4—簡單的線性規(guī)劃、基本不等式

1、4簡單的線性規(guī)劃、基本不等式知識塊一：求目標(biāo)函數(shù)的最值歸納起來常見的命題角度有：(1)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值；(2)求非線性目標(biāo)的最值；(3)求線性規(guī)劃中的參數(shù).角度一：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值1設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最大值為()A10B8 C3 D2解析：選B作出可行域如圖中陰影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直線y2x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點A(5,2)時，對應(yīng)的z值最大故zmax2×528.2若x，y 滿足則zxy的最小值為 _.解析：根據(jù)題意畫出可行域如圖，由于zxy對應(yīng)的直線斜率為，且z與x正相關(guān)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線過點A(0,1)時，z取得最

2、小值1.答案：1角度二：求非線性目標(biāo)的最值3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為()A2 B1 C D解析：選C已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，顯然當(dāng)點M與點A重合時直線OM的斜率最小，由直線方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值為.4設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組則x2y2的取值范圍是()A1,2 B1,4 C，2 D2,4解析：選B如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域是ABC的內(nèi)部(含邊界)，x2y2表示的是此區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到原點距離的平方從圖中可知最短距離為原點到直線BC的距離，其值為1；最遠(yuǎn)的距離為AO，

3、其值為2，故x2y2的取值范圍是1,4角度三：求線性規(guī)劃中的參數(shù)5若x，y滿足且zyx的最小值為4，則k的值為()A2 B2 C. D解析：選D作出線性約束條件的可行域當(dāng)k0時，如圖所示，此時可行域為y軸上方、直線xy20的右上方、直線kxy20的右下方的區(qū)域，顯然此時zyx無最小值當(dāng)k1時，zyx取得最小值2；當(dāng)k1時，zyx取得最小值2，均不符合題意當(dāng)1k0時，如圖所示，此時可行域為點A(2,0)，B，C(0,2)所圍成的三角形區(qū)域，當(dāng)直線zyx經(jīng)過點B時，有最小值，即4k.故選D.6x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為()A.或1 B2或 C2或1 D2或

4、1解析：選D法一：由題中條件畫出可行域如圖中陰影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(2，2)，則zA2，zB2a，zC2a2，要使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解不唯一，只要zAzB>zC或zAzC>zB或zBzC>zA，解得a1或a2.法二：目標(biāo)函數(shù)zyax可化為yaxz，令l0：yax，平移l0，則當(dāng)l0AB或l0AC時符合題意，故a1或a2.一、選擇題1已知點(3，1)和點(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍為()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，) D(，24)(7，)解析：選B根據(jù)題意知(92a)·(1212a)0.即(a7)

5、(a24)0，解得7a24.2已知O為坐標(biāo)原點，A(1,2)，點P的坐標(biāo)(x，y)滿足約束條件則z·的最大值為()A2 B1 C1 D2解析：選D如圖作可行域，z·x2y，顯然在B(0,1)處zmax2.故選D.3設(shè)動點P(x，y)在區(qū)域：上，過點P任作直線l，設(shè)直線l與區(qū)域的公共部分為線段AB，則以AB為直徑的圓的面積的最大值為()A B2 C3 D4解析：選D作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，以AB為直徑的圓的面積的最大值S×24，故選D.4變量x，y滿足約束條件若使zaxy取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則實數(shù)a的取值集合是()A3

6、,0 B3，1 C0,1 D3,0,1解析：選B作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示易知直線zaxy與xy2或3xy14平行時取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，即a1或a3，a1或a3.故選B.5設(shè)x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a()A5 B3 C5或3 D5或3解析：選B法一：聯(lián)立方程解得代入xay7中，解得a3或5，當(dāng)a5時，zxay的最大值是7；當(dāng)a3時，zxay的最小值是7，故選B.法二：先畫出可行域，然后根據(jù)圖形結(jié)合選項求解當(dāng)a5時，作出不等式組表示的可行域，如圖(1)(陰影部分)圖(1)由得交點A(3，2)，則目標(biāo)函數(shù)zx5y過A點時取得最大值zmax35×(

7、2)7，不滿足題意，排除A，C選項當(dāng)a3時，作出不等式組表示的可行域，如圖(2)(陰影部分)圖(2)由得交點B(1,2)，則目標(biāo)函數(shù)zx3y過B點時取得最小值zmin13×27，滿足題意答案：46設(shè)D為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為_解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，點B(1,0)到直線2xy0的距離最小，d，故最小距離為.答案：7設(shè)x，y滿足約束條件若z的最小值為，則a的值為_解析：1，而表示過點(x，y)與(1，1)連線的斜率，易知a>0，可作出可行域，由題意知的最小值是，即mina1.答案：18若x，y滿足約束

8、條件(1)求目標(biāo)函數(shù)zxy的最值；(2)若目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直線xy0，過A(3,4)取最小值2，過C(1,0)取最大值1.所以z的最大值為1，最小值為2.(2)直線ax2yz僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知12，解得4a2.故所求a的取值范圍為(4,2)知識塊二：基本不等式1基本不等式，成立的條件：一正、二定、三相等2幾個重要的不等式：(1)a2b22ab (a，bR)(2)2(a，b同號)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)典題例析設(shè)a，b，c都是正數(shù)

9、，求證：abc.證明：a，b，c都是正數(shù)，都是正數(shù)2c，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，2a，當(dāng)且僅當(dāng)bc時等號成立，2b，當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立三式相加，得22(abc)，即abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立類題通法利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等演練沖關(guān)設(shè)a，b均為正實數(shù)，求證：ab2.證明：由于a，b均為正實數(shù)，所以2 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時等號成立，又因為ab2 2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，

10、所以abab2，當(dāng)且僅當(dāng)即ab時取等號已知x>0，y>0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)一題多變典型母題已知a0，b0，ab1，則的最小值為_解析a0，b0，ab1，2224，即的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立答案4題點發(fā)散1本例的條件不變，則的最小值為_解析：·52549.當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取等號答案：9題點發(fā)散2本例的條件和結(jié)論互換即：已知a0，b0，4，則ab的最小值為_解析：由4，得1.ab(ab)21.當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號

11、答案：1題點發(fā)散3若本例條件變?yōu)椋阂阎猘>0，b>0，a2b3，則的最小值為_解析：由a2b3得ab1，2.當(dāng)且僅當(dāng)a2b時，取等號答案：題點發(fā)散4本例的條件變?yōu)椋阂阎猘0，b0，c0，且abc1，則的最小值為_解析：a0，b0，c0，且abc1，3332229.當(dāng)且僅當(dāng)abc時，取等號答案：9題點發(fā)散5若本例變?yōu)椋阂阎黜棡檎龜?shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項am，an，使得2a1，則的最小值為_解析：設(shè)公比為q(q0)，由a7a62a5a5q2a5q2a5q2q20(q0)q2.2a1a12m1·a12n18a2m1·2n18mn23mn5，則(

12、mn)(52)，當(dāng)且僅當(dāng)n2m時等號成立答案：典題例析某廠家擬在2014年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m0)滿足x3(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2014年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？解：(1)由題意知，當(dāng)m0時，x1(萬件)，13kk2，

13、x3，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)，2014年的利潤y1.5x×816xm29(m0)(2)m0時，(m1)28，y82921，當(dāng)且僅當(dāng)m1m3(萬元)時，ymax21(萬元)故該廠家2014年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元1已知f(x)x2(x0)，則f(x)有 ()A最大值為0B最小值為0 C最大值為4 D最小值為4解析：選Cx0，f(x) 2224，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時取等號2已知不等式(xy)9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值是()A2 B4 C6 D8解析：選B(xy)1a1a2，當(dāng)1a29時不等式恒成立，故13，a4.3若a，

14、b均為大于1的正數(shù)，且ab100，則lg a·lg b的最大值是()A0 B1 C2 D.解析：選Ba>1，b>1，lg a>0，lg b>0.lg a·lg b1.當(dāng)且僅當(dāng)ab10時取等號4設(shè)(1，2)，(a，1)，(b,0)(a0，b0，O為坐標(biāo)原點)，若A，B，C三點共線，則的最小值是() A4 B.C8 D9解析：選D(a1,1)，(b1,2)，若A，B，C三點共線，則有，(a1)×21×(b1)0，2ab1，又a0，b0，·(2ab)552 9，當(dāng)且僅當(dāng)即ab時等號成立故選D.5函數(shù)y(x>1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：選Ax>1，x1>0.yx122 222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時，取等號6已知a，bR，且ab50，則|a2b|的最小值是_解析：依題意得a，b同號，于是有|a2b|a|2b|22220，當(dāng)且僅當(dāng)|a|2b|10時取等號，因此|a2b|的最小值是20.答案：207當(dāng)x1時，不等式