(shù)數(shù)字域：數(shù)字域：n,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)模擬域：模擬域：n,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)選擇選擇chebyshevII型濾波器階數(shù)型濾波器階數(shù)數(shù)字域：數(shù)字域：n,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)模擬域：模擬域：n,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)選擇橢圓濾波器階數(shù)選擇橢圓濾波器階數(shù)數(shù)字域：數(shù)字域：n,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs)模擬域：

18、模擬域：n,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)注意：注意：n：返回符合要求性能指標(biāo)的數(shù)字濾波器或模擬濾波器的最小階數(shù)：返回符合要求性能指標(biāo)的數(shù)字濾波器或模擬濾波器的最小階數(shù)Wn：濾波器的截至頻率（即：濾波器的截至頻率（即3db頻率）頻率）Wp：通帶的截至頻率，：通帶的截至頻率，Ws：阻帶的截至頻率，單位：阻帶的截至頻率，單位rad/s。且均為歸一化頻率，即。且均為歸一化頻率，即。1對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)弧度?；《?。 頻率歸一化：信號(hào)處理工具箱中使用的頻率為萊奎斯特頻率，根據(jù)香農(nóng)定理，它為采樣頻頻率歸一化：信號(hào)處理工具箱中使用的頻率為萊奎斯特頻率，根據(jù)香農(nóng)定理，它為采樣頻率的一半，在濾波器設(shè)

19、計(jì)中的截止頻率均使用萊奎斯特頻率進(jìn)行歸一化。歸一化頻率轉(zhuǎn)換率的一半，在濾波器設(shè)計(jì)中的截止頻率均使用萊奎斯特頻率進(jìn)行歸一化。歸一化頻率轉(zhuǎn)換為角頻率，則將歸一化頻率乘以為角頻率，則將歸一化頻率乘以。如果將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為。如果將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為Hz，則將歸一化頻率乘以，則將歸一化頻率乘以采樣頻率的一半。采樣頻率的一半。5直接設(shè)計(jì)直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器1）Butterworth模擬和數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)模擬和數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字域：數(shù)字域：b,a=butter(n,Wn)可設(shè)計(jì)出截止頻率為可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的的n階階butterworth濾波器濾波器 b,a=butter(n,Wn,ftyp

20、e)當(dāng)當(dāng)ftype=high時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的的高通濾波器；當(dāng)高通濾波器；當(dāng)ftypestop時(shí)，可設(shè)計(jì)出帶阻濾波器時(shí)，可設(shè)計(jì)出帶阻濾波器 z,p,k=butter(n,Wn) zp,k=buter(n,Wn,ftype) A,B,C,D=butter(n,Wn) A,B,C,D=butter(n,Wn,ftype)模擬域：模擬域：b,a=butter(n,Wn,s)可設(shè)計(jì)出截止頻率為可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的的n階模擬階模擬butterworth濾波器，濾波器， 其余形式類似于數(shù)字域的。其余形式類似于數(shù)字域的。2）chebyshevI型濾波器（通帶等波紋）設(shè)計(jì)型濾波器（通帶等波紋）設(shè)計(jì)數(shù)字域：數(shù)字域：b,a=cheby1(n,Rp,Wn)可設(shè)計(jì)出可設(shè)計(jì)出n階階chebyshevI濾波器濾波器,其截止頻率由其截止頻率由Wn確定，通帶內(nèi)的波紋由確定，通帶內(nèi)的波紋由Rp確定確定 b,a=cheby1(n,Rp,Wn,ftype)當(dāng)當(dāng)ftype=high時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為Wn的高通濾波器；當(dāng)?shù)母咄V波器；當(dāng)ftypestop時(shí)，可設(shè)