矢量的基本代數(shù)運算

1、Ch.2曲線論1曲線與矢函數(shù)一般地說，若一個矢量 r決定于一個(純量)變數(shù)t，我們就把它叫做變量t的矢函數(shù),寫成r(t)。在標架；=0;e1,e2,e3中，曲線的(分量式)參數(shù)矢方程為：r =r(t)工/厲X2(t)e2 X3(t)e32矢函數(shù)的導矢與曲線的切線某矢函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件是其各分量在該點都連續(xù)。若矢函數(shù)r (t) =Xi(t)ei X2(t)e2 X3(g在to連續(xù)，則其導矢為r (t)二辛r(t)=x；(to)q +x；(t)e2 +x3(t)e3dt to導矢函數(shù)r (t) =x1(t)ei X2 (t)e2 X3(t)e3有時也簡稱為導矢。設-:r = r(t)，t|

2、_ t _ t2為任意空間曲線。若矢函數(shù)在閉節(jié)t1,t2里每一個t值連續(xù)，則曲線-成為連續(xù)曲線。導矢的幾何意義：r (t0) = 0保證曲線-在to值對應點的切線存在而且r (t0)代表這條切線的方向。r (to)就叫做-在該點的一個切(線)矢(量)。若在閉節(jié)tt2里，r (t)=0而且連續(xù)，則-的切線隨著切點的移動而連續(xù)變動位置，這樣的曲線叫做光滑曲線。矢函數(shù)的微分drdr = r (t)dt，r (t)dt這個定義在形式上和純量函數(shù)一樣。若ri，r2，r3是含純量變數(shù)t的矢函數(shù)， 為t的純量函數(shù)，貝Ua (Fr) = r v Frdtd /、(ri - Q)= ri - r2dtd /、(

3、rir2) = rir2 - rir2dtd(ri r2) = ri r2 - rir2dtd(ri, r2,“)=(ri, Q,%) (ri,r2, r3) - ( ,r2, %)dt有了導矢的概念就可以引進高階導矢、多元矢函數(shù)的偏導矢、高階偏導矢和全微分等概念，也有泰勒公式，不定積分和定積分概念。3切線與法面弧長除非另有聲明，我們永遠假定，對于曲線-:r 二 r(t), I _ t _ t2r (t) =0 (即保證:上沒有奇點)，而且遇到的矢函數(shù) r(t)的各階導矢都是連續(xù)的。-在r0二r(t0)點的切線方程為r(top r (to)其中p表示切線上流動點”的徑矢，是參數(shù)。經(jīng)過r0而垂直

4、于切線的平面叫做-在r0的法面，其方程為r (t)(p-r (t。)=0其中p表示法面上流動點的徑矢。 經(jīng)過r0而垂直于切線的每一條直線都叫做 丨在r0的法線,它們都在法面內(nèi)。經(jīng)過切線的每一個平面都叫做-在r0的切面。曲線的參數(shù)是可以改變的，對于任意曲線，一個自然的參數(shù)是它的弧長。在-上取任意固定點P。作為度量弧長的始點(相當于原點)并規(guī)定一個弧長增加的正向，則對于曲線上任意點P,弧長PF0 =s有一個代數(shù)值。設 Pi為丨上另一個任意的固定點，則=1也可以寫成或者(*)2dr2闖3廠1，即dr1若在度量弧長始點 P0,參數(shù)t =t0，則tsL(t)dt或即s = 0 Jx；2 +x；2 +x；

5、2 dt這就是弧長s和t參數(shù)的關(guān)系。引進弧長作為參數(shù)，空 是幺矢。用“表示對于弧長的微導，并用a表示幺矢 竺：dsdsd ra = r =ds于是a是沿】切線上的一個幺矢，稱為 :的幺切矢。4曲率曲線丨在它上面的一點 P處的曲率是表示它在 P點鄰近的彎曲程度的一個幾何量。設Po為丨上任意固定點，P為丨上在Po鄰近的一點，它們依次對應于弧長參數(shù)值 so和S0 *S，設丨在Po, P的切線之間的角是_0)，我們規(guī)定曲線丨在Po的曲率為A6A0“阪寓Pm屈=旳對于平面曲線也ad aAsds5曲線論的基本公式撓率由于切矢a是幺矢，對于弧長 s微導，就得a a = 0 = a a若在切點Po,曲率-o

6、, a就沿一條法線的方向，這條法線叫做-在Po的主法線，而與同向的幺矢逗留點。就叫做-在Po的主法矢。曲線上曲率 = o的點一般是孤立點，叫做曲線上的在曲線-上一個非逗留點 Po,切矢a和主法矢 卩是兩各互相垂直的幺矢，令就得到第三個幺矢，它也垂直于a,叫做在Po的副法矢，經(jīng)過Po沿丫方向的直線就叫做:在Po的副法線。當切矢a的正向顛倒時，畐滋矢Y的正向也顛倒，而主法矢B的正向始終不變。在曲線:上每一個非逗留點 Po,都有三個右旋的、彼此垂直的幺矢a,y，叫做:在Po的基本矢。切線，主法線，副法線構(gòu)成一個三稜形，叫做基本三稜形，它們決定三個彼此垂直的平面： 和切線垂直的是 法面，和主法線垂直的

7、是 從切面，和副法線垂直的 是密切面。對于非平面曲線(也叫 撓曲線)，曲線在一點的密切面是經(jīng)過該點和曲線“最貼 近”的平面。a, B, 丫是彼此垂直的幺矢，任意矢量 R都可以寫成它們的線性組合R = (R a) a + (R B + (R 丫) y將a, B，丫寫成它們的線性組合” ” 9 a = (aa)a + ( aB) B + (ay) y“ B = (BQa+( BB B + (By) yY = ( y0 a + ( yB B十(丫7 y由于2 2 2 a = B = Y =1,By ya aB 0,微導，就得r aa= BB=丫丫 =0 ,ssiBy* yB =Ya*ay= aB+

8、Ba = 0若引進符號-_ - yB By則a =瓷BB =瓷a+1 丫,Y=-邛這叫做曲線論的基本公式 (Frente公式)。曲線丨在Po的撓率是衡量它在該點鄰近偏離平面曲線(或密切面)的程度。卜HY撓率的幾何意義：若Po為丨上任意固定點，P為丨上在Po鄰近的一點，它們依次對應 于弧長參數(shù)值so和So, ( - o)是】在Po, P的副法線之間的角，則曲線 -在Po的撓率為V a, 3 卩)二(r,r, r“W瓷(r x r )曲線的曲率和撓率對于剛體變換都是不變量，這兩個不變量一起，完全確定曲線的大小形狀，僅僅不能確定曲線的位置，曲線的一切性質(zhì)（包括它的一切不變量）都被這兩個不變 量完全決

9、定，他們就叫做曲線的基本不變量。6簡單的例1）漸開線和基圓的一切切線正交，它是基圓的切線的一條“正交軌線”2）對于圓柱螺線r 二 a（ c o s i ne2） pre3 dr 二a(-si ne co se2) pe3dr ds2 二 dr2 二(a2 p2)2假定 ds/dr 0，則ds = a2p2d vdrads1a2p2a(_si n e1 cose2) pe 3aa2 p23 = -(cosp sin 毛 2)1Y = a 3p(sin 丁ecos)e2) ae3a2 + p2a2可以看出：a）圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù)。b） 撓率和螺線的節(jié)p有相同的符號。當p 0時，螺線稱為右

10、旋的；p 0時， ：0，螺線稱為左旋的。一般地，若一條曲線在一點的撓率 -0,則它在該點鄰近稱為右旋的，它在那里的形狀類似右旋螺線，反之， ： 0，則成為左旋的。c） 主法矢指向曲線凹入的一方。對于撓曲線，這也是一條普遍規(guī)律。圓柱螺線的主法 線和螺線的軸垂直相交。d）螺線的升角tan =衛(wèi)a7主法線的正向無論是平面曲線，還是撓曲線，在非逗留點（K 0 ）,主法矢都指向曲線凹入的一側(cè)。8密切曲線若兩條曲線丨，*在一點Po相切，有共同的主法矢 比（因而有共同的密切面），又 有共同的曲率-.0 .0,則它們稱為在 Po密切。若1,1*在Po相切，而且曲率都是 0,它 們也叫做在Po密切，例如一條曲線在一個逗留點就和它的切線密切。若平面曲線1,1*在Po密切，則它們一般地在Po互相交叉