考研數(shù)三真題與解析

1、1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè)則 _.(2) 設(shè)曲線與都通過(guò)點(diǎn)且在點(diǎn)有公共切線,則 _, _, _.(3) 設(shè),則在點(diǎn) _處取極小值 _.(4) 設(shè)和為可逆矩陣,為分塊矩陣,則 _.(5) 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則的概率分布為 _.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 下列各式中正確的是 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 設(shè)則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)為階可

2、逆矩陣,是的一個(gè)特征根,則的伴隨矩陣的特征根之一是( )(A) (B) (C) (D) (4) 設(shè)和是任意兩個(gè)概率不為零的不相容事件,則下列結(jié)論中肯定正確的是 ( )(A) 與不相容 (B) 與相容 (C) (D) (5) 對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量和,若,則 ( )(A) (B) (C) 和獨(dú)立 (D) 和不獨(dú)立三、(本題滿分5分)求極限 ,其中是給定的自然數(shù).四、(本題滿分5分)計(jì)算二重積分,其中是由軸,軸與曲線所圍成的區(qū)域,.五、(本題滿分5分)求微分方程滿足條件的特解.六、(本題滿分6分)假設(shè)曲線：、軸和軸所圍區(qū)域被曲線：分為面積相等的兩部分,其中是大于零的常數(shù),試確定的值.七、(本題滿分8

3、分)某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售,售價(jià)分別為和；銷售量分別為和；需求函數(shù)分別為和,總成本函數(shù)為試問(wèn)：廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià),能使其獲得的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？八、(本題滿分6分)試證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加.九、(本題滿分7分)設(shè)有三維列向量問(wèn)取何值時(shí),(1) 可由線性表示,且表達(dá)式唯一?(2) 可由線性表示,且表達(dá)式不唯一?(3) 不能由線性表示?十、(本題滿分6分)考慮二次型.問(wèn)取何值時(shí),為正定二次型.十一、(本題滿分6分)試證明維列向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是,其中表示列向量的轉(zhuǎn)置,.十二、(本題滿分5分)一汽車沿一街道行駛,需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口,每個(gè)信

4、號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等,以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù).求的概率分布.十三、(本題滿分6分)假設(shè)隨機(jī)變量和在圓域上服從聯(lián)合均勻分布.(1) 求和的相關(guān)系數(shù);(2) 問(wèn)和是否獨(dú)立?十四、(本題滿分5分)設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù),是已知常數(shù).試根據(jù)來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,求的最大似然估計(jì)量.1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】【解析】方法一：先求出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和,然后再寫(xiě)出全微分,所以 .方法二：利用一階全微分形式不變性和微分四則運(yùn)算法則直接計(jì)算.(2)【答案】

5、,【解析】由于曲線與都通過(guò)點(diǎn)則,又曲線與在點(diǎn)有公切線,則,即, 亦即,解之得 ,.(3)【答案】；【解析】由高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式可知, .對(duì)函數(shù)求導(dǎo),并令,得,解之得駐點(diǎn),且故是函數(shù)的極小值點(diǎn),極小值為.(4)【答案】【解析】利用分塊矩陣,按可逆矩陣定義有,由對(duì)應(yīng)元素或塊相等,即從和均為可逆矩陣知.故應(yīng)填.(5)【答案】 0.4 0.4 0.2【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布函數(shù)在各區(qū)間上的解析式都與自變量無(wú)關(guān),所以在的連續(xù)點(diǎn),只有在的間斷點(diǎn)處取值的概率才大于零,且,則,因此的概率分布為 0.4 0.4 0.2二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要極限可知,

6、極限 , .而極限 ,令,則 ,所以 .故選項(xiàng)(A)正確.(2)【答案】(D)【解析】因?yàn)?由收斂及比較判別法可知絕對(duì)收斂.即(D)正確.另外,設(shè),則可知(A) , (C) 都不正確.設(shè),則可知(B)不正確. (3)【答案】(B).【解析】由為的特征值可知,存在非零向量,使得.兩端同時(shí)乘以,有 ,由公式得到.于是.按特征值定義知是伴隨矩陣的特征值.故應(yīng)選(B).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè)是階矩陣,若存在數(shù)及非零的維列向量使得成立,則稱是矩陣的特征值,稱非零向量是矩陣的特征向量.(4)【答案】(D)【解析】,如果,則,即與互不相容；如果,則,即與相容.由于、的任意性,故選項(xiàng)(A

7、)(B)均不正確.任何事件一定可以表示為兩個(gè)互不相容事件與的和. 又因,從而,另外要注意區(qū)分獨(dú)立與互不相容兩個(gè)概念,不要錯(cuò)誤地把、互不相容等同于、相互獨(dú)立而錯(cuò)選(C).,不相容,均不為零,因此,即(C)不正確. 用排除法應(yīng)選(D).事實(shí)上,(5)【答案】(B)【解析】由于,因此有故應(yīng)選(B).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】若兩個(gè)隨機(jī)變量的方差都大于零,則下面四個(gè)命題是等價(jià)的：1) ；2) ；3) ；4) 和不相關(guān),即和的相關(guān)系數(shù).三、(本題滿分5分)【解析】方法一：這是 型未定式極限. ,其中指數(shù)上的極限是型未定式,由洛必達(dá)法則,有.所以 .方法二：由于 ,記,則當(dāng)時(shí),從而.而,所以.又因 .所以 .四、(本

8、題滿分5分)【解析】積分區(qū)域如圖陰影部分所示.由,得.因此 .令,有,故.五、(本題滿分5分)【解析】將原方程化為,由此可見(jiàn)原方程是齊次微分方程.令,有將其代入上式,得,化簡(jiǎn)得,即.積分得 將代入上式,得通解.由條件,即求得.所以所求微分方程的特解.六、(本題滿分6分)【解析】先求出曲線和的交點(diǎn),然后利用定積分求出平面圖形面積和,如圖： 由 得 所以 ,.又因?yàn)?所以,即,解得七、(本題滿分8分)【解析】方法1：總收入函數(shù)為,總利潤(rùn)函數(shù)為 .由極值的必要條件,得方程組即.因駐點(diǎn)的唯一,且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn).故當(dāng)時(shí),廠家所獲得的總利潤(rùn)最大,其最大總利潤(rùn)為方法2：兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格函數(shù)分

9、別為,總收入函數(shù)為,總利潤(rùn)函數(shù)為 .由極值的必要條件,得方程組因駐點(diǎn)的唯一,且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn).故當(dāng),即時(shí),廠家所獲得的總利潤(rùn)最大,其最大總利潤(rùn)為.八、(本題滿分6分)【解析】因?yàn)?所以.,兩邊對(duì)求導(dǎo),得.令,為證函數(shù)為增函數(shù),只需在上成立,即.方法一：利用單調(diào)性.由于 ,且,故,所以函數(shù)在上單調(diào)減少.又,于是有.從而,于是函數(shù)在單調(diào)增加.方法二：利用拉格朗日中值定理.令 ,所以在區(qū)間存在一點(diǎn),使得,即.又因?yàn)?所以,所以.故對(duì)一切,有.函數(shù)在單調(diào)增加.九、(本題滿分7分)【解析】設(shè)將分量代入得到方程組對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換.第一行分別乘以有、加到第二行和第三行上,有,

10、再第二行加到第三行上,所以有.若且即且,則,方程組有唯一解,即可由線性表示且表達(dá)式唯一.若,則,方程組有無(wú)窮多解,可由線性表示,且表達(dá)式不唯一.若,則,方程組無(wú)解,從而不能由線性表示.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說(shuō),可由的列向量線表出,亦等同于與是等價(jià)向量組).設(shè)是矩陣,線性方程組,則(1) 有唯一解 (2) 有無(wú)窮多解 (3) 無(wú)解 不能由的列向量線表出.十、(本題滿分6分)【解析】關(guān)于判定二次型正定這類題目時(shí),用“順序主子式全大于0”的方法最為簡(jiǎn)捷.二次型的矩陣為,其順序主子式為正定的充分必要

11、條件是各階順序主子式都大于0,所以有.解出其交集為,故時(shí),為正定二次型.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】二次型的定義：含有個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式(即每項(xiàng)都是二次的多項(xiàng)式) 其中,稱為元二次型,令,則二次型可用矩陣乘法表示為其中是對(duì)稱矩陣,稱為二次型的矩陣.十一、(本題滿分6分)【解析】記,則線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是.由于,從而取行列式,有.由此可見(jiàn)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】個(gè)維向量線性相關(guān)的充分必要條件是齊次方程組有非零解.特別地,個(gè)維向量線性相關(guān)的充分必要條件是行列式.十二、(本題滿分5分)【解析】首先確定的可能值是,其次計(jì)算取各種可能值的概率.設(shè)事件“汽車在第個(gè)路口首次遇到紅燈”,且相互獨(dú)立.

12、事件發(fā)生表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)為.所以有則的概率分布為 注：此題易犯的一個(gè)錯(cuò)誤是將計(jì)算為,這是由于該街道僅有三個(gè)設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口,僅表示所有三個(gè)信號(hào)燈路口均為綠燈,而不存在第四個(gè)有信號(hào)燈路口問(wèn)題.十三、(本題滿分6分)【解析】二維均勻分布的聯(lián)合密度函數(shù)為是區(qū)域的面積,所以的聯(lián)合密度.由連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣分布的定義,和的概率密度和為.由一維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義：, 若為奇函數(shù),積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則積分為零,即是.故 ,由于被積函數(shù)為奇函數(shù),故 .,因?yàn)榇硕胤e分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱,被積函數(shù)為的奇函數(shù),所以積分式為0.由相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式,于是和的相關(guān)系數(shù).(2)由于,可見(jiàn)隨機(jī)變量和不獨(dú)立.十四、(本題滿