人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第18章 平行四邊形 專項(xiàng)訓(xùn)練3（含答案）

1、第18章 平行四邊形 專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1.利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解折疊問題名師點(diǎn)金：四邊形的折疊問題是指將四邊形按照某種方式折疊，然后在平面圖形內(nèi)按照要求完成相應(yīng)的計(jì)算和證明折疊的本質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱變換，折疊后的圖形與原圖形全等21*cnjy*com 平行四邊形的折疊問題1在ABCD中，AB6，AD8，B是銳角，將ACD沿對(duì)角線AC所在直線折疊，點(diǎn)D落在ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)E處如果AE恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn)，那么ABCD的面積是_【來源：21cnj*y.co*m】2如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC所在直線折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，AE恰好經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)若AB3，BC6，求B的度數(shù)(第2題) 矩

2、形的折疊問題3如圖，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點(diǎn)A落在DC上的點(diǎn)A處，然后將矩形展平，沿EF折疊，使頂點(diǎn)A落在折痕DE上的點(diǎn)G處再將矩形ABCD沿CE折疊，此時(shí)頂點(diǎn)B恰好落在DE上的點(diǎn)H處如圖.(1)求證：EGCH；(2)已知AF，求AD和AB的長(zhǎng)(第3題) 菱形的折疊問題(第4題)4如圖，在菱形ABCD中，A120°，E是AD上的點(diǎn)，沿BE折疊ABE，點(diǎn)A恰好落在BD上的F點(diǎn)，連接CF，那么BFC的度數(shù)是()A60° B70° C75° D80°5如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)角線交點(diǎn)O處，折痕為EF.若菱形的邊長(zhǎng)為

3、2，A120°，求EF的長(zhǎng)(第5題) 正方形的折疊問題(第6題)6如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)AB12，E是DC上一點(diǎn)，CE5，折疊正方形紙片使點(diǎn)B和點(diǎn)E重合，折痕為FG，則FG的長(zhǎng)為_7(中考·德州)如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP，BH.(1)求證：APBBPH.(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論(第7題)專訓(xùn)2.利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動(dòng)點(diǎn)問題名師點(diǎn)金：利用特殊四邊形的性質(zhì)解動(dòng)點(diǎn)問題，一般

4、將動(dòng)點(diǎn)看成特殊點(diǎn)解決問題，再運(yùn)用從特殊到一般的思想，將特殊點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一般點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))來解答 平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題1如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)(E，F(xiàn)兩點(diǎn)不重合)，且保持BEDF，連接AE，CF.請(qǐng)你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并對(duì)你的猜想加以證明www-2-1-cnjy-com(第1題) 矩形中的動(dòng)點(diǎn)問題2已知，在矩形ABCD中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，垂足為O.21教育名師原創(chuàng)作品(1)如圖，連接AF，CE，試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿AFB和

5、CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周即點(diǎn)P自AFBA停止，點(diǎn)Q自CDEC停止在運(yùn)動(dòng)過程中，已知點(diǎn)P的速度為5 cm/s，點(diǎn)Q的速度為4 cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，當(dāng)以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值(第2題) 菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題3如圖，在菱形ABCD中，B60°，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上，動(dòng)點(diǎn)F在邊CD上(1)如圖，若E是BC的中點(diǎn)，AEF60°，求證：BEDF；(2)如圖，若EAF60°，求證：AEF是等邊三角形(第3題) 正方形中的動(dòng)點(diǎn)問題4如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8 cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBFCGDH.21*c

6、njy*com(1)求證：四邊形EFGH是正方形；(2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并說明理由(第4題)專訓(xùn)3.特殊平行四邊形中的五種常見熱門題型名師點(diǎn)金：本章主要學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定的靈活應(yīng)用，其中特殊平行四邊形中的折疊問題、動(dòng)點(diǎn)問題、中點(diǎn)四邊形問題、圖形變換問題是中考的熱門考點(diǎn) 特殊平行四邊形中的折疊問題1如圖，將一張長(zhǎng)為10 cm，寬為8 cm的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線(圖中的虛線)剪下，再打開，得到的菱形的面積為()A10 cm2 B20 cm2C40 cm2 D80 cm2(第1題)(第2題)2如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，

7、將ABE沿直線BE折疊后得到GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，若AB6，BC4，則FD的長(zhǎng)為()A2 B4 C. D23如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，CB均落在對(duì)角線BD上，得折痕BE，BF，則EBF的大小為()A15° B30° C45° D60°(第3題)(第4題) 特殊平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題4如圖，在RtABC中，B90°，AC60 cm，A60°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4 cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2 cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)

8、D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t s(0t15)過點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接DE，EF.若四邊形AEFD為菱形，則t的值為()A5 B10C15 D205如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，DAC的平分線交DC于點(diǎn)E.若點(diǎn)P，Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQPQ的最小值是()A2 B4 C2 D4(第5題)(第6題) 特殊平行四邊形中的中點(diǎn)四邊形問題6如圖，在四邊形ABCD中，ACa，BDb，且ACBD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2，如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的是()2·

9、1·c·n·j·y四邊形A4B4C4D4是菱形；四邊形A3B3C3D3是矩形；四邊形A7B7C7D7的周長(zhǎng)為；四邊形AnBnCnDn的面積為.A BC D7如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為菱形ABCD四邊的中點(diǎn)，AB6 cm，ABC60°，則四邊形EFGH的面積為_(第7題)(第8題) 特殊平行四邊形中的圖形變換問題8如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點(diǎn)O，則四邊形AB1OD的面積是()A. B.C.1 D19如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)，DEAG于

10、點(diǎn)E，BFDE，交AG于點(diǎn)F.【出處：21教育名師】(1)求證：AFBFEF；(2)將ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時(shí)點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，求點(diǎn)F與旋轉(zhuǎn)前的圖形中點(diǎn)E之間的距離(第9題) 靈活應(yīng)用特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定進(jìn)行計(jì)算或證明10如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接AF，CE.(1)求證：BECDFA；(2)連接AC，當(dāng)CACB時(shí)，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，并說明理由(第10題)11如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FGCD，交AE于點(diǎn)G，連接DG.(

11、1)求證：四邊形DEFG為菱形；(2)若CD8，CF4，求的值(第11題)12如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，DC上的點(diǎn)，且AFBE.(1)求證：AFBE.(2)如圖，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且MPNQ.MP與NQ是否相等？并說明理由(第12題)專訓(xùn)4.全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用名師點(diǎn)金：本章內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查與平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關(guān)的計(jì)算和證明等問題近幾年又出現(xiàn)了許多與平行四邊形有關(guān)的開放探索題、操作題以及與全等、相似、函數(shù)知識(shí)相結(jié)合的綜合題其主要考點(diǎn)可概括為：一個(gè)性質(zhì)，一個(gè)定理，四個(gè)圖形，三個(gè)技巧21·

12、;cn·jy·com 一個(gè)性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)1如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高求證：(1)四邊形ADEF是平行四邊形；(2)DHFDEF.(第1題) 一個(gè)定理三角形的中位線定理2如圖所示，已知在四邊形ABCD中，ADBC且ACBD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中點(diǎn)www.21-cn-求證：(1)四邊形EFGH是矩形；(2)四邊形EQGP是菱形(第2題) 四個(gè)圖形圖形1平行四邊形3如圖，E，F(xiàn)分別是ABCD的AD，BC邊上的點(diǎn)，且AECF.(1)求證：ABECDF；(2)若M，N分

13、別是BE，DF的中點(diǎn)，連接MF，EN，試判斷四邊形MFNE是什么特殊的四邊形，并證明你的結(jié)論【來源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】(第3題)圖形2矩形4如圖，在ABCD中，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與BA的延長(zhǎng)線，DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：AOECOF.(2)連接EC，AF，則EF與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)說明理由(第4題)圖形3菱形5如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFAB，交BC于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形(2)當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱形？為什么？(第5題)圖

14、形4正方形6如圖，已知在RtABC中，ABC90°，先把ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后至DBE，再把ABC沿射線AB平移至FEG，DE，F(xiàn)G相交于點(diǎn)H.(1)判斷線段DE，F(xiàn)G的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接CG，求證：四邊形CBEG是正方形(第6題) 三個(gè)技巧技巧1解與四邊形有關(guān)的折疊問題的技巧(軸對(duì)稱變換法)7如圖所示，在矩形ABCD中，AB10，BC5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A，D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1，D1處，求陰影部分圖形的周長(zhǎng)21·世紀(jì)*教育網(wǎng)(第7題)技巧2解與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題的技巧(特殊位置法)8

15、如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O也是正方形ABCO的一個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都等于1，那么正方形ABCO繞頂點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積大小有什么規(guī)律？請(qǐng)說明理由(第8題)技巧3解與四邊形有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題的技巧(固定位置法)9如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD16，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，OEAB于E，OFAD于F.(1)求對(duì)角線AC的長(zhǎng)及菱形ABCD的面積(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OEOF的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，OEOF的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)說明理由；若變化，請(qǐng)?zhí)?/p>

16、究OE，OF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有(第9題)答案專訓(xùn)1112點(diǎn)撥：如圖，設(shè)AE，BC的交點(diǎn)為O，連接BE，已知O是BC的中點(diǎn)在ABC和CDA中，ABCD，BCDA，ACCA，ABCCDA，則ABCCEA，ACBCAE，同時(shí)，BCAE，即在四邊形ABEC中，兩條對(duì)角線相等在AOC中，ACBCAE，AOOC，易得O是AE的中點(diǎn)四邊形ABEC是矩形，在RtAEC中，CEAB6，AEAD8，由勾股定理得AC2.21教育網(wǎng)ABCD的面積AB·AC6×212.(第1題)(第2題)2解：設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)F，如圖四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC.13.平行

17、四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC所在直線折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，23，12.FCFA.F為BC邊的中點(diǎn)，BC6，AFCFBF×63.又AB3，ABF是等邊三角形B60°.(第3題)3(1)證明：由折疊知AEADEG，BCCH.四邊形ABCD是矩形，ADBC.EGCH.(2)解：ADE45°，F(xiàn)GEA90°，AF，DG，DF2.AD2.如圖，由折疊知，12，34，2490°，1390°.1AFE90°，3AFE.又AB90°，由(1)知，AEBC，EFACEB.AFBE.ABAEBEADAF222.4C點(diǎn)撥：四邊形ABC

18、D是菱形，ABBC，AABC180°，BD平分ABC.A120°，ABC60°，F(xiàn)BC30°.根據(jù)折疊可得ABBF，F(xiàn)BBC.BFCBCF(180°30°)÷275°.故選C.2-1-c-n-j-y5解：如圖，連接BD，AC.四邊形ABCD是菱形，ACBD，AC平分BAD.BAD120°，BAC60°.ABO90°60°30°.AOB90°，AOAB×21.由勾股定理，得BODO.點(diǎn)A沿EF折疊與點(diǎn)O重合，EFAC，EF平分AO.ACBD，EFB

19、D，易得EF為ABD的中位線，EFBD×().(第5題)613點(diǎn)撥：如圖，過點(diǎn)F作FMBC，垂足為M，連接BE，F(xiàn)E，設(shè)BE交FG于點(diǎn)N，由折疊的性質(zhì)知FGBE，【版權(quán)所有：21教育】CBNG90°，BGNBEC.易知FMBC，F(xiàn)MGC，F(xiàn)MGBCE，MGCE5，由勾股定理得FG13.(第6題)7(1)證明：PEBE，EBPEPB.又EPHEBC90°，EPHEPBEBCEBP，即BPHPBC.又ADBC，APBPBC，APBBPH.(2)解：PDH的周長(zhǎng)不變且為定值8.證明如下：過B作BQPH，垂足為Q.如圖由(1)知APBBPH，又ABQP90°，B

20、PBP，ABPQBP.APQP，ABBQ.又ABBC，BCBQ.又CBQH90°，BHBH，RtBCHRtBQH，CHQH.PDH的周長(zhǎng)為：PDDHPHAPPDDHHCADCD8.(第7題)專訓(xùn)21解：AECF，AECF.證明如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD.ABECDF.在ABE和CDF中，ABCD，ABECDF，BEDF，ABECDF.AECF，AEBCFD.AEBAEDCFDCFB180°，AEDCFB.AECF.2解：(1)四邊形ABCD是矩形，ADBC.CADACB，AEFCFE.EF垂直平分AC，垂足為O，OAOC.AOECOF.OEOF.四

21、邊形AFCE為平行四邊形又EFAC，四邊形AFCE為菱形設(shè)AFCFx cm，則BF(8x)cm，(第2題)在RtABF中，AB4 cm，由勾股定理得42(8x)2x2，解得x5.AF5 cm.(2)顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，A，C，P，Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在DE或CE上時(shí)，也不可能構(gòu)成平行四邊形因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，如圖，連接AP，CQ，則以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)PCQA.點(diǎn)P的速度為5 cm/s，點(diǎn)Q的速度為4 cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，PC5t cm，QA(124t)cm.5t124

22、t，解得t.以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t.3證明：(1)如圖，連接AC.在菱形ABCD中，B60°，ABBCCD，BCD180°B120°.ABC是等邊三角形又E是BC的中點(diǎn)，AEBC.AEF60°，F(xiàn)EC90°AEF30°.CFE180°FECBCD180°30°120°30°.FECCFE.ECCF.BEDF.(第3題)(2)如圖，連接AC.由(1)知ABC是等邊三角形，ABAC，ACBBAC60°.又EAF60°，BAECAF.BCD1

23、20°，ACB60°，ACF60°B.ABEACF.AEAF.AEF是等邊三角形(第4題)4(1)證明：如圖，四邊形ABCD為正方形，AABCCADC90°，ABBCCDAD.AEBFCGDH，AHBECFDG.AEHBFECGFDHG.12，EHEFFGGH.四邊形EFGH為菱形1390°，12，2390°.HEF90°.四邊形EFGH為正方形(2)解：直線EG經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)理由如下：如圖，連接BD，DE，BG，EG.設(shè)EG與BD交于O點(diǎn)BE綊DG，四邊形BGDE為平行四邊形BD，EG互相平分BOOD.點(diǎn)O為正方形的中心直線

24、EG必過正方形的中心專訓(xùn)31A2B點(diǎn)撥：連接EF，由題易知，AEEGED，AEGBEGFD90°，又EFEF，所以RtEGFRtEDF，所以FGDF.設(shè)DFx，則BF6x，CF6x，在RtBCF中，(4)2(6x)2(6x)2，解得x4，所以FD4.3C4B點(diǎn)撥：在DFC中，DFC90°，C30°，DC4t cm，所以DF2t cm.又因?yàn)锳E2t cm，所以AEDF.因?yàn)锳EDF，所以可推出四邊形AEFD為平行四邊形令A(yù)EAD，則604t2t.解得t10.所以當(dāng)t10時(shí)，四邊形AEFD為菱形5C點(diǎn)撥：連接BD交AC于點(diǎn)O，由圖可知，DQPQ的最小值即為DO的長(zhǎng)，

25、由正方形的邊長(zhǎng)為4可知，DO的長(zhǎng)為2，所以DQPQ的最小值為2.6A(第7題)79 cm2點(diǎn)撥：連接AC，BD，設(shè)AC，BD相交于點(diǎn)O，如圖，易知，四邊形EFGH是矩形由四邊形ABCD是菱形，ABC60°，可得ABO30°，又AOB90°，AOAB3 cm.AC6 cm.在RtAOB中，OB3(cm)，BD6 cm.EHBD，EFAC，EH3 cm，EF3 cm.矩形EFGH的面積EF·EH3×39(cm2)8C9(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ABAD，BADBAGEAD90°.DEAG，AEDDEG90°.EADAD

26、E90°.ADEBAF.又BFDE，AFBDEG90°.在AED和BFA中，AEDBFA(AAS)BFAE.AFAEEF，AFBFEF.(第9題)(2)解：如圖，由題意知將ABF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到ADF，B與D重合，連接FE，由(1)易得DEAF.根據(jù)題意知：FAF90°，DEAFAF，F(xiàn)AEAED90°.即FAEAED180°.AFED.四邊形AEDF為平行四邊形又AED90°，四邊形AEDF是矩形AD3，EFAD3.10(1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，ABCD，BD，BCAD.E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，BEDF.BECDF

27、A(SAS)(2)解：四邊形AECF是矩形，理由：AEAB，CFCD，ABCD，AECF.AECF，四邊形AECF是平行四邊形當(dāng)CACB時(shí)，CEAB，AEC90°.四邊形AECF是矩形11(1)證明：如圖，由折疊的性質(zhì)可知：DGFG，EDEF，12，F(xiàn)GCD，31.23.FGFE.DGGFEFDE.四邊形DEFG為菱形(2)解：設(shè)DEx，則EFDEx，EC8x，在RtEFC中，F(xiàn)C2EC2EF2，即42(8x)2x2，解得x5.CE8x3.(第11題)12(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ADAB，DBAE90°，DAFBAF90°.AFBE，ABEBAF90&

28、#176;.DAFABE.DAFABE(ASA)AFBE.(2)解：MP與NQ相等理由如下：過點(diǎn)A作AFMP交CD于F，過點(diǎn)B作BENQ交AD于E，MPNQ，AFBE，由(1)知AFBE.易證四邊形AMPF，四邊形BNQE都是平行四邊形，AFMP，BENQ，MPNQ.專訓(xùn)四1證明：(1)點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，DEAC.同理可得EFAB.四邊形ADEF是平行四邊形(2)由(1)知四邊形ADEF是平行四邊形，DAFDEF.在RtAHB中，D是AB的中點(diǎn)，DHABAD，DAHDHA.同理可得HFACAF，F(xiàn)AHFHA.DAHFAHDHAFHA.DAFDHF.DHFDEF.2證明：(1)點(diǎn)E

29、，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，EFAC且EFAC，GHAC且GHAC，EFGH且EFGH，四邊形EFGH是平行四邊形又ACBD，EFEH.EFGH是矩形(2)點(diǎn)E，P，G，Q分別為AB，AC，DC，DB的中點(diǎn)，EPBC，PGAD，GQBC，QEAD.ADBC，EPPGGQQE，四邊形EQGP是菱形點(diǎn)撥：在三角形中出現(xiàn)兩邊中點(diǎn)，常考慮利用三角形中位線得到線段的平行關(guān)系或數(shù)量關(guān)系3(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，AC.又AECF，ABECDF(SAS)(2)解：四邊形MFNE是平行四邊形證明：由(1)知ABECDF，BEDF，AEBCFD.M，N分別是BE，DF

30、中點(diǎn)，MENF.又四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC.AEBEBC.CFDEBC.BEDF.四邊形MFNE是平行四邊形4(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC，ABCD，AEOCFO.在AOE和COF中，AOECOF(AAS)(2)解：當(dāng)ACEF時(shí)，四邊形AECF是矩形理由如下：由(1)知AOECOF，OEOF.AOCO，四邊形AECF是平行四邊形又ACEF，四邊形AECF是矩形5(1)證明：D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DEBC.又EFAB，四邊形DBFE是平行四邊形(2)解：答案不唯一，下列解法供參考當(dāng)ABBC時(shí)，四邊形DBFE是菱形理由：D是AB的中點(diǎn)，BDAB.DE是ABC的中位線，DEBC.又ABBC，BDDE.又四邊形DBFE是平行四邊形，四邊形DBFE是菱形6(1)解：DEFG.理由如下：由題意，得AEDBGFE，ABCDBE90