南京信息工程大學_高等數(shù)學(下冊)_試卷及答案

1、南京信息工程大學高等數(shù)學試卷參考答案及評分標準一 填空題（本題共5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分）1設 f (x, y, z)x 22y 23z2xy4x2 y 4 z 求 gradf(0,0,0)= -4i+2j-4k2向量 和構成的角，且5,8，則= 12933 lim sin( xy)ax 0xy ax4C 為依逆時針方向繞橢圓a2y21的路徑 ,則2b2(x y) dx( x y)dy =2 abC5微分方程 y2 x( y 1)的通解是 y cex21二 選擇題（本題共5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分）1直線 L ： x3y4z 與平面 4 x2 y2z 3 的關系是

2、 A A平行273B直線 L 在平面上C垂直相交D相交但不垂直2 zx2 y 在滿足 x 2y 25的條件下的極小值為 A5B-5C2 5D-2 53設為球面 x 2y2z2R2 ,則(x 2y2z2 )ds = CA2ddRr 2 sin drB.R2 dv0r 200C4 R 4D. 4R53級數(shù)2 (1)nxn 的收斂半徑是 D42 ni 1A 3B 1C3或1D226265 yyyyxex 的通解形式為 y= AA (ax b)exB x(ax b)exC x 2 (ax b) exD ex ( ax b) cos 2x (cx d ) sin 2x三 求下列各題（本題共3 小題，每小

3、題10 分，滿分 30 分）1 計算sin ydxdy D： x y2 和 y x 所圍成的區(qū)域。D y1y原式 =0dy y 2sin ydx ( cos y )01( y sin y)10 (sin y) 011 sin1y2 u f ( xyz, xyz) ,f2 u具有各二階偏導數(shù)，求x z解： uf1yzf2x2 uf11xyfyf 2yzf212zf 22xz12xy= f11( xz) yf 12yf 2xy 2 zf223求曲線x 2y 2z23x0在點（ 1， 1， 1）處切線方程及法平面2 x 3 y 5z 4 0方程解：將曲線方程對 x 求導得2x2 y dy2 y dz

4、30dxdx解出3 dy5 dz20dxdxdy1510 x4zdz4 y6 x9dx10 y6 zdx10 y6z在點（ 1，1， 1） dy9 ， dz1dx16dx16切線向量為 1, 9 ,1或 16,9, 11616得 切線： x1y1z11691法平面方程：6x 9 yz240四 （本題滿分 10 分）設 f (t ) 在 R 上連續(xù)， Vr : x2y 2z2r 2(0 r 1) ，且 F (r )f ( x 2y 2z2 ) dxdydz ，Vr試證明：證法一： F (r )lim3r 0r 3lim33 F (r )4 f (0)r0rf ( r 2 ) 4f (r 2 )V

5、rr 343rr 3 f (r 2 )4 f ( 0)3證法二：五（本題滿分10 分）求冪級數(shù)2n1 x2 n 的收斂區(qū)間及和函數(shù)。n 1n!解：記 un (x)2n 1 x 2nn!因為limun 1lim2n3n!x20nunn(n1)!2n 1所以收斂域為,設和函數(shù)為 s（ x），注意到 ex21x 2n(x) ，n0 n!對 s( x)2n1 x 2n 積分，得i 1n!x12n 1xx 2 nx(x 2 n1)x21) ，s(x) dx0 n!x1 n!n!x(e0nni 0(x)再對兩邊求導，得()ex2(2x21)1(x)s x即2n 1 x 2 nex 2 (2x 21) 1，

6、(x)n 0n!六（本題滿分10 分）計算 IxdydzydzdxzdxdyS : zR2x2y2的上側(cè)S( x 2y2z2 ) 3/ 2解：補 s0 : z 0運用代入技巧 x2y 2z2R2xdydz ydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyR3s0(x2y2232s s0z)七（本題滿分10 分）求微分方程 y3 y2 y3xex 的通解解：先求齊次方程 y3y2y0 的通解，特征方程： r3r2r0 ，特征根 r11, r22齊次方程的通解為： YC1 e xC 2 e 2 x非齊次項 f (x)3xe x1為單特征根故令非齊次方程的特解為：y*xe x ( Ax B)于是y*exAx2(B2)BA xy*e x Ax2( B4 A) x(2A2B)代入方程整理有2