第3章1流體運動學基礎(chǔ).

1、第三章流體運動學和動力學基礎(chǔ)流體運動學基礎(chǔ)流體運動學概述:流體運動學研究流體的運動規(guī)律，即速度.加速 度等各種運動參數(shù)的分布規(guī)律和變化規(guī)律。流體運動所應(yīng)遵循的物理定律，長建立流體運動 基本方程組的依據(jù)。這些基本物理定律主要包括 質(zhì)量守恒定律.動量平衡定律.能量守恒定律（熱力學第一定律）.熱力學第二定律，以及狀 態(tài)方程.本構(gòu)方程。 3.1研究流體運動的兩種方法流場：運動流體所充滿的空間稱為流場。、拉格朗日法（Lagrange）1、拉格朗日描述拉格朗日法著眼于流場中每一個運 動著的流體質(zhì)點，跟蹤觀察每一個流體質(zhì)點的運動 軌跡（稱為跡線）以及運動參數(shù)（速度、壓強、加 速度等隨時間的變化.然后綜合所有

2、流體質(zhì)點的 運動，得到整個流場的運動規(guī)律。2、拉格朗日坐標:在某一初始時刻以不同的一組數(shù)(a、b、c) 來標記不同的流體質(zhì)點.這組數(shù)(a,b9c)就叫拉格朗日變數(shù)?；蚍Q為拉格朗日坐標。物理量的表示形式：若以嚴示流體質(zhì)點的某一物理量，其拉格朗日描述的數(shù)學表達是如任意時刻f,任何質(zhì)點在空間的位置(xj 都可以看成為拉格郎日變數(shù)和時間f的函數(shù) ()任為常數(shù)，咬化，可以得出某個 指定質(zhì)點在任意時刻所處的位置；(砧Q變化，f任為常數(shù)，可以得出某一 瞬時不同質(zhì)點在空間的分布情況。又如流體質(zhì)點的運動速度的拉格朗日描述為;去 一arararcr-dr=dt_ dz(a9b9c,t)dt任一流體質(zhì)點在任意時刻的

3、加速度ditd2x(ab9c9t)4 = £ ='didrdidt2du.護 z(sb.cj)二二=di dr拉格朗日方法的優(yōu)缺點：V直觀性強、物理概念明確、可以描述各質(zhì)點的時 變過程x數(shù)學求解較為因難，一般問題研究中很少采用二、歐拉法（Euler1、歐拉法描述；以數(shù)學場論為基礎(chǔ)，著眼*任何時刻物理量在場上的分布規(guī)律的流體運 動描述方法。2、歐拉坐標（歐拉變數(shù):歐拉法中用來表 達流場中流體運動規(guī)律的是質(zhì)點空間坐標 （可與時間人空間點坐標（可力稱為歐拉坐 標或歐拉變數(shù)。3、歐拉描述；:壓強場：速度場：w = i/（x,.y,z,r）即ux =氣（旺皿,叫竹=冷（也兒2昇）其中W

4、=M<r +“+以昇）> （氐yz為常數(shù)，/變化，可以得出不同瞬時通過空間相應(yīng)某固定點的流體速度和壓力變化;> （ry“為變數(shù)，席數(shù)，可以得出同一瞬時在流場內(nèi) 通過不同空間點流體速度或壓力分布。加速度場：由于速度是坐標和時間的函數(shù).且運動質(zhì)點的坐標也隨時間變化，因此根據(jù)復合函數(shù)求導法則, 度在X方向上分量為，diediiduv dx 5ut. dy dur dz(1 L = L 4. L 2:!1 dtdtdx dldy dfdz 山dudududu-+ ir + ii + “dldxdydz *同理可得：0 仏du.du.a =-H U HU Hdtdx 1 dy v 8z

5、歐拉法描述流體流動時，加速度由兩部分組成，上式中，第一項表示通過空間固定點的流體質(zhì)點速度隨時間 的變化率，稱當?shù)丶铀俣龋ň植考舆h度）后三項反映了在同一麟時（即t不變）流體質(zhì)點從 一個空間轉(zhuǎn)移到另一個空間點.即流體質(zhì)點所在空 間位置的變化而引起的速度變化率，稱遷移加速度.t拉法的優(yōu)越性：1. 利用歐拉法得到的罡場.便于釆用場論這一數(shù)學工具來研究.2. 采用歐拉法，加速度是一階導數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二 階導數(shù)，所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏 微分方程，在數(shù)學上一階備微分方程比二階偽微分方程求解容 易。3. 在工程實際中，并不關(guān)心毎一質(zhì)點的來龍去詠.基于上述三點原因，歐拉法在流

6、體力學研究中廣泛被采用。兩種方法的比枝拉格朗日法分別描述有限質(zhì)點的軌連同時措述所有質(zhì)點的瞬時券數(shù)表達式復雜裹達式簡單不能直接反映舷的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布不適合描述流體元的運動瓷形特性適合描述流保元的運動變形特性拉格朗日現(xiàn)點是重矣的流體力學就常用的解析方法3.2流體運動中的基本概念"二川心”三）H = u（x,y,z）一、穩(wěn)定流與不穩(wěn)定流1、穩(wěn)定流：若流場中流體的運動參數(shù)（速度、加速度、壓 強、密度、溫度、動能、動量等）不隨時間而變化，而 僅是位置坐標的函數(shù)，則稱這種流動為穩(wěn)定流動.2、不穩(wěn)定流動，若流場中流體的運動參數(shù)不僅是位13 標的函數(shù)，而且隨時間變化，則稱這種流動為不

7、穩(wěn)定流 動或非定常流動、非恒定流動.3. 均勻流動：若流場中流體的運動參數(shù)既不隨時間變化, 也不隨空間位置而變化.則稱這種流動為均勻流動。二、一維流動、二維流動.三維流動1、一維流動：流場中流體的運動參數(shù)僅是一個坐標的 函數(shù)。M =P =卩（別）2、二維流動：流場中流體的運動參數(shù)是兩個坐標的函w=M(x,y,0 p=p(jc,y9t)3、三維流動；流場中流體的運動參數(shù)依賴于三個坐標 時的流動。三、跡線與流線1、跡線；流場中流體質(zhì)點的運動軌跡稱為跡線.2、流線：流線是流場中的瞬時光滑曲線，在曲線 上流體質(zhì)點的速度方向與該點的切線方向重合。3、流線的確定：在某一固定時刻.取流場中的某一點1,作出其

8、速度向最，在 肥 V 靠近1點ds處取點厶 經(jīng)過2點作.同一時刻的速度向量，在靠近2廠 5 & -點取點3,再過3點作出同一時2/刻的速度向量如此繼續(xù)T去，便可得到fo時刻的一條折圖4.2線 1 2 3 4 5 6 7 o4、流線的特點I匚(1)不穩(wěn)定流中，流線的位置和形狀隨時間而變化，因此流線與跡線不重合。丨(2)穩(wěn)定流動中，流線不隨時間變化，流線與跡線重合為一條。(3)在某一時刻，通過流場中的某一點只能作出一條流線。流線既不能轉(zhuǎn)折，也不能相交.特例：駐點：速度為0的點：奇點；速度為無窮大的點(源和匯)；流線相切的點.b)匯5.流線微分方程:(IsII dz "COS（MC

9、> = = -則得時刻的翳線說分方程:dxdydz zzzz &®叭決纜心|dxdv=畑肴他II*dxdydz= 跡線方程與流線方程從形式上看來十分相似.但本質(zhì)上完全不 同.跡線為質(zhì)點隨時間變化的軌跡I是自變量），流線則是某 一瞬時的一條曲線（t是參變量）在流線任意一點M處取微小線段出=d> 4 dy + 該點速度為! « = uj + UJ + UJ 心與“看成重合，則兩者與坐標軸夾角相等例題：已知：流速場it -a.比=ht. u =0-求；(I)流線方程以及t=0, 1, 2時的流線圖C2)跡線方程以及=0時通過(0, 0>點的跡線<-

10、解；(I)由流線方程= =得;空=字0II v 件a bf對自變*, V積分得:= btx + c'bt _ :.y =xCa因此.流線為一簇平行的斜線。在不同的鱗時.流線的斜率不同.2"2"(2)由跡線方程弐二業(yè)=也=曲 叫 «V W.2"2"對自變量(積分，得：當 1=0時，*=<), y=0> '跡線方程為:Z時通過(0, 0)點的跡線方程為一條拋物線.2"Qt=0流線方程；y = C=0時通過（o, o）點的跡線方程：y = x2"四、流管與流束1、流管，在流場中任取一不是流線的封閉h線

11、厶過曲線上的每一點作流線，這些流線所組成 的管狀表面稱為流管。注意：1、穩(wěn)定流的流管形 狀不隨時間變化，不 穩(wěn)定流隨時間變化；2流管內(nèi)外無流體 質(zhì)點交換2、流束：流管內(nèi)部的全部流體稱為流束。3、微小流束：封閉曲線極限近于一個點，流束極限近于一條流線的流束4、總流；如果封閉曲線取在管道內(nèi)部周線上, 則流束就是充滿管道內(nèi)部的全部流體，這種情 況通常稱為總流。即無數(shù)微小流束總和。注意：流管與流線只是流場中的一個幾何面和幾何線. 而流束不論大小，都是由流體組成的.五、有效斷面、流量和平均速度1、有效斷面：流束或總流上垂直于流線的斷面。二 二 通過沖遊面的流體l;l.2.流量：單位時間內(nèi)畔有效斷面的流體

12、量 稱為流量1人'體積流量 體積，的流體質(zhì)量流量單位時問質(zhì)量，以0表示.3、流量計算：單位時間內(nèi)通過d/1的微小流量為dQ = udA 通過整個有效斷面流量Q = udA用丿的丿疔量流最為Q = pQ = it cl A4、平均流速：常把通過某一有效斷面的流 量0與該過流斷面面積A相除，得到一個均 勻分布的速度Sv A = J、udA = QA工程上管道中流體的流速就是指斷面的平均流速六. 系統(tǒng)與控制體: 1、系統(tǒng)：一團流體質(zhì)點的集合。始終包含著相同的流體質(zhì)點，而且具有確定的質(zhì)量。 系統(tǒng)的形狀、位置等均可改變，但系統(tǒng)包含的物質(zhì) 一定不變。系統(tǒng)外的一切統(tǒng)稱為外界。 2、控制體；流場中用來

13、觀察流體運動的固定空間區(qū)域?？刂企w的位置和形狀相對于所選定的坐標系是固定不變的，但它包含的流體的量可能時刻在改變。 3、控制面，控制體的表面3. 3連續(xù)性方程式一、一維流動的連續(xù)性方程選取控制體：過流斷面11、22及管壁所圍成的體積。1、微小流束:兩個有效斷面的面積為MA和da?流體速度為：和“2密度為：P1和P2在單位時間內(nèi)從斷面 流進的流體質(zhì)盤：加在單位時間內(nèi)從22斷面流出的流體質(zhì)量：p2uzdA:在單位時間內(nèi)流入控制體的流體質(zhì)量為；dM = pH p2u2£ZA>對穩(wěn)定流，各點的運動要素不隨時間變化，且流體又是 無空陳的連續(xù)介質(zhì)，由質(zhì)量守恒定律得；dM =0即0網(wǎng)也4,=

14、型“衛(wèi)地這就是可壓縮流體沿微小流束穩(wěn)定流時連續(xù)方柱對不可壓縮流體比昭=w2JA,這就是不可壓縮流體沿微小流束穩(wěn)定流時連續(xù)方程2、總流沿整個有效斷面積“1和電求積分，可得：PiL "MA =a12 u小血=祖= Av2 A這就是可壓編沆體穩(wěn)定流沿總流連續(xù)性方程.對不可壓縮流體吶=v2A冬 A這就是不可壓縮流體穩(wěn)定流動沿總流連續(xù)性方程二.空間運動連續(xù)性方程取控制體:在流場中任取一微小平行六面體作為控 制體，其邊長分別為dr、dy、dzo研究此六面體空間內(nèi)部流體1:1的質(zhì)量變化。首先分析流體流入與流出微元六面體的質(zhì)量，在! 三個坐標方向的速度分量分別為心、叫 則在;從頂面流出六為:在dt時

15、間內(nèi)從六面體底表面流進的質(zhì)量為:pii + - dzdxdydt在dt時間內(nèi)，沿Z方向編旅 流入六面體流體質(zhì)量的差值為,dzdxdydt同理，在dt時間內(nèi)，沿x軸和y軸流出、流入朱 面體流體質(zhì)量的差值分別為dzdxdydt dniA(izdxdydt OXdydt時間內(nèi)通過六面體表面凈流出質(zhì)量為:込+込+込比如如dx dy 6z根據(jù)質(zhì)量守恒定律，dt時間內(nèi)流出、流入六 面體表面的質(zhì)量差值，必會引起六面體內(nèi)疵 體密度的變化。而這一變化量應(yīng)與流岀、流 入的流體質(zhì)量差值是相等的。設(shè)耐刻流體的密度為：p= pU刀z, t) t+d耐刻流體的密度為：ppdt 則d匕時間內(nèi)六面體內(nèi)流體質(zhì)量的減少量為:pdxdydz p'dxdydz -dxdydzdt根據(jù)質(zhì)量守恒定律得岀dt時間內(nèi)控制體內(nèi)質(zhì)量的 減少必然等于凈流出控制體的質(zhì)量：込+沁+込d.皿如=空dxdydzdt辦 dy dz 'di -即 &P F（pu） £ 6（。件）t 方（Kj=odt dx dy dz此式就是流體運動的連續(xù)性微分方程其物理意義：流體在單位時間內(nèi)經(jīng)單位體積空間 流出與流入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和 為零.I簡化特例1穩(wěn)定流動：字=0Ct（ Q（Ey）,8x 內(nèi) 5zAr即為穩(wěn)定流動空間連續(xù)性方程.說明流體在單位時間內(nèi)經(jīng)