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1、高三數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的向量表示(理)人教版【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的向量表示、復(fù)數(shù)的加法與減法、乘法與除法二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn):1. 形如()的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位,。把復(fù)數(shù)的形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。記作()。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),為實(shí)數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),叫做虛數(shù);當(dāng),且時(shí),叫純虛數(shù);與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。2. 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。即如果,那么,3. ,則有: 4. 復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算按以下法則進(jìn)行。設(shè),()加減法:乘法:除法:5. 復(fù)數(shù)加法、乘法滿足交換律、結(jié)合律及乘法對(duì)加減法的分配律,實(shí)數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪也能推廣到復(fù)數(shù)集中

2、,即,()6.(1) 其中(2)常用的性質(zhì)解題。;,則(),()【典型例題】例1 實(shí)數(shù)分別取什么數(shù)值時(shí),復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?(4)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在軸上方?(5)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上。解:(1)由,得知或時(shí),為實(shí)數(shù)(2)由,得知且時(shí),為虛數(shù)(3)由得知時(shí),為純虛數(shù)(4)由,得知或時(shí),的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在軸上方(5)由,得知或的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上。例2 已知關(guān)于的方程組有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的值。解:由(1)得解得代入方程(2),得 解得例3 已知復(fù)數(shù)()滿足或,求的值(或范圍)。解: 或 為純虛數(shù) 由純虛數(shù)概念知 解得 滿足條件的的值為2例4 設(shè),滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?(1) (2)解:(1

3、)復(fù)數(shù)的模等于4,就是說(shuō),向量的模等于4,所以滿足條件=4的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心,以4為半徑的圓。(2)不等式,可化為不等式組不等式的集合是圓內(nèi)部的所有的點(diǎn)組成的集合,不等式的解集是圓外部所有的點(diǎn)組成的集合,這兩個(gè)集合的交集,就是上述不等式組的解集,也就是滿足條件的點(diǎn)Z的集合。點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心,以2與4為半徑的圓所夾的圓環(huán),但不包括圓環(huán)的邊界。例5 若,且,求的最小值。解法一: 即的幾何圖形是以C()為圓心,以1為半徑的圓。是圓C上的一點(diǎn)P到點(diǎn)A(2,2)的距離,如下圖所示,連接AC交圓右側(cè)于P則的距離最小 最小值是3解法二:代數(shù)法,設(shè)() 即又 而,即 在時(shí),取最小值3例6

4、已知關(guān)于的方程()有實(shí)數(shù)根(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若復(fù)數(shù)滿足,求為何值時(shí),有最小值,并寫出的值。解:(1) 是方程()的實(shí)根 故 解得(2)設(shè),由,得即 Z點(diǎn)的軌跡是以為圓心,為半徑的圓如下圖所示,當(dāng)Z點(diǎn)在的連線上時(shí),有最大值或最小值 ,半徑 當(dāng)時(shí),最小值例7 設(shè)復(fù)數(shù),若,求的值。解:設(shè)由,得 或 即 例8 復(fù)數(shù)滿足,求。解:設(shè),則整理得解 得 例9 設(shè),當(dāng)時(shí),求的取值范圍。解: 又 由二次函數(shù)的性質(zhì)知例10 設(shè)復(fù)數(shù)滿足,且,求與。解:由題意有,得又,故可得所以的實(shí)部等于的實(shí)部等于又,故的虛部為,于是所以或所以或【模擬試題】一. 選擇題1. 方程的根是( )A. B. C. 或D. 以上都不對(duì)

5、2. 的值是( )A. B. C. D. 3. 等于( )A. B. C. D. 4. 計(jì)算的結(jié)果是( )A. B. C. D. 5. 在復(fù)數(shù)集C內(nèi)分解因式等于( )A. B. C. D. 6. 的值為( )A. 0B. 1024C. D. 7. 等于( )A. B. C. D. 28. 滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是( )A. 一條直線B. 兩條直線C. 圓D. 橢圓二. 解答題1. (1)計(jì)算;(2)求的展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的和。2. 已知,且為純虛數(shù),求。3. 復(fù)數(shù)且,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,若復(fù)數(shù)0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值?!驹囶}答案】一. 選擇題1. C 解析:, 或2. A 3. B 解析:4. D 5. B6. A 解析:7. D 解析:8. C 解析:可設(shè)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)解決或直接利用復(fù)數(shù)的幾何意義。法一:設(shè),則原方程變?yōu)?,?Z點(diǎn)的軌跡是以(0,1)為圓心,以5為半徑的圓法二:原方程即為由復(fù)數(shù)幾何意義知,它表示(0,1)為圓心,5為半徑的圓,故選C。二. 解答題1. 思路點(diǎn)拔:按復(fù)數(shù)乘法與除法的法則展開運(yùn)算,這種基本運(yùn)算要熟練掌握,同時(shí)注意一些運(yùn)算技巧。解:(1)原式 (2) 的展開式中奇數(shù)項(xiàng)之和為復(fù)數(shù)的實(shí)

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