考研數(shù)學(xué)三真題和詳解

1、1989年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)(1) 曲線在點(diǎn)處的切線方程是_ _ .(2) 冪級(jí)數(shù)的收斂域是_ _ .(3) 齊次線性方程組 只有零解,則應(yīng)滿足的條件是_ _ .(4) 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 則=_, .(5) 設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,方差,則由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有_ _ .二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè)則當(dāng)時(shí) ( )(A) 與是等價(jià)無(wú)窮小量 (B) 與是同階但非等價(jià)無(wú)窮小量(C) 是比較高階

2、的無(wú)窮小量 (D) 是比較低階的無(wú)窮小量(2) 在下列等式中,正確的結(jié)果是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)為階方陣且,則 ( )(A) 中必有兩行(列)的元素對(duì)應(yīng)成比例(B) 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合(C) 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合 (D) 中至少有一行(列)的元素全為0(4) 設(shè)和均為矩陣,則必有 ( )(A) (B)(C) (D) (5) 以表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷,乙種產(chǎn)品滯銷”,則其對(duì)立事件為 ( )(A) “甲種產(chǎn)品滯銷,乙種產(chǎn)品暢銷” (B) “甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”(C) “甲種產(chǎn)品滯銷” (D) “甲種產(chǎn)品滯銷

3、或乙種產(chǎn)品暢銷” 三、計(jì)算題(本題滿分15分,每小題5分)(1) 求極限(2) 已知且的二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù).求.(3) 求微分方程的通解.四、(本題滿分9分)設(shè)某廠家打算生產(chǎn)一批商品投放市場(chǎng).已知該商品的需求函數(shù)為,且最大需求量為6,其中表示需求量,表示價(jià)格.(1) 求該商品的收益函數(shù)和邊際收益函數(shù).(2分)(2) 求使收益最大時(shí)的產(chǎn)量、最大收益和相應(yīng)的價(jià)格.(4分)(3) 畫(huà)出收益函數(shù)的圖形.(3分)五、(本題滿分9分)已知函數(shù)試計(jì)算下列各題：(1) (4分) (2) (2分)(3) (1分) (4) .(2分)六、(本題滿分6分)假設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,記證明在內(nèi),.七、(本題滿分5

4、分)已知其中求矩陣.八、(本題滿分6分)設(shè).(1) 問(wèn)當(dāng)為何值時(shí),向量組線性無(wú)關(guān)?(3分)(2) 問(wèn)當(dāng)為何值時(shí),向量組線性相關(guān)?(1分)(3) 當(dāng)向量組線性相關(guān)時(shí),將表示為和的線性組合.(2分)九、(本題滿分5分)設(shè)(1)試求矩陣的特征值；(2分)(2)利用(1)小題的結(jié)果,求矩陣的特征值,其中是三階單位矩陣.(3分)十 、(本題滿分7分)已知隨機(jī)變量和的聯(lián)合密度為試求：(1) ；(5分) (2) .(2分)十一、(本題滿分8分)設(shè)隨機(jī)變量在2,5上服從均勻分布,現(xiàn)在對(duì)進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè),試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.1989年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題滿分15

5、分,每小題3分.)(1)【答案】【解析】對(duì)函數(shù)兩邊對(duì)求導(dǎo),得令得所以該曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,所以 切線方程是即為所求.(2)【答案】【解析】因系數(shù),從而即冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)時(shí)得交錯(cuò)級(jí)數(shù)(條件收斂)；當(dāng)時(shí)得正項(xiàng)級(jí)數(shù)(發(fā)散).于是,冪級(jí)數(shù)的收斂域是.(3)【答案】【解析】個(gè)方程個(gè)未知數(shù)的齊次方程組有非零解的充分必要條件是,因?yàn)榇藭r(shí)未知數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù),即為方陣時(shí),用判定比較方便.而 所以當(dāng)時(shí).所以此題應(yīng)填:.(4)【答案】,【解析】由于任何隨機(jī)變量的分布函數(shù)是右連續(xù)函數(shù),因此對(duì)任何,有.對(duì)于,有令 ,得到,其中.又因在處連續(xù),連續(xù)函數(shù)在任何一個(gè)點(diǎn)上的概率為0,因此所

6、以 (5)【答案】【解析】由切比雪夫不等式,有.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】(B)【解析】由洛必達(dá)法則有.所以與是同階但非等價(jià)無(wú)窮小量.(2)【答案】(C)【解析】由不定積分的概念和性質(zhì)可知,為常數(shù).故應(yīng)選(C).(3)【答案】(C)【解析】本題考查的充分必要條件,而選項(xiàng)(A)、(B)、(D)都是充分條件,并不必要.因?yàn)閷?duì)矩陣來(lái)說(shuō),行和列具有等價(jià)性,所以單說(shuō)列或者單說(shuō)行滿足什么條件就構(gòu)成了的必要條件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的線性組合.以3階矩陣為例,若 ,條件(A)必有一列元素全為0,(B)必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例均不成立,但有,所以(A)、

7、(B)不滿足題意,不可選.若,則,但第三列并不是其余兩列的線性組合,可見(jiàn)(D)不正確.這樣用排除法可知應(yīng)選(C).(4)【答案】(C)【解析】當(dāng)行列式的一行(列)是兩個(gè)數(shù)的和時(shí),可把行列式對(duì)該行(列)拆開(kāi)成兩個(gè)行列式之和,拆開(kāi)時(shí)其它各行(列)均保持不變.對(duì)于行列式的這一性質(zhì)應(yīng)當(dāng)正確理解.因此,若要拆開(kāi)階行列式,則應(yīng)當(dāng)是個(gè)階行列式的和,所以(A)錯(cuò)誤.矩陣的運(yùn)算是表格的運(yùn)算,它不同于數(shù)字運(yùn)算,矩陣乘法沒(méi)有交換律,故(B)不正確.若,則.而且存在時(shí),不一定都存在,所以選項(xiàng)(D)是錯(cuò)誤的.由行列式乘法公式知(C)正確.注意,行列式是數(shù),故恒有.而矩陣則不行,故(B)不正確.(5)【答案】D【解析】設(shè)

8、事件“甲種產(chǎn)品暢銷”,事件“乙種產(chǎn)品滯銷”,則 事件“甲種產(chǎn)品暢銷,乙種產(chǎn)品滯銷”可表示為則“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”,應(yīng)選(D).三、計(jì)算題(本題滿分15分,每小題5分.)(1)【解析】這是型未定式求極限.設(shè),則當(dāng)時(shí),.于是 ,令,則時(shí),所以 ,所以 ,由洛必達(dá)法則得,所以 .(2)【解析】方法一：先求,再求.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,故 .方法二：利用一階全微分形式不變性,可得 .于是有 .再對(duì)外求偏導(dǎo)數(shù),即得.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：若和在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在,且.(3)【解析】微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為,特征根為,故對(duì)應(yīng)

9、齊次微分方程的通解為.設(shè)所給非齊次方程的特解為,代入方程,比較系數(shù),得,故所求方程的通解為為常數(shù).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于微分方程特解的求法:如果,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程具有形如的特解,其中與同次(次)的多項(xiàng)式,而按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為、或.四、(本題滿分9分)64 2【解析】(1)收益函數(shù).邊際收益函數(shù).(2)由 ,得.又 .因此在取極大值.又因?yàn)闃O值點(diǎn)惟一,故此極大值必為最大值,最大值為.所以,當(dāng)生產(chǎn)量為2時(shí),收益取最大值,收益最大值為.而相應(yīng)的價(jià)格為.(3) 由以上分析可列下表,并畫(huà)出收益函數(shù)的圖形.24+0-0+,凸極大值,凸拐點(diǎn),凹五、(本題

10、滿分9分)【解析】(1)為分段函數(shù),由定積分的性質(zhì), .(2)用定積分換元法,令,則,所以 ,而 ,故 .(3) 用定積分換元法,令,則,所以而 ,故 .(4)利用以上結(jié)果,有.六、(本題滿分6分)【解析】對(duì)兩邊對(duì)求導(dǎo),得.證法一：由積分中值定理知,在內(nèi)存在一點(diǎn)使得,所以 .又因?yàn)?故有,所以.證法二：令,則.因?yàn)?所以,即在上為減函數(shù),所以,所以 .七、(本題滿分5分) 【解析】方法一：本題可采用一般的解法如下：由得因?yàn)?所以 方法二：本題還可用由作初等行變換,此解法優(yōu)點(diǎn)是少算一次矩陣乘法,可以適當(dāng)減少計(jì)算量.,第一行乘以分別加到第二行和第三行上,再第三行乘以加到第三行上,得第三行自乘,再加

11、到第二行上,第二行再加到第一行上,有,所以八、(本題滿分6分)【解析】個(gè)維向量線性相關(guān)的充分必要條件是齊次方程組.有非零解.特別地,個(gè)維向量線性相關(guān)的充分必要條件是行列式.由于,故當(dāng)時(shí),向量組線性無(wú)關(guān)；時(shí)向量組線性相關(guān).當(dāng)時(shí),設(shè)將坐標(biāo)代入有解出即.九、(本題滿分5分)【解析】(1) 矩陣的特征方程為,經(jīng)過(guò)行列式一系列的初等行變換和初等列變換,有,故矩陣的特征值為：.(2)由為的特征值可知,存在非零向量使,兩端左乘,得.因?yàn)?故,于是有.按特征值定義知是的特征值.由的特征值是可知的特征值為又因?yàn)?那么的特征值是【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè)是階矩陣,若存在數(shù)及非零的維列向量使得成立,則稱是矩陣的特征值,稱非零向量是矩陣的特征向量.十 、(本題滿分7分)【解析】(1) 由二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率求法,概率等于對(duì)應(yīng)區(qū)域上的二重積分(2) 由二維連