人教版八年級數(shù)學下冊第18章 平行四邊形 專項訓練3（含答案）

1、第18章 平行四邊形 專項訓練專訓1.利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解折疊問題名師點金：四邊形的折疊問題是指將四邊形按照某種方式折疊，然后在平面圖形內(nèi)按照要求完成相應(yīng)的計算和證明折疊的本質(zhì)是圖形的軸對稱變換，折疊后的圖形與原圖形全等21*cnjy*com 平行四邊形的折疊問題1在ABCD中，AB6，AD8，B是銳角，將ACD沿對角線AC所在直線折疊，點D落在ABC所在平面內(nèi)的點E處如果AE恰好經(jīng)過BC的中點，那么ABCD的面積是_【來源：21cnj*y.co*m】2如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿對角線AC所在直線折疊，點D落在點E處，AE恰好經(jīng)過BC邊的中點若AB3，BC6，求B的度數(shù)(第2題) 矩

2、形的折疊問題3如圖，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點A落在DC上的點A處，然后將矩形展平，沿EF折疊，使頂點A落在折痕DE上的點G處再將矩形ABCD沿CE折疊，此時頂點B恰好落在DE上的點H處如圖.(1)求證：EGCH；(2)已知AF，求AD和AB的長(第3題) 菱形的折疊問題(第4題)4如圖，在菱形ABCD中，A120°，E是AD上的點，沿BE折疊ABE，點A恰好落在BD上的F點，連接CF，那么BFC的度數(shù)是()A60° B70° C75° D80°5如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對角線交點O處，折痕為EF.若菱形的邊長為

3、2，A120°，求EF的長(第5題) 正方形的折疊問題(第6題)6如圖，正方形紙片ABCD的邊長AB12，E是DC上一點，CE5，折疊正方形紙片使點B和點E重合，折痕為FG，則FG的長為_7(中考·德州)如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A，點D重合)將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP，BH.(1)求證：APBBPH.(2)當點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論(第7題)專訓2.利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動點問題名師點金：利用特殊四邊形的性質(zhì)解動點問題，一般

4、將動點看成特殊點解決問題，再運用從特殊到一般的思想，將特殊點轉(zhuǎn)化為一般點(動點)來解答 平行四邊形中的動點問題1如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)兩點在對角線BD上運動(E，F(xiàn)兩點不重合)，且保持BEDF，連接AE，CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并對你的猜想加以證明www-2-1-cnjy-com(第1題) 矩形中的動點問題2已知，在矩形ABCD中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，垂足為O.21教育名師原創(chuàng)作品(1)如圖，連接AF，CE，試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；(2)如圖，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，沿AFB和

5、CDE各邊勻速運動一周即點P自AFBA停止，點Q自CDEC停止在運動過程中，已知點P的速度為5 cm/s，點Q的速度為4 cm/s，運動時間為t s，當以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值(第2題) 菱形中的動點問題3如圖，在菱形ABCD中，B60°，動點E在邊BC上，動點F在邊CD上(1)如圖，若E是BC的中點，AEF60°，求證：BEDF；(2)如圖，若EAF60°，求證：AEF是等邊三角形(第3題) 正方形中的動點問題4如圖，正方形ABCD的邊長為8 cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AEBFCGDH.21*c

6、njy*com(1)求證：四邊形EFGH是正方形；(2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點，并說明理由(第4題)專訓3.特殊平行四邊形中的五種常見熱門題型名師點金：本章主要學習平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定的靈活應(yīng)用，其中特殊平行四邊形中的折疊問題、動點問題、中點四邊形問題、圖形變換問題是中考的熱門考點 特殊平行四邊形中的折疊問題1如圖，將一張長為10 cm，寬為8 cm的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點的連線(圖中的虛線)剪下，再打開，得到的菱形的面積為()A10 cm2 B20 cm2C40 cm2 D80 cm2(第1題)(第2題)2如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，

7、將ABE沿直線BE折疊后得到GBE，延長BG交CD于點F，若AB6，BC4，則FD的長為()A2 B4 C. D23如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，CB均落在對角線BD上，得折痕BE，BF，則EBF的大小為()A15° B30° C45° D60°(第3題)(第4題) 特殊平行四邊形中的動點問題4如圖，在RtABC中，B90°，AC60 cm，A60°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以4 cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2 cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動設(shè)點

8、D，E運動的時間是t s(0t15)過點D作DFBC于點F，連接DE，EF.若四邊形AEFD為菱形，則t的值為()A5 B10C15 D205如圖，正方形ABCD的邊長為4，DAC的平分線交DC于點E.若點P，Q分別是AD和AE上的動點，則DQPQ的最小值是()A2 B4 C2 D4(第5題)(第6題) 特殊平行四邊形中的中點四邊形問題6如圖，在四邊形ABCD中，ACa，BDb，且ACBD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2，如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的是()2·

9、1·c·n·j·y四邊形A4B4C4D4是菱形；四邊形A3B3C3D3是矩形；四邊形A7B7C7D7的周長為；四邊形AnBnCnDn的面積為.A BC D7如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為菱形ABCD四邊的中點，AB6 cm，ABC60°，則四邊形EFGH的面積為_(第7題)(第8題) 特殊平行四邊形中的圖形變換問題8如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點O，則四邊形AB1OD的面積是()A. B.C.1 D19如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點，DEAG于

10、點E，BFDE，交AG于點F.【出處：21教育名師】(1)求證：AFBFEF；(2)將ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點F的對應(yīng)點為點F，若正方形ABCD的邊長為3，求點F與旋轉(zhuǎn)前的圖形中點E之間的距離(第9題) 靈活應(yīng)用特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定進行計算或證明10如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接AF，CE.(1)求證：BECDFA；(2)連接AC，當CACB時，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，并說明理由(第10題)11如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作FGCD，交AE于點G，連接DG.(

11、1)求證：四邊形DEFG為菱形；(2)若CD8，CF4，求的值(第11題)12如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，DC上的點，且AFBE.(1)求證：AFBE.(2)如圖，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，且MPNQ.MP與NQ是否相等？并說明理由(第12題)專訓4.全章熱門考點整合應(yīng)用名師點金：本章內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查與平行四邊形、矩形、菱形、正方形有關(guān)的計算和證明等問題近幾年又出現(xiàn)了許多與平行四邊形有關(guān)的開放探索題、操作題以及與全等、相似、函數(shù)知識相結(jié)合的綜合題其主要考點可概括為：一個性質(zhì)，一個定理，四個圖形，三個技巧21·

12、;cn·jy·com 一個性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)1如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高求證：(1)四邊形ADEF是平行四邊形；(2)DHFDEF.(第1題) 一個定理三角形的中位線定理2如圖所示，已知在四邊形ABCD中，ADBC且ACBD，點E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中點www.21-cn-求證：(1)四邊形EFGH是矩形；(2)四邊形EQGP是菱形(第2題) 四個圖形圖形1平行四邊形3如圖，E，F(xiàn)分別是ABCD的AD，BC邊上的點，且AECF.(1)求證：ABECDF；(2)若M，N分

13、別是BE，DF的中點，連接MF，EN，試判斷四邊形MFNE是什么特殊的四邊形，并證明你的結(jié)論【來源：21·世紀·教育·網(wǎng)】(第3題)圖形2矩形4如圖，在ABCD中，點O是AC與BD的交點，過點O的直線與BA的延長線，DC的延長線分別交于點E，F(xiàn).(1)求證：AOECOF.(2)連接EC，AF，則EF與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形AECF是矩形？請說明理由(第4題)圖形3菱形5如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，過點E作EFAB，交BC于點F.(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形(2)當ABC滿足什么條件時，四邊形DBFE是菱形？為什么？(第5題)圖

14、形4正方形6如圖，已知在RtABC中，ABC90°，先把ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后至DBE，再把ABC沿射線AB平移至FEG，DE，F(xiàn)G相交于點H.(1)判斷線段DE，F(xiàn)G的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接CG，求證：四邊形CBEG是正方形(第6題) 三個技巧技巧1解與四邊形有關(guān)的折疊問題的技巧(軸對稱變換法)7如圖所示，在矩形ABCD中，AB10，BC5，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在矩形ABCD外部的點A1，D1處，求陰影部分圖形的周長21·世紀*教育網(wǎng)(第7題)技巧2解與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題的技巧(特殊位置法)8

15、如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O也是正方形ABCO的一個頂點，如果兩個正方形的邊長都等于1，那么正方形ABCO繞頂點O轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積大小有什么規(guī)律？請說明理由(第8題)技巧3解與四邊形有關(guān)的動態(tài)問題的技巧(固定位置法)9如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD16，對角線AC，BD相交于點G，點O是直線BD上的動點，OEAB于E，OFAD于F.(1)求對角線AC的長及菱形ABCD的面積(2)如圖，當點O在對角線BD上運動時，OEOF的值是否發(fā)生變化？請說明理由(3)如圖，當點O在對角線BD的延長線上時，OEOF的值是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請?zhí)?/p>

16、究OE，OF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由21世紀教育網(wǎng)版權(quán)所有(第9題)答案專訓1112點撥：如圖，設(shè)AE，BC的交點為O，連接BE，已知O是BC的中點在ABC和CDA中，ABCD，BCDA，ACCA，ABCCDA，則ABCCEA，ACBCAE，同時，BCAE，即在四邊形ABEC中，兩條對角線相等在AOC中，ACBCAE，AOOC，易得O是AE的中點四邊形ABEC是矩形，在RtAEC中，CEAB6，AEAD8，由勾股定理得AC2.21教育網(wǎng)ABCD的面積AB·AC6×212.(第1題)(第2題)2解：設(shè)AE與BC相交于點F，如圖四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC.13.平行

17、四邊形紙片ABCD沿對角線AC所在直線折疊，點D落在點E處，23，12.FCFA.F為BC邊的中點，BC6，AFCFBF×63.又AB3，ABF是等邊三角形B60°.(第3題)3(1)證明：由折疊知AEADEG，BCCH.四邊形ABCD是矩形，ADBC.EGCH.(2)解：ADE45°，F(xiàn)GEA90°，AF，DG，DF2.AD2.如圖，由折疊知，12，34，2490°，1390°.1AFE90°，3AFE.又AB90°，由(1)知，AEBC，EFACEB.AFBE.ABAEBEADAF222.4C點撥：四邊形ABC

18、D是菱形，ABBC，AABC180°，BD平分ABC.A120°，ABC60°，F(xiàn)BC30°.根據(jù)折疊可得ABBF，F(xiàn)BBC.BFCBCF(180°30°)÷275°.故選C.2-1-c-n-j-y5解：如圖，連接BD，AC.四邊形ABCD是菱形，ACBD，AC平分BAD.BAD120°，BAC60°.ABO90°60°30°.AOB90°，AOAB×21.由勾股定理，得BODO.點A沿EF折疊與點O重合，EFAC，EF平分AO.ACBD，EFB

19、D，易得EF為ABD的中位線，EFBD×().(第5題)613點撥：如圖，過點F作FMBC，垂足為M，連接BE，F(xiàn)E，設(shè)BE交FG于點N，由折疊的性質(zhì)知FGBE，【版權(quán)所有：21教育】CBNG90°，BGNBEC.易知FMBC，F(xiàn)MGC，F(xiàn)MGBCE，MGCE5，由勾股定理得FG13.(第6題)7(1)證明：PEBE，EBPEPB.又EPHEBC90°，EPHEPBEBCEBP，即BPHPBC.又ADBC，APBPBC，APBBPH.(2)解：PDH的周長不變且為定值8.證明如下：過B作BQPH，垂足為Q.如圖由(1)知APBBPH，又ABQP90°，B

20、PBP，ABPQBP.APQP，ABBQ.又ABBC，BCBQ.又CBQH90°，BHBH，RtBCHRtBQH，CHQH.PDH的周長為：PDDHPHAPPDDHHCADCD8.(第7題)專訓21解：AECF，AECF.證明如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD.ABECDF.在ABE和CDF中，ABCD，ABECDF，BEDF，ABECDF.AECF，AEBCFD.AEBAEDCFDCFB180°，AEDCFB.AECF.2解：(1)四邊形ABCD是矩形，ADBC.CADACB，AEFCFE.EF垂直平分AC，垂足為O，OAOC.AOECOF.OEOF.四

21、邊形AFCE為平行四邊形又EFAC，四邊形AFCE為菱形設(shè)AFCFx cm，則BF(8x)cm，(第2題)在RtABF中，AB4 cm，由勾股定理得42(8x)2x2，解得x5.AF5 cm.(2)顯然當P點在AF上，Q點在CD上時，A，C，P，Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；同理P點在AB上，Q點在DE或CE上時，也不可能構(gòu)成平行四邊形因此只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，如圖，連接AP，CQ，則以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，此時PCQA.點P的速度為5 cm/s，點Q的速度為4 cm/s，運動時間為t s，PC5t cm，QA(124t)cm.5t124

22、t，解得t.以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t.3證明：(1)如圖，連接AC.在菱形ABCD中，B60°，ABBCCD，BCD180°B120°.ABC是等邊三角形又E是BC的中點，AEBC.AEF60°，F(xiàn)EC90°AEF30°.CFE180°FECBCD180°30°120°30°.FECCFE.ECCF.BEDF.(第3題)(2)如圖，連接AC.由(1)知ABC是等邊三角形，ABAC，ACBBAC60°.又EAF60°，BAECAF.BCD1

23、20°，ACB60°，ACF60°B.ABEACF.AEAF.AEF是等邊三角形(第4題)4(1)證明：如圖，四邊形ABCD為正方形，AABCCADC90°，ABBCCDAD.AEBFCGDH，AHBECFDG.AEHBFECGFDHG.12，EHEFFGGH.四邊形EFGH為菱形1390°，12，2390°.HEF90°.四邊形EFGH為正方形(2)解：直線EG經(jīng)過一個定點理由如下：如圖，連接BD，DE，BG，EG.設(shè)EG與BD交于O點BE綊DG，四邊形BGDE為平行四邊形BD，EG互相平分BOOD.點O為正方形的中心直線

24、EG必過正方形的中心專訓31A2B點撥：連接EF，由題易知，AEEGED，AEGBEGFD90°，又EFEF，所以RtEGFRtEDF，所以FGDF.設(shè)DFx，則BF6x，CF6x，在RtBCF中，(4)2(6x)2(6x)2，解得x4，所以FD4.3C4B點撥：在DFC中，DFC90°，C30°，DC4t cm，所以DF2t cm.又因為AE2t cm，所以AEDF.因為AEDF，所以可推出四邊形AEFD為平行四邊形令A(yù)EAD，則604t2t.解得t10.所以當t10時，四邊形AEFD為菱形5C點撥：連接BD交AC于點O，由圖可知，DQPQ的最小值即為DO的長，

25、由正方形的邊長為4可知，DO的長為2，所以DQPQ的最小值為2.6A(第7題)79 cm2點撥：連接AC，BD，設(shè)AC，BD相交于點O，如圖，易知，四邊形EFGH是矩形由四邊形ABCD是菱形，ABC60°，可得ABO30°，又AOB90°，AOAB3 cm.AC6 cm.在RtAOB中，OB3(cm)，BD6 cm.EHBD，EFAC，EH3 cm，EF3 cm.矩形EFGH的面積EF·EH3×39(cm2)8C9(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ABAD，BADBAGEAD90°.DEAG，AEDDEG90°.EADAD

26、E90°.ADEBAF.又BFDE，AFBDEG90°.在AED和BFA中，AEDBFA(AAS)BFAE.AFAEEF，AFBFEF.(第9題)(2)解：如圖，由題意知將ABF繞A點旋轉(zhuǎn)得到ADF，B與D重合，連接FE，由(1)易得DEAF.根據(jù)題意知：FAF90°，DEAFAF，F(xiàn)AEAED90°.即FAEAED180°.AFED.四邊形AEDF為平行四邊形又AED90°，四邊形AEDF是矩形AD3，EFAD3.10(1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，ABCD，BD，BCAD.E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，BEDF.BECDF

27、A(SAS)(2)解：四邊形AECF是矩形，理由：AEAB，CFCD，ABCD，AECF.AECF，四邊形AECF是平行四邊形當CACB時，CEAB，AEC90°.四邊形AECF是矩形11(1)證明：如圖，由折疊的性質(zhì)可知：DGFG，EDEF，12，F(xiàn)GCD，31.23.FGFE.DGGFEFDE.四邊形DEFG為菱形(2)解：設(shè)DEx，則EFDEx，EC8x，在RtEFC中，F(xiàn)C2EC2EF2，即42(8x)2x2，解得x5.CE8x3.(第11題)12(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ADAB，DBAE90°，DAFBAF90°.AFBE，ABEBAF90&

28、#176;.DAFABE.DAFABE(ASA)AFBE.(2)解：MP與NQ相等理由如下：過點A作AFMP交CD于F，過點B作BENQ交AD于E，MPNQ，AFBE，由(1)知AFBE.易證四邊形AMPF，四邊形BNQE都是平行四邊形，AFMP，BENQ，MPNQ.專訓四1證明：(1)點D，E分別是AB，BC的中點，DEAC.同理可得EFAB.四邊形ADEF是平行四邊形(2)由(1)知四邊形ADEF是平行四邊形，DAFDEF.在RtAHB中，D是AB的中點，DHABAD，DAHDHA.同理可得HFACAF，F(xiàn)AHFHA.DAHFAHDHAFHA.DAFDHF.DHFDEF.2證明：(1)點E

29、，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，EFAC且EFAC，GHAC且GHAC，EFGH且EFGH，四邊形EFGH是平行四邊形又ACBD，EFEH.EFGH是矩形(2)點E，P，G，Q分別為AB，AC，DC，DB的中點，EPBC，PGAD，GQBC，QEAD.ADBC，EPPGGQQE，四邊形EQGP是菱形點撥：在三角形中出現(xiàn)兩邊中點，?？紤]利用三角形中位線得到線段的平行關(guān)系或數(shù)量關(guān)系3(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，AC.又AECF，ABECDF(SAS)(2)解：四邊形MFNE是平行四邊形證明：由(1)知ABECDF，BEDF，AEBCFD.M，N分別是BE，DF

30、中點，MENF.又四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC.AEBEBC.CFDEBC.BEDF.四邊形MFNE是平行四邊形4(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC，ABCD，AEOCFO.在AOE和COF中，AOECOF(AAS)(2)解：當ACEF時，四邊形AECF是矩形理由如下：由(1)知AOECOF，OEOF.AOCO，四邊形AECF是平行四邊形又ACEF，四邊形AECF是矩形5(1)證明：D，E分別是AB，AC的中點，DE是ABC的中位線，DEBC.又EFAB，四邊形DBFE是平行四邊形(2)解：答案不唯一，下列解法供參考當ABBC時，四邊形DBFE是菱形理由：D是AB的中點，BDAB.DE是ABC的中位線，DEBC.又ABBC，BDDE.又四邊形DBFE是平行四邊形，四邊形DBFE是菱形6(1)解：DEFG.理由如下：由題意，得AEDBGFE，ABCDBE90