一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1、1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？) 0( 02acbxaxacb42沒(méi)有實(shí)數(shù)根兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根000) 04(2422acbaacbbx填寫(xiě)下表：填寫(xiě)下表：方程方程兩個(gè)根兩個(gè)根兩根兩根之和之和兩根兩根之積之積a與與b之間之間關(guān)系關(guān)系a與與c之間之間關(guān)系關(guān)系1x2x21xx 21xx abac猜想：猜想：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根的兩個(gè)根分別是分別是 、 ，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？，那么，你可以發(fā)現(xiàn)

2、什么結(jié)論？)0(02acbxax1x2x0432xx0652xx01322 xx23212123214656531213434已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x求證：求證：推導(dǎo):aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22abaacbbaacbbxx2424222122244aacbb244aacac 如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 ，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x這就是一元二次方程一元二

3、次方程根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系，也叫，也叫韋達(dá)定理韋達(dá)定理。0462 xx01522 xx522x05322 xx0732xx1.3.2.4.5. 口答下列方程的兩根之和與兩根之積?？诖鹣铝蟹匠痰膬筛团c兩根之積。0122 xx21,xx_21xx_21xx632 xx21,xx0932mxx_21xx_21xx02 qpxx練習(xí)練習(xí)1 1已知關(guān)于已知關(guān)于x x的方程的方程012) 1(2mxmx當(dāng)當(dāng)m= m= 時(shí)時(shí), ,此方程的兩根互為相反數(shù)此方程的兩根互為相反數(shù). .當(dāng)當(dāng)m= m= 時(shí)時(shí), ,此方程的兩根互為倒數(shù)此方程的兩根互為倒數(shù). .11分析分析:1.:1.0121mxx2.2.

4、11221 mxx212 xx21xx411412，xx，xx的兩個(gè)根為方程設(shè)014221題題則：則：21xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214 xx應(yīng)用：一求值應(yīng)用：一求值另外幾種常見(jiàn)的求值另外幾種常見(jiàn)的求值2111. 1xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx1、下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？、下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？013. 12 xx 223 .22 xx 032 .32 x

5、x xx214 .42 2、設(shè)、設(shè) x1 、 x2是方程是方程 利用利用 根與系數(shù)的根與系數(shù)的 關(guān)系，求下列各式的值：關(guān)系，求下列各式的值： 的根03422xx11).1 (21xx2112).2(xxxx返回12,xx2241 0 xx 2212xx121212,2xxxx222121212()2xxxxx x2122 ()2 5例例2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 兩個(gè)根的；（兩個(gè)根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒數(shù)和）倒數(shù)和01322xx解：設(shè)方程的兩個(gè)根是解：設(shè)方程的兩個(gè)根是x1 x2，那么，那么 32123112413212232121

6、,2321212122221212212121xxxxxxxxxxxxxxxx返回例例1. 不解方程，求方程不解方程，求方程 的的兩根的平方和、倒數(shù)和。兩根的平方和、倒數(shù)和。01322 xx二、典型例題二、典型例題例題例題1：已知方程：已知方程 x22x1的兩根為的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值。不解方程，求下列各式的值。 （1）（）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）212112xxxx解：設(shè)方程的兩根分別為 和 ， 則： 而方程的兩根互為倒數(shù) 即： 所以： 得： 2.方程方程 的兩根互的兩根互為倒數(shù)，求為倒數(shù)，求k的值。的值。01232kkxx1x2x1221kx

7、x121 xx112k1k設(shè)設(shè) X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的兩個(gè)根，則的兩個(gè)根，則 X1+X2 = _ X1X2 = _， X12+X22 = = ； ( ( X1-X2)2 = ； 基基礎(chǔ)礎(chǔ)練練習(xí)習(xí)12211211xxxxxx1 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X X2 2X+m=0X+m=0的一個(gè)根，則另的一個(gè)根，則另 一個(gè)根是一個(gè)根是_，m =_m =_。2 2、設(shè)、設(shè) X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的兩個(gè)根，則的兩個(gè)根，則 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( = ( X1+X2)2 - - _

8、 = _ ( ( X1-X2)2 = ( ( _ )2 - - 4X1X2 = _ 3、判斷正誤：、判斷正誤： 以以2和和-3為根的方程是為根的方程是X X2 2X-6=0 X-6=0 （ ）4 4、已知兩個(gè)數(shù)的和是、已知兩個(gè)數(shù)的和是1 1，積是，積是-2-2，則這兩個(gè)數(shù)是，則這兩個(gè)數(shù)是 _ 。X1+X22X1X2-34114122和和-1基基礎(chǔ)礎(chǔ)練練習(xí)習(xí)（還有其他解法嗎？）（還有其他解法嗎？）23 1. 已知方程已知方程 的一個(gè)根的一個(gè)根是是2，求它的另一個(gè)根及，求它的另一個(gè)根及k的值的值. 解：設(shè)方程 的兩個(gè)根 分別是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一個(gè)根是

9、 ，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53例題例題2：（1）若關(guān)于）若關(guān)于x的方程的方程2x25xn0的一個(gè)根是的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及，求它的另一個(gè)根及n的值。的值。（2）若關(guān)于）若關(guān)于x的方程的方程x2kx60的一個(gè)根是的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及，求它的另一個(gè)根及k的值。的值。 2、已知方程、已知方程 的一個(gè)根是的一個(gè)根是 1， 求它的另一個(gè)根和求它的另一個(gè)根和m的值。的值。01932mxx0932mxx例例2. 已知方程已知方程 的的兩根為兩根為 、 ， 且且 ，求，求k的值。的值。02) 12(2kxkkx1x2

10、x32221 xx4、已知關(guān)于、已知關(guān)于x的方程的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的兩根的平方和比兩根之積的的兩根的平方和比兩根之積的3倍少倍少 10，求，求k的值的值.補(bǔ)充規(guī)律：補(bǔ)充規(guī)律：兩根均為負(fù)的條件： X1+X2 且且X1X2 。 兩根均為正的條件： X1+X2 且且X1X2 。 兩根一正一負(fù)的條件： X1+X2 且且X1X2 。 當(dāng)然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac0 例例6 方程方程x2 (m 1)x 2m 1 0求求m滿足什么條件時(shí)滿足什么條件時(shí),方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？方程的一

11、根為零？解:(m1)24(2m1)m26m5兩根互為相反數(shù) 兩根之和m10,m1,且0 m1時(shí),方程的兩根互為相反數(shù).兩根互為倒數(shù) m26m5, 兩根之積2m11 m1且0, m1時(shí),方程的兩根互為倒數(shù).方程一根為0, 兩根之積2m10 且0, 時(shí),方程有一根為零.21m21m 方程方程 有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求mm的取值范圍。的取值范圍。解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx一正根，一負(fù)根一正根，一負(fù)根0X1X20兩個(gè)正根兩個(gè)正根0X1X20X1+X20兩個(gè)負(fù)根兩個(gè)負(fù)根0X1X20X1+X20引申:1、若ax2bxc0 (a0 0)（1）若兩根互為相反數(shù),則b0;（2）若兩根互為倒數(shù),則ac;（3）若一根為0,則c0 ;（4）若一根為1,則abc0 ;（5）若一根為1,則abc0;（6）若a、c異號(hào),方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要把已知方程化成一般形式. 3.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，要特別注意，方程有實(shí)根的條件，即在初中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系. 1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是什么?042