第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入階段質(zhì)量檢測

1、第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(自我評估，考場亮劍，收獲成功后進(jìn)入下一章學(xué)習(xí)！)(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題意的)5i1. (2009天津高考)i是虛數(shù)單位，()A 1 + 2iB- 1 2iC 1 2iD 1+ 2i5i5i(2 + i 解析：-5 = 1 + 2i.2 i (2 i(2+ i)答案：D2. 已知向量 a= ( 5,6), b= (6,5),貝U a與 b()A .垂直B.不垂直也不平行C 平行且同向D 平行且反向解析：已知向量a = ( 5,6), b= (6,5),a

2、 b= 30 + 30= 0，貝U a與 b 垂直.答案：A3. 若 a= (2cosa, 1), b= (sina, 1)，且 a/ b,則 tan a等于()1A. 2B.21C.2D.-1解析:/ a / b, 2cosaX 1 = sin a,- tan a= 2答案：A4.如圖，已知AB = a, AC = b, BD = 3 DC，用a, b表示AD，則AD等于 ()/i13B4a + 4b1 1C.”a + 4b解析：AD = AB + BD = AB + 3BC431D4a+ 4b答案：B戶4AB4415 .已知復(fù)數(shù)z滿足|z|- z = 2+ 4i,貝U z等于A. 3-4i

3、B. 3+ 4iC.- 3-4iD. - 3 + 4i解析：設(shè) z= a+ bi(a, b R)，貝U z = a bi,2+ b2- (a bi) = 2 + 4i,2 22+ b2- a= 2，解得 a = 3, b= 4, z= 3 + 4i.b= 4答案：Bz2-2z6.已知復(fù)數(shù)z= 1+ ，則二7等于A. 2iB.- 2i解析：z2- 2z1+ i 2 -2 1 + i2i- 2-2i 三z- 11+ i 1答案：7.已知命題：“若 k1a + k2b= 0,則ki= k2= 0 ”是真命題，則下面對a，b的判斷正確的是A. a與b一定共線B. a與b 一定不共線C . a與b一定垂

4、直D. a與b中至少有一個為解析：假設(shè)a與b共線，由已知得kia= k2b,如果a、b均為非零向量，與已知條件矛盾.如果 a、b中至少有一個非零向量，明顯的與已知矛盾，排除A、D.把k1a+ k2b= 0兩邊平方得k1a2 + k2b?+ 2k1k2a b= 0,因?yàn)閗1 = k2= 0,所以a b不一定等于0，排除C.答案：B8.若平面向量a=( 1,2)與b的夾角是180。，且|b|= 35,則b的坐標(biāo)為()A. (3， 6)B. ( 3,6)C. (6, 3)D . ( 6,3)解析：由題意設(shè)b=入a ?( 1,2).由 |b|= 3 , 5得 T2 = 9. ?f= 因?yàn)閍與b的夾角是

5、180.所以 3.答案：A9.(文)設(shè)向量a與b的夾角為0, a= (2,1), a+ 2b= (4,5),則cosB等于A.10B.3 10103C. 3解析：設(shè) b= (x, y),因?yàn)?a= (2,1), a+ 2b= (2,1) + 2(x, y)= (2 + 2x,1 + 2y)= (4,5),即 2 + 2x= 4,1 + 2y= 5，解得：x= 1, y= 2,即 b= (1,2),故 COS0= |a|b|=,5。5a b 2, 1-1, 22X 1 + 1 X 245.答案：D9.(理)已知 |a|= 2|b|,且 0,若關(guān)于x的方程X2+ |a|x a b= 0有兩相等實(shí)數(shù)

6、根,nC.3nB. 32n解析：由關(guān)于x的方程有兩個相等實(shí)數(shù)根可得2= |a| + 4a b= 0? a b=cos a, b就a b 4= 2 |a| |b|JaL212又a, b 0, n, a, b3 .3答案：D10. （2010深圳模擬）點(diǎn)M是邊長為2的正方形 ABCD內(nèi)或邊界上一動點(diǎn)，N是邊BC的中點(diǎn)，貝y aN AM的最大值是A. 2B. 4解析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則N(2,1)，設(shè) M(x，y). AN=(2,1) (x, y)C. 5BC = 0,且AC和BC滿足=2x+ y,/ OW x 2,0 w yw 2,-0w 2x+ yW 6.答案：D,則厶ABC為A.等邊

7、三角形B.等腰非直角三角形等腰直角三角形D.均為單位向量.由|.由BC=1X 1X 說” C= 45C.非等腰三角形11. （2010安慶模擬）已知非零向量 AB ,故三角形為等腰直角三角形.答案：D12.設(shè)兩個向量a= (?d- 2,2 2入一cos a,b= (m,m+ sin a)，其中入m,a為實(shí)數(shù)若a=2b,則乜的取值范圍是mA. -6,1B. 4,8C.(汽 1D. 1,6T 入 + 2= 2m, 解析：/ a= 2b, a22介入cos a= m+ 2sin a22消去 人 得 4m 8m + 4 cos a= m+ 2sin a,即 4m2 9m+ 2= (sina 1)2./

8、 1 w sinaW 1, a 4 (sin a 1)2 0,9a 4W 4m2 9m+ 2w0,1解得4WmW 2,2m 2m2=2-mc 6,1.答案：A、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分請把正確答案填在題中的橫線上）13.已知復(fù)數(shù) Z1= m+ 2i, z2= 3-4i,若可為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m=,m+ 2i3-4im+ 2i 3 + 4i 3m 8+ 6+ 4m i25=25是實(shí)數(shù),a6 + 4m= 0,故 m=32.答案：-314.已知拋物線 y2= 4x與直線y= 2x 4交于A、B兩點(diǎn)，如果在該拋物線上存在點(diǎn)C,T TH使得OA + OB =入OC （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)

9、數(shù) 入=.2解析：由已知可設(shè)C（,m）,由題意易解得 A（1, 2）, B（4,4），則有（5,2）=入2層,m）,解得入=15.答案：115.已知平面向量 a, b, c滿足a+ b+ c= 0,且a與b的夾角為135 c與b的夾角為120 |c|= 2，則 |a|=.解析：根據(jù)已知條件，組成以|a|, |b|, |c|為邊長的三角形，由正弦定理得 怛Lsin（180 - 120 = Ic|sin 180 - 135 又|c|= 2,所以 |a|= 6.答案：616 .在直角坐標(biāo)系 xOy中,中,AB = i + j,ACi、j分別是與x軸，y軸平行的單位向量,=2i + mj,則實(shí)數(shù) m=

10、.若直角三角形 ABC解析：本題考查了向量的運(yùn)算.由已知可得 BC=7C - 7B=i+(m- 1)j.當(dāng)A = 90 寸,AB -AC = (i + j) 0+ mj)=2+ m= 0, m=- 2.當(dāng) B = 90時，BA -BC =-(i + j) i + (m- 1) j=-(1 + m- 1) =- m= 0, m = 0.當(dāng) C = 90時 CA -CB =- (2i+ mj) - i-(m- 1)j2=2+ m(m 1) = m m + 2= 0,此時m不存在.故m= 0或2.答案：0或2 三、解答題（本大題共6小題，共74分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17

11、.（本小題滿分12分）已知復(fù)數(shù)z滿足:|z|= 1 + 3i z,化簡2 21 + i 3 + 4i2z解：設(shè) z= a + bi(a, b R)，而 |z|= 1 + 3i-z,-a2+ b2 + a- 1 = 0 則a=- 4,$b= 3,即a2+ b2- 1 - 3i+ a+ bi = 0,b-3= 0-z= 4 + 3i.2 21+ i 3 + 4i2z2i 7 + 24i2 4 + 3i24 + 7i=3 + 4i.4 3i18.（本小題滿分12分）如圖，在平行四邊形 ABCD中,M , N分別為DC , BC的中點(diǎn)，已知 7T TAN = d,試用 c, d 表示 AB , AD

12、.法一：設(shè) AB = a, AD = b,貝U解:a=b=AM+MD=c+ (=c.將代入得a= d+ ( 2)c+ ( 1a)42? a= 3d 3c,代入/口1 4242得 b= c+ ( 2)(d 3c) = 3c 3d.故 AB = fd fc, AD = |c 3d.=a, AD = b.所以BN1=1b, DM1=2a，法二：設(shè)ABc= b+因而b=3(2 c d)1 d= a+ 尹即7B =細(xì)0, AD =紅d).19. (2010安慶模擬)(本小題滿分12分)已知向量a= (cosx, sigx), b= (co, sin),其中 x 0, n,(1)求 a b 及|a+ b|

13、;3若f(x)= a b 2相+ b|的最小值為 2 求 入的值.3 x .3 x 解：(1)a b= 8穿8專Sin：xsin2= cos2x,|a+ b|= - 2+ 2cos2x = 2cosx.(2)f(x) = a b 2 開a+ b|= cos2x 4 ；cos2 2 2=2cosx 1 4?cos= 2(cosx 片2 入一1.注意到x 0, n，故cosx 0,1,若 床0，當(dāng)cos1,當(dāng)cost = 1時，f(x)取最小值1 4?,令1 4匸一2 且?1，無解.1綜上：冶2為所求.20.(本小題滿分12分)在厶ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為 a、b、c,已知向量 m=

14、 (1,2sinA), n= (sinA,1 + cosA),且滿足 m/ n, b+ c= 3a.(1) 求角A的大??；(2) 求 sin B+ 6 的值.解：(1)t m / n, / 1 + cosA= 2sin2A,2 1即 2cosA + cosA 1 = 0,解得 cosA= 1(舍去),cosA =冗又 0 V Av n, A= 3.3(2) T b+ c= . 3a, sin sinB + sin由正弦定理可得 sinB+ sinC = 3sinA = 3又 C = n (A+ B)=即；sinB +21.(本小題滿分 12 分)已知向量 a= (cosx, sinx), b=

15、 ( cosx, cosx), c= ( 1,0).(1)若x = n，求向量a, c的夾角；當(dāng)x j 9n時，求函數(shù)f(x) = 2a b+ 1的最大值.解：(1)設(shè)a, c的夾角為0,當(dāng)x=才時，costcos a, c|a| | c|x+ sin2x+ 02一 cosx= cos6= coS6_./ 0 w n, a,c5 n石.2(2)f(x) = 2a b+ 1 = 2( cosx+ sinxcosx) + 1=2sinxcosx (2cofx 1) = sin2x cos2xn x 2,9 n=2sin(2x才).n 廠.3 n-2x4 7，2n,n- 2-sin(2x-4) 1,云,當(dāng) 2x，即 時，f(X)max = 1.21x22.(本小題滿分 14分)已知 m R, a = ( 1, x + m), b= (m+ 1, 一)，c= ( m,).xx十m(1)當(dāng)m= 1時，求使不