級(jí)數(shù)與廣義積分

1、第五章級(jí)數(shù)與廣義積分§ 51收斂性的討論一、基本概念與收斂的必要條件1. 級(jí)數(shù)與廣義積分收斂性定義 .-bo-be(1)設(shè)a /是數(shù)列，則a an稱為級(jí)數(shù)稱S a1- -an為級(jí)數(shù)an的前n項(xiàng)部分和.ngn衛(wèi)若數(shù)列任收斂，則稱此級(jí)數(shù)收斂，并稱極限值|im Sn為級(jí)數(shù) f an的和設(shè)f x是定義在a, b上的函數(shù)，其中b三R = R _. _ ：,：二若對(duì)任意t ：= a,b , f x在a, t上可積，且極限lim f x dx存在，則稱積分b f xdx收斂，或f x在la, b上廣義可積，且記f f (x qx =lim jf (x dx 當(dāng)b R且f (x 在點(diǎn)b附近無(wú)界時(shí)，稱

2、b為瑕點(diǎn).當(dāng)b為或瑕點(diǎn) at:b a時(shí)，稱b f X dx為廣義積分類似可定義a為-二時(shí)廣義積分bf xdx的收斂性.設(shè)f X是定義在a,b上的函數(shù)，其中a,bR*,定義ab f xdx匚f Xdx :f Xdx,其中Ca,b .若j f(X dx與f f (x dx都收斂時(shí)，稱積分f f (x dx收斂，易證上述定義與c的選擇無(wú)關(guān)aca2. 級(jí)數(shù)收斂的必要條件若級(jí)數(shù)a an收斂，則lim an =0 但是由廣義積分"f x dx收斂，不能推出lim f x =0 n 4n一 -3x-例1存在1,訟上廣義可積的正值連續(xù)函數(shù)f X，使得Xlm；f(x)H0解 定義函數(shù)g(x)如下：當(dāng)n

3、 Mx ： n 丁1古時(shí)，g(xro；當(dāng)-/注汕彩時(shí),g(x) =2n2 x -n -12 ；當(dāng) n 1 基 _ x ： n 1 時(shí)，g(x) - -2n2 x - n -1 其中 n 取遍l門丿2n任意自然數(shù)函數(shù) g(x)的圖像如圖所示再令f X =g(x) 丄，則f X在1,；上連續(xù)恒正X且J f (x Qx = b (x dx + r篤dx =E+1是收斂的，但是Jjm/(x卜2式0 xn nx-例2設(shè)f (x)在a,；上一致連續(xù)且 ：'f X dx收斂,證明|im / O0 證明 由于 f (x)在 3,j ：上一 致連續(xù)，；.：匸0,二0 當(dāng) x',x'

4、9;Ga,b 且 x'-x''：、；時(shí)，有f(X' J- f(X'' be E.由于廣f(X dx收斂，存在 M >0 ,當(dāng) x. AM 時(shí)，(t dt £拓由于x .-x、f tdt_f x彳=【x切o i(x丸蘭n葉i ©沖蘭汙創(chuàng)=磁所以|f (x <X j -x r tdt_f x；.：2 . 即 f x ：2 ；這證明了xf(xA°.證明由于:：f x dx收斂，一； 0，例3設(shè)f (x)在a, ：上單調(diào)遞減非負(fù)且:f x dx收斂，證明|im xf x=0.上單調(diào)遞減非負(fù)，從而f2x x存在M

5、.0,當(dāng)x. .M 時(shí)，dt近.又 f (t)在 lx，2xl<f(t gt c蘭.故有0蘭2xf(2x 因此當(dāng)x. >2M時(shí)，0 遼xf x ：；,所以 Jim xf x =0.例4設(shè)f (x)在a，亠上可微，f'(x)可積，且當(dāng)x 時(shí)，f (x)單調(diào)遞減趨于零.又"f x dx收斂，試證'xf' x dx收斂.證明 首先f(wàn) (x)非負(fù).否則，若存在x1使得f(xj：0,則 x ax時(shí)恒有f (x)蘭f (xj c 0 ,從而：f x dx發(fā)散，而這與已知條件矛盾.其次由xf' (x dx = Jxdf (x )= xdf (x )= x

6、f (x)-a：f x dx，且 a： :f xdx 收斂可知，xf' (x dx收斂與否取決于xumxf (x是否存在.由例3證明過(guò)程可知xlim -xf x H例5設(shè)f (x)在la,訟)上有連續(xù)可微函數(shù)，積分廣f(xdx和f'(xdx都收斂.證明mj x =°.證明 要證Xr : -' , f(x)有極限，由歸結(jié)原則，只要證-況：)二恒有：f(xn)收斂.事實(shí)上，由°f '(X dx收斂，由Cauchy收斂準(zhǔn)則，V® >0 ,存在A >a ,當(dāng)x1,x2>A時(shí)，恒有f'(x dx =| f (x2f(

7、Xi D V呂.于是 P&n t 訟,存在 N a0 ,當(dāng) n,m a N 時(shí)，有 xn, xm> A,從xlimf (x卜口存在.下證而fm f'(x dx Tf(xm )f(xn )«.所以f(Xn)收斂.由歸結(jié)原則x n“o.若。，由局部保號(hào)性，存在°,當(dāng)X，時(shí)有f(x)匸.0.從而A，時(shí)2Af (xdxAt訟(當(dāng)At "He時(shí))這與 廣f (x收斂矛盾同理可證° <0也不可能，故、收斂的充分條件1.比較原則設(shè)壬an與壬bn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在N >0 ,當(dāng)n > N時(shí)，an蘭0 ngng(1)若'

8、bn收斂，則Fan收斂；(2)若a發(fā)散，則bn發(fā)散推論 設(shè)an與壬bn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在anbn(1)若f bn收斂，則f a收斂;發(fā)散，則F bn發(fā)散.對(duì)廣義積分有類似的比較原則例6設(shè)是單調(diào)遞增的正數(shù)列,證明(1)當(dāng)仏有界時(shí)，£%虬收斂;(2)當(dāng)ub無(wú)界時(shí),抖Un發(fā)散.Un 1Un1證明(1)由條件知lim unytc存在,設(shè)lim un二u.因?yàn)閁n =UnUn 1 一 UnUn 1 UnUn 1Un 1UiUk 1 UkU -U1T U1U1Ui由比較原則級(jí)數(shù)瓦1Un收斂.Un 1當(dāng)u沅界時(shí),有肌丿，仁.由于1 - UkUk十丿 kI=ZUk1 -Uk；pUk 1k 

9、3;對(duì)固定的n ,取充分大的p使得土HofZ 1Un發(fā)散U k 1 - UkUn -p 1Un!：.p 1Un 1Un “p 1 Un-二 1n T-,則有 '、2Un -p 1Uk1 kUk 12UnUn -p 1由Cauchy收斂準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)練習(xí) 設(shè)f (X)在1,；上連續(xù)，對(duì)任意X1,燉)有 f(x)>0.另外 |im ln f(x)=qln x1 ：=f xdx收斂.limx：I n x證明因lim ln f x 一，故-；0 ,存在A .1 ,當(dāng)x A時(shí)有l(wèi)n f x 一，.；，即 ln xln f x ：_，； l n x =l n x -'；,所以 0 ： f

10、 (x) ： 1(當(dāng) x A 時(shí))因/ ",故取 0 ：:;：: -1 ,x :匕是，-；1,所以_L dx收斂由比較判別法X '-；i ' 'f x dx 收斂.2.比式判別法設(shè)J a是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若極限lim也二q存在，則n ：an(1)當(dāng)q ：1時(shí)級(jí)數(shù)二a收斂；(2)當(dāng)q .1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí)1試證如下級(jí)數(shù)收斂(1) ,2 2 - 2 2 -2 2 2-2 2 2 ；提示(1)令 An 二 2.2 、23. 3 - 6. 3 -、66：:2 ， an 彳=2 An (其中 A0 = 0),易證'imrAn = 2 .lim an-1lim'

11、心n=.2-代丄2 - .2 x=limlimX 22xX 21川歸結(jié)原則).2練習(xí)2設(shè)f x在x=0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 且龍叫f X=0 證明級(jí)數(shù)f -絕對(duì)收斂.證明1由lim f xx )0原則，lim -ni1=0得,f 0 = 0, f 0=0.又 lim f x = lim x = f'' 0 .由歸結(jié)'xx 刃 x2x 刃 2x212“im號(hào)x Q x21 f'' 0 *，故 rlix22xn 2 n2n2而級(jí)數(shù)二收斂，由比較判別法知證明2由lim'-0得,f 0 =0, f 0 =0. f x在x = 0某鄰域內(nèi)的二階泰勒展

12、式為x )01 f：xx2,0 川 <1f x 二 f0i亠 fOxf Hx x2 口2 2故a f i1絕對(duì)收斂.nd n由f "(x璉續(xù)知，2M a 0 ,有f "(x聲M，從而有f例7 （比式判別法的推廣）設(shè) f 是正項(xiàng)級(jí)數(shù),則n 4當(dāng)lim也小時(shí)，級(jí)數(shù)J an收斂；（2）當(dāng)lim an1 ：:1時(shí),級(jí)數(shù)"an發(fā)散n）： ： a.n AnT a.n J證明（1）設(shè)q = lim an 1 .小存在； 0使得q ； ：: 1.由上極限的性質(zhì),存在N . 0 ,當(dāng)n . N _nTan w:q ； ：1故有 aN 1 ： q ； a”aN 2q ； aN

13、.i： ：.q 亠i aN ,aN.pf:.q亠 J i aN ,p由于等比級(jí)數(shù) 匚（q+g ）收斂，由比較原則，卄收斂，所以級(jí)數(shù)瓦an收斂.PgP 生n（2）設(shè)q =皿也:：1 ,存在；0使得q -1由下極限的性質(zhì)，存在N -0 ,當(dāng)n N時(shí),anan 1anq r. >1.因此 a. 1 a.所以原級(jí)數(shù)是發(fā)散的3. 根式判別法 設(shè)送an是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若極限Hm器瓦=|存在，則nJ' _（1）當(dāng)I ：1時(shí)級(jí)數(shù)；n收斂;（2）當(dāng)丨.1時(shí)級(jí)數(shù)Fan發(fā)散.n珀nW（根式判別法的推廣）設(shè)壬気是正項(xiàng)級(jí)數(shù),則n 1當(dāng)liman <1時(shí)，級(jí)數(shù)二an收斂；（2）當(dāng)皿鼻注時(shí),級(jí)數(shù)宀：可發(fā)散證

14、明可仿照例7進(jìn)行.4. Raabe判別法（極限形式）設(shè)壬%是正項(xiàng)級(jí)數(shù)且極限n吐（1）若r 1,則級(jí)數(shù)收斂;（2）若r ：:1,則級(jí)數(shù)發(fā)散n證明 取呂>0使得0=一呂>1.存在N >0,當(dāng)n>N時(shí)，n 1 _an+>r0,由此得 < %丿0：:：1取P滿足1 ： P ° 由于ann故當(dāng)n充分大時(shí),r0n.0,即所以an1an1n 1 p .因此由1收斂與比較原則的推論可知 =1池 np/、丄(3)當(dāng)n充分大時(shí)，有n 片半,an+n_1 _下n _1"an發(fā)散.ndIan 丿ann1由調(diào)和級(jí)數(shù)1發(fā)散與比較原則的推論可知n 1 n例8討論級(jí)數(shù)&

15、#39;、；-2n 一1 ! 的斂散性.4 ：2n !解設(shè)ann 1n 2P2n 212n 2(此處利用已知極限丄上 =p),由Raabe判別法x(n -'),當(dāng)p 2時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)p ：2時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)p =2時(shí)由推論Raabe判別法的證明過(guò)程知級(jí)數(shù)發(fā)散=0.例9討論級(jí)數(shù)的斂散性.其中x 0.花(x +1 収 +2(x + n )解設(shè)"匚+1認(rèn)+2嚴(yán)(x+n)由于nin 亠1nxI =x n 1 x n 1由Raabe判別法，當(dāng)x >1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)x <1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)x =1時(shí)級(jí)數(shù)為丄+丄卡，因此級(jí)23，數(shù)是發(fā)散的.例10設(shè)數(shù)列&單調(diào)遞減非負(fù)，證明級(jí)

16、數(shù) 壬an收斂當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù) f 2kk收斂.n ：!k=0證明 設(shè) Sn =a1 a2 an, Tk =a1 2a2ka2k.當(dāng) n ：2k 1 時(shí)，Sla1 (a2a3)(a2'-a2k )乞a1 2a2，2k a2k二Tk .因此若級(jí)數(shù)產(chǎn)2kk收斂,則數(shù)列 瓦有界，從而數(shù)列 6有界，這推出級(jí)數(shù)產(chǎn)an收斂當(dāng)k .0n 丄n . 2k時(shí)，1kJ1a 2 ki k.2故由級(jí)數(shù)E務(wù)收斂可推出級(jí)數(shù)n 4"2ka2k 收斂.k-0Sn _a1a2 (a3 a4)亠亠心?*亠亠a2k)a1a2亠2a4亠 亠2例 11 設(shè) an 0（n=1,2，） ,證明數(shù)列（1 +印01+a2廠（1+

17、an滬級(jí)數(shù)送an同為收斂或發(fā)散n證明 令 un = 1 印 1 a21 an,則 ln un =1 n 1 a1 In 1a2廠 Tn1 an.所以U"攵斂二訕尙液斂二' 'ln（1 an）收斂.由于當(dāng)lim aG時(shí)有l(wèi)im叫！2 y,所 n二心n心 anSS-be以送In（1 +an）與送an同為收斂或發(fā)散，從而數(shù)列比與級(jí)數(shù)瓦an同為收斂或發(fā)散n 衛(wèi)n £n注當(dāng)數(shù)列（1 g 1 +a2廠（1 +an ）收斂時(shí)，稱無(wú)窮乘積,口 +an 收斂，其極限值稱為無(wú)窮乘積n=111a n*an同為n 二壬嘰-an|與級(jí)數(shù)壬的值.否則稱無(wú)窮乘積發(fā)散例如發(fā)散而收斂 例12

18、設(shè)an式G （n =1,2,）且n|man=aHG,證明級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散證明令unan 1 a n則Un|an屮 - an|Vn11an -+an=an 十 _an= anan t a2 (nT g所以級(jí)數(shù)-to7 Un與級(jí)數(shù)F V同為收斂或發(fā)散例13設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)an是發(fā)散的，Sn表示該級(jí)數(shù)的前8 an項(xiàng)部分和證明（1）級(jí)數(shù)邑 也是k =G Sn:=a發(fā)散的；（2）級(jí)數(shù) 2收斂.n=1 Sn證明（1） 由條件知s ?單調(diào)遞增趨于-.我們有akan 1 學(xué) an 2. aman 1am _ Sm _ SnSn 1Sn 2SmSmSm固定n ,令則0 因此存在N .0,當(dāng)m . N時(shí),有魚SmSm.1

19、 .所以當(dāng) m .max：n, N 2 'mk-1 Sk1 : : a=_ 由Cauchy收斂準(zhǔn)則級(jí)數(shù)_n發(fā)散2ak1 ；Sk和有界，故該級(jí)數(shù)收斂.Sk 丿Si_ 1k_2 SkSkja112 <，此級(jí)數(shù)部分Sna15. Leibniz 判別法 設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(_1 an (其中an啟0)滿足n 1 a渾調(diào)遞減;(2) iim an =0,則級(jí)數(shù)"_1 nan收斂.ann 46. Abel判別法 設(shè)(1)級(jí)數(shù)a_an收斂；(2)數(shù)列in 單調(diào)有界，則級(jí)數(shù)"anbn收斂7. Dirichlet 判別法 a nn -4設(shè)(1)級(jí)數(shù)、an的部分和有界；(2)數(shù)列in 單

20、調(diào)遞減且lim bn =0,an n 4則級(jí)數(shù)v anbn收斂n 4對(duì)于廣義積分有相應(yīng)的Abel判別法與Dirichlet 判別法，這里就不再?gòu)?fù)述了 例14設(shè)函數(shù)f x在a, ：上f x > 0,且單調(diào)遞減，并對(duì)任意的A a , f x在'a, A】上-be-beo可積.試證明： f x dx與 f x sin2 xdx具有相同的斂散性證明(1)當(dāng)f X單調(diào)遞減到 0時(shí)，則由Dirichlet判別法知， f x cos2xdx收斂從而由af x sin2 xdx=f x 1一dx=-a22f xdx 與f x sin2 xdx具有相同的斂散性a(2)當(dāng)f X單調(diào)遞減到某個(gè)正數(shù) A

21、時(shí),則對(duì)無(wú)論多么大的數(shù)"bof x dx、I f x dx A >a'a+oc (6 T °o-2a2a*、.2f x sin xdx，i f x sin xdx A sin xdxa *“七A f 怖1 _cos2x 1 j： 1Adx A、a 2 2故這兩個(gè)積分都發(fā)散2abef x cos2xdx 知,二，有因f xi，O,且單調(diào)遞減，故f x單調(diào)遞減到0或到某個(gè)正數(shù) A.n例15討論級(jí)數(shù)v -1的斂散性.n -1p 豐n n(1) 當(dāng)p豈0時(shí)，通項(xiàng)不收斂到0 n -；：;此級(jí)數(shù)發(fā)散；(2)11當(dāng)p 1時(shí)，亠：:：p nn n1(3)_ 1當(dāng)0 :： P乞

22、1時(shí)，-n4 np收斂,1斗單調(diào)有界，應(yīng)用Abel判別法知原級(jí)數(shù)收斂.因?yàn)閚下丄1 n > :,故原級(jí)數(shù)條件收斂.nn，而瓦1收斂，由比較原則知，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; n=np例16設(shè)an 0 (n =1,2,)，且極限lim nI； _an* :存在且大于0證明級(jí)數(shù) 匚(_1性.收斂.an 丿n證明 由Leibniz判別法，只要證 玄？單調(diào)遞減趨于0.由條件lim rn .存在ro0與Ni .0 ,當(dāng)n . Ni時(shí),n 1丑Ur。 0an,由此得：1.該不等式說(shuō)明*an 單調(diào)遞減的.取pnan 1an齢1丄-1n 慎n七丿 一1 1 'nt r° p >0'

23、0故存在N20,當(dāng)n N2時(shí)，£_I n十1丿1>0,即n所以當(dāng) n max<.N1, N2 時(shí),an 1an滿足 0 ： p ：ro.當(dāng) n時(shí),有an.不妨設(shè)當(dāng)“-1時(shí)該不等式成立.則用數(shù)學(xué)歸納法可證明 a看由此可得n駁n=°.例17討論級(jí)數(shù)_1 n 1 2n 一1 !卩的斂散性.n z!_ 2n!解設(shè)a /加-1 !,由例8知級(jí)數(shù) fa當(dāng)p>2時(shí)收斂，當(dāng)p蘭2時(shí)發(fā)散.因此當(dāng)pA2時(shí) n _2n!nm n30級(jí)數(shù)送"(J+an絕對(duì)收斂，此時(shí)有n三an 1an_ 1 p2n 2 n ,故12n 22n H-2an 1P.由例16知當(dāng)I =an2p

24、 .0時(shí)級(jí)數(shù)瓦°(_1 j斗an條件收斂n -1由收斂的必要條件知當(dāng)p 0時(shí)，Iim 2n -1! P _0因此當(dāng)p ：0時(shí),(2n 芋_故級(jí)數(shù) f (_1 J+an發(fā)散本題的結(jié)論可總結(jié)為：n 4/ 1 嚴(yán) |(2n -1 9! n一 2 n!'p .2時(shí)絕對(duì)收斂0 ： p _ 2時(shí)條件收斂.p蘭0時(shí)發(fā)散例18證明級(jí)數(shù)J :型是條件收斂的n =2 I n n證明 令 an =sin n , bn丄則% ?單調(diào)遞減趨于0又由三角恒等式In n3；cos cos m -21)2丿,所以12 si n2Z sin n <n=21.1sin2由 Dirichlet判別法知級(jí)數(shù)f

25、龜收斂.nJ In n下面證明7 sin n發(fā)散.:.|sin n八：sin2k心In nn z2 I n nk4 In 2ksin 2k T： IIn 2k 1sin 2k| 亠 sin 2k 1>zkaIn 2k 1設(shè) f (x )= sinx+ sin(x +1D，顯然1f x 0且f x是連續(xù)的周期函數(shù)因此存在1.0使得f(x)Al所以f四-be>IZn總 In n k In 2k 11由此可知級(jí)數(shù)f sin nn=2發(fā)散In n例19討論級(jí)數(shù)f目2空的斂散性二 I 2n 丿 n1 I .丄同例18可證2 n解 當(dāng)x=kn時(shí)級(jí)數(shù)顯然收斂當(dāng)xHkx時(shí)，令an =s inn x

26、，bn、an部分和有界下證£n 1單調(diào)遞減趨于0.n z!1 1 1 12 n 1 n n 1bn bn 1 二丄 1 丄2 川1,2 n 丿 n+1 i由Dirichlet判別法知級(jí)數(shù)送anbn收斂n =1用類似于例18的方法可證該級(jí)數(shù)是條件收斂的例 20 若；nxn :收斂，n xnn =2證明令=Xi,v =1，則二n_Xn t收斂，則級(jí)數(shù) Fxn收斂.nL Vi =n .利用Abel變換得到i A.nn丄X Xi 1 =礙 Xn £ Di(xi 卑一xi ) =n xn i(Xi屮一x )i 1i _1i 1-ie8n 亠由于送 n (Xn 半一 Xn)=：L( n

27、+10Xn 卑一Xn)，. 而，n 1n 1n +1-to、n 1 Xn 1 Xnn 1列'nxnnn +1單調(diào)有界，級(jí)數(shù)八I xn -xn丄收斂.由Abel判別法知級(jí)數(shù)J n xn 1 _x n收斂.再由數(shù)n 2n丄的收斂性即可知級(jí)數(shù)Xn收斂n =1練習(xí)設(shè)0an收斂，n$QOlim na. =0 .證明:n :cdcd- n(an _ an 1 )an nJnJ記級(jí)數(shù)二n(an -a*)的前n項(xiàng)和為Sn，貝Un -1Sn-(ai- a2)2(a2-a3)n (%- ani ) =aia2an - n務(wù) i ,OQ n 一 an 1)二an nV證明n°c而im 一nan 1

28、 二 Hm (n 1)an 訂=0，所以' n(an n I n * 1n=1例21設(shè)p .0,級(jí)數(shù)v _in 1 _L的和記為S.證明1 :S :：: 1 1111.''-, I”,I2P 3P4P 5PJ L t：2n -1 P 2nP1，則 f' x - -PXJ，f'' X 二 p(p 1)X2X證明顯然另一方面,n 41 1STy 歹1丄2P 3¥n1p-J"丄一丄p 4P當(dāng) x>0 時(shí)，f''(X)A 0.因此f x為嚴(yán)格下凸函數(shù) 故對(duì)任意Xi,X2 0 ,當(dāng)Xi =X2時(shí)，有f(Xi +x2

29、f(Xi )+ f(X2 )取2X =2n -i,x2 =2n i,則 2f 2n : f 2n -1 f 2n 1即 f 2n -1 - f 2n f 2n - f 2n 1 所以丄丄丄，丄_丄丄丄2P 2P 3P 3P 4P 4P 5P因此s匕一丄丄)+丄.2P 3P 4P 5P2nP 2n 1 Pn丨例22討論級(jí)數(shù)v -d的斂散性.n 1 n2n -1 P 2n P 2n P 2n - 1 P1_s .所以 S -.21 _丄丄8915-ho1n 1k1+ 21 + + 1k +1（k +1 2 -1今 11令 ak =p * 卡一 +k k 1k 1 2 -1由于厶二：2 k 21 k

30、 1 2,故k2k2 k -1 k2 k k 1 2 _1 k k kkk 丄 k +122 2k k -1 k 1-1 k 1同理可證gk2 akk因此ak 是單調(diào)遞減趨于o的.所以級(jí)數(shù)& -1 k 一 * 2 n4k2 k21k 1 2 -1收斂，從而原級(jí)數(shù)收斂注 上例中實(shí)際上是證明了加括號(hào)后的級(jí)數(shù)是收斂的問(wèn)題是：一個(gè)變號(hào)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂能否推出原級(jí)數(shù)是收斂的 ？在一般情況下是不行的.例如級(jí)數(shù)1_11_1 是發(fā)散的，但加括 號(hào)后的級(jí)數(shù)1-11_1 收斂我們有以下的定理.定理將級(jí)數(shù)Fan加括號(hào)，使得同一括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)具有相同的符號(hào)n 2則原級(jí)數(shù)也收斂，且兩個(gè)級(jí)數(shù)的和相等.如果加括號(hào)后的級(jí)

31、數(shù)收斂，證明 設(shè)加括號(hào)后的級(jí)數(shù)為 at .an (an廠-aj 8Ak k=1其中Ak=ank1 Vnk （k =1,2，且設(shè)n0=0）的部分和為Sn二a1飛2 Vn，則Snk=A1A2恥 7'Ak由條件知級(jí)數(shù)vAk收斂.因此極限Jim$兀存在，記S為其極限值.設(shè)nk冬n乞nkd，則當(dāng)Akdkzi中的項(xiàng)全為正項(xiàng)時(shí)， _Sn ：Sn；則當(dāng)Ak1中的項(xiàng)全為負(fù)項(xiàng)時(shí)，S _Sn ：Sn因此 nimT =s，即 f an“八-n 1例23討論廣義積分-toAk k 11 '-1 二！dx的斂散性x解 顯然該積分不是絕對(duì)收斂的.設(shè)n <y!x <n+1,則n2 Ex2 c(n+

32、1f.lx n+-1 t、dx =Zx心，丄-1 klnt k J-1 nlnk±k2n-1 kl nJ -1 nl n4. kikn由Leibniz判別法，級(jí)數(shù)、：一 _i k in 1 丄 是收斂的,而 己I k丿(-1 ) ln<ln(n L 2ln ” +1 Ft 0，(xt 處)nnI n 丿所以積分-1 "dx是條件收斂的例24將級(jí)數(shù)1 一丄 1 _! 的項(xiàng)重新排列，使得按原有順序先排 p個(gè)正項(xiàng)與q個(gè)負(fù)項(xiàng)，然234后再排p個(gè)正項(xiàng)與q個(gè)負(fù)項(xiàng)，得13 2p -1證明此級(jí)數(shù)收斂并求其和12q2p 114p -112q 2=ln 2In pC；2p2 2 p12&

33、quot;C 令_丄In p C 丄; p 2( 2證明 由lim 1-1 - 亠1In n ，其中C是Euler常數(shù).令23 n 丿Hn =111-，則Hn=1 nn C 仆其中；n 0 n：23n111111+ + =H q =_ln qCq ；242q2q 22我們有H2p Hp =ln2 ln p 2p -1p 2 p將重排以后的級(jí)數(shù)的符號(hào)相同的相鄰的項(xiàng)加括號(hào)13+2q 丿 0+1+ 14p -1 丿它的前2n項(xiàng)部分和為S2n所以原級(jí)數(shù)是收斂的，其和為特別地有1丄11.1-1 ln2, P =1，q =22436821 1 1111= -ln2, p =2，q =132574211 -

34、1111_ 1 _ _1-0. p =1, q = 42468310 "-16§ 5.2 致收斂性及其應(yīng)用一、基本概念與主要結(jié)果1. 一致收斂性的定義設(shè)Ifn x ?( n =1,2,J與f X都在區(qū)間I上有定義，-；.0， N 0，當(dāng)nN 時(shí),有fn x ；- f xi ：；對(duì)一切x二I成立.則稱函數(shù)列fn x $在I 一致收斂于f x .Iod(2) 設(shè)a UnX是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中每一個(gè)Un x在I上有定義記n 二nSn X i二 uk x , X I 若函數(shù)列(Sn x 在I上一致收斂于某函數(shù)S x，則稱v Un xkAn =在I上一致收斂于S x .(3)設(shè)a f

35、(x, y dy是含參量廣義積分，其中f(x, y)定義在I x BAI X, A二 f x,y dy 若當(dāng)A '、:時(shí)I x, A在I上一致收斂于某函數(shù)I x .則稱廣義 bat -bo積分 f x, y dy在I 一致收斂于I x .a2. 一致收斂性的判斷od(1)(一致收斂的柯西準(zhǔn)則)v Un X在I上一致收斂二一 ；0 , N 0，-nN ,n呂于PN , V xG，有血十(x)+Un非(x)£名.Q0(2)若a Un X在I上一致收斂于n=1S x ：= lim supS x ；-Sn x i = 0oO-lim supRn(x 審=0 . ( Rn(x)=S(x

36、)-Sn(x)= E Uk(x).YxkMCO推論 級(jí)數(shù)7 Un X在I上一致收斂的必要條件是：un X :一致收斂于零.n A(3) Wwierstrass 判別法(魏爾斯特拉斯判別法，M_ -判別法或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法)co-bo若Un X | _ M n，對(duì)一切X I成立且正項(xiàng)級(jí)數(shù) v M n收斂，則Un X在I上一致 nTn T收斂.(4) Dirichlet 判別法若01) 級(jí)數(shù)a Un X的部分和函數(shù)列在I上一致有界；n =12) x I , Wn x 在I上對(duì)n是單調(diào)的；3) Vn(x ) 0( nT 兇)，X引,0則級(jí)數(shù)x un X vn X在I 一致收斂.n廿(5) Abel判別法

37、若oO1) 級(jí)數(shù)v Un X在I 一致收斂；n z42) - X 二 I, 1vnX 在 I 上對(duì) n 是單調(diào)的(即 V1X _ v2 X _或 V1 Xf v2xp)；3) 1 vn X/在 I一致有界，即 M . 0 ,vn X< M , -xI , n =1,2,.qQ則級(jí)數(shù)I Un X Vn X在I 一致收斂.n 43. 和函數(shù)的分析性質(zhì)oO定理1若Un（x 在 Xo處連續(xù)（n= 12），且瓦Un（x ）在Xo某領(lǐng)域一致收斂，則nJnS Xi；=» Uk X在Xo處連續(xù).k £QO定理2若Un x在a,b內(nèi)連續(xù)（n =1,2,），且un x在a, b內(nèi)閉一致收

38、斂，則 n呂nS X八 Uk X在a,b內(nèi)連續(xù).k £oO定理3（連續(xù)性）若a Un X在a,b 一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)在 a, b in =1上也連續(xù)，即lim un x 八 lim un x ；.X旳n呂n呂X溝即求和與求極限可以交換次序.00、00 b定理4 （逐項(xiàng)求積）在定理 14的條件下，有比、旳bL E Un（X）pX=E JaUn（X）dX aIa,n =1丿n =1即求和與求積分可交換次序.0定理5 （逐項(xiàng)求導(dǎo)）若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二Un X滿足條件:n d（1） Un x在a,b】上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，n =1,2/ ；Q0（2） X。 h,b I,'&#

39、39; Un X 在 Xo 點(diǎn)收斂；n =1cO（3）7 Un X 在 a, b i- 致收斂，n =1例1設(shè)f0 x在a,b上正?？煞e，fn x二.Xfz t dt, n =1,2/ .證明函數(shù)項(xiàng)fn x anF在a,b 1上一致收斂.證明(遞推方式放大) 使得由f0 x在a, b上正常可積知f0 x在a,b 1有界，即 M . 0 ,從而f0 x < M , -x a, bl.x£(x)蘭 L|fo(ttM(x a),xxf2(x )蘭 Jal f1(t jdt 蘭 M Ja(t _ a dt般地，若對(duì)Mn EX a ，則n !xfn 十(X » 蘭 J | fn

40、(t 泄=an有fn(x)蘭M xan1 ,M xn-Ja(t-a)dt n! a從而有 fn x < M b a.由 于級(jí)數(shù) v M b 一a 收斂，由 Weierstrass心n!判別法，Q0fn x在a, b上一致收斂.n 4練習(xí) 設(shè)f1 x在a,b 1上正常可積, *n X ?在a,b上一致收斂于零.xfn 4 x =fn t dt , n =1,2,.證明:b a函數(shù)序列例2 (函數(shù)列Dini定理)若 fn(x)在 a, b 上連續(xù) n =1,2,對(duì)任意x a, b 1, fjx)乞f2 x _fn x乞，lim fn x ；=f x且f (x)在a, b上連續(xù).n則函數(shù)列、f

41、n(x) 在'a, b上一致收斂于f x .證明(反證法)設(shè)Cfn(x)1在a, b 上不一致收斂于fx n =1,2，.由于Cfn(x)?遞增,m0>0, P n >0,玉,5 b ,使得 fn(xn ) f(Xn色 .(1)由于"xn 是有界數(shù)列，由致密性定理，存在收斂子列，不妨設(shè)xn； x0 n；-:.又由于lim 仁 x° = f x° ,從而存在 N 0 使得 0 一 f (x°) 一 fN x° ： ；。由于 f (x) - fN x 在 n 點(diǎn)x0連續(xù)且Xn X。,故存在N1 0使得當(dāng)n N1時(shí),有0乞f (X

42、n)乞fN xn ： ；0 當(dāng) n maxX,N1:時(shí),由f”(Xn)fnXn，得 0 一 f (Xn)-fnXn：0 這與(1)式矛盾注當(dāng)條件改為”x a,b 1, fjx) f2 X fn X _時(shí)結(jié)論仍然成立0(函數(shù)項(xiàng)Dini定理)設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un x的每項(xiàng)均在有限區(qū)間'a, b】上連續(xù)，且收斂于n daOaO連續(xù)函數(shù)f (x) 若a, b 1,級(jí)數(shù)V Un x為同號(hào)級(jí)數(shù)，則V Un X在, b 1上一致收 n去n T斂于f X .證明(反證法)假設(shè)在a, b】上非一致收斂，則m % >0 ,使得于N > 0 , n>N，三x la, b】,rn(x*% 取N

43、=1, Bn>1，日為乏)a,b】，使；取N =厲,3壓=門1 ,丸乏a,b ,使Rn2(X2卜名，如此下去得一子列血，使得Rnk(Xk 心坯,k=1,2,.(1 )I由致密性定理，有界數(shù)列兀中存在收斂子列"xk '： xk > x0la, bl.由題設(shè)知jj0Un X是同號(hào)級(jí)數(shù)，因此 Rn(x)關(guān)于n單調(diào)遞減，所以由(1)得：當(dāng)n% . m時(shí)，n 4RjXkJ> Rnkj (Xkj)> BoQO由于Rm X = f X -Sm X連續(xù)，故當(dāng)j 心時(shí)，Rm Xo _ ；o，這與x Un X在, b 1 n4上收斂相矛盾，故一致收斂.例3設(shè) 對(duì)每一 n

44、, fn(x)是a, b 上的單調(diào)函數(shù)，(2)im 一 fn x= f x且f (x)在 a, b 1 上一致連續(xù).證明函數(shù)列fn(x)在la, b上一致收斂于f x .注 本題條件中不要求對(duì)任意n, fn (x)都是單調(diào)遞增的或都是單調(diào)遞減的證明 由于f (x)在la, b I上一致連續(xù)，故- ；.0 ,0 ,當(dāng)x',x=0且|x'-x''：、：時(shí)，有f X' -f X''亍(1)將區(qū)間a, b作k等分，使得 :設(shè)其分點(diǎn)為x0 =a :： x1 :：: x2 :：:xb.k由于 lim f n x 二 f x，故存在 N - 0，當(dāng) n

45、 N 時(shí),n_.fn(Xj )"(Xj K|(j =1,2，*)(2)對(duì)于任意xla, b 1,存在j使得x Xj 4, xj 由于fn(x)為L(zhǎng)a, b 1上的單調(diào)函數(shù)，fn(x)介于fn(Xj與fn (Xj)之間因此fn X - f x -max'fn Xj一 f X , fn Xj - f X -由不等式(1)與(2),fn(xj)一 f(X)E|fn(xj)一 f(xj|)+| f(X jf(X)£ 專，fn(Xj )-f(X )蘭 fXj )-f (Xj 卩 +1 fXj 卜 f(X )< £ 所以fn x - f x卜r 故、fn(x)f

46、在'a, b 1上一致收斂于f x .例4證明級(jí)數(shù)v snnx在0,2二1上收斂而非一致收斂.n壬 nod -證明 由Dirichlet 判別法知Sin nX對(duì)任意X收斂.*JJT對(duì)任意m,取Xm.注意當(dāng)n = m 1,2m時(shí),有nXm.所以4m42JI.JI2m sin寸41 兀J2sin n _m：1 2m 22m sin nxm送一-nnsin nx由Cauchy收斂準(zhǔn)則，在0,2二I上非一致收斂.n二 nqQ -注 可以證明I 竺蘭 在|；,2二-；1上一致收斂，其中0n 4 n:;:二，但在x = 0的任一鄰域內(nèi)非一致收斂.n-p分析估計(jì)'、Sin kXkm 1n知1

47、的麻煩在于每項(xiàng)因子有 sinkx，否則v -很容易證明其發(fā)散.因此, k心1 k我們想：在x =0的任一鄰域U 0 ,當(dāng)k從n 1變化到n p時(shí)，si nkx能否大于某常數(shù)，若能則必非一致收斂.事實(shí)上，當(dāng)x 二，二4 23131 1,sinkx _sin ,因此，取 x0 U 0,、, 4使 sinkx0 _sin，即只需 kx04,k = n 1,2 n 取 x°IL4 2JT即可.4n證明取 = ' 2 , - N - . ,Tn N , Tp 二 n,Tx04£ sinkx0kzB + k由柯西收斂準(zhǔn)則知''s 非一致收斂.n nJI4U 0，

48、有 4n240，JT 12n 1 二 1 二 sinsi nk閉1 k例5設(shè)Bn 是單調(diào)遞減的正數(shù)列，且級(jí)數(shù)oQ工anSinnx在I：上一致收斂.證明n £lim nan =0.n:QO證明 由于二an sin nx在-：,=：上一致收斂，-； 0,存在N 0，當(dāng)n N時(shí), n 41an sin nx an d sin n x 1 i亠亠 a2n sin2nx ：；對(duì)任意 x 成立.取 x則2n。佝仙.由于Qn '單調(diào)遞減，有a2n sin 1；11丄白丄1Yna2nSirVanSin2 時(shí)前 2 并 所以 lim 2na2n 二 0 .同理可證 lim 2n 1 a2n 彳

49、=0.因此 lim nan = 0 .n ）二n f .n:oO .注本題可推出a旦皿在0,2二1上不一致收斂.1例6設(shè)f (x)在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)f (x).令fn (x) = n f (x 唁)- f (x).證明對(duì)任意閉區(qū)間C,d：二a,b ,函數(shù)列fn(x)1在c,d上一致收斂于f (x).證明 取d'滿足d : d'：b由于f (x)在c,d'上連續(xù)，從而一致連續(xù)，即- ；.0,. 0 ,當(dāng) xX2 e a,b,且 xi X2 c 6 時(shí)，有 f "(xj f "(x2) £ z .f 1、1由微分中值定理，存在e x

50、,x + i使得n f (x+)f(x) = f'(J ).1i所以 fn(X)- f【X)= f 牡 n) - f "(X).存在 Na0,使得 一 且 C + Cd',則當(dāng)NNn > N時(shí)©n x £ 6 ,從而fn(x) - f "(x)| £ z .這證明了 fn (x)在c,d上一致收斂于f (X).練習(xí)設(shè)函數(shù)f (x)在a,b上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)f (x) , a ：-： b .對(duì)每一個(gè)自然數(shù)1 1n _ 一，定義函數(shù)：fn(x) = n f (x ) - f (x).試證：fn (x)在a,:上一致收斂 b - ：n于 f (x).證明 f (x)在a,b上連續(xù)，從而一致連續(xù)，即-；.0,二心>0, - x1,x a, b，當(dāng)f (Xj - f (X2)：；.1 1取N 'maxt'市則當(dāng)n N時(shí),1-x a,：，有 -a,b，從而由上式和微分中值定理得fn(X)- f H(X)=即fn(x)在a,-上一致收斂于f(X ；)