普通物理學 05相對論習題 答案

1、相對論相對論 基礎基礎相對論相對論 基礎基礎愛因斯坦習題總目錄習題總目錄結(jié)束結(jié)束5-15-25-35-45-55-65-75-85-95-105-115-125-135-145-155-165-175-185-195-205-215-225-23相對論習題習題總目錄習題總目錄 5-1 一個質(zhì)點，在慣性系一個質(zhì)點，在慣性系K中作勻速圓中作勻速圓周運動，軌道方程為：周運動，軌道方程為： 試證：在慣性系試證：在慣性系K中的觀察者測得該質(zhì)中的觀察者測得該質(zhì)點作橢圓運動，橢圓的中心以速度點作橢圓運動，橢圓的中心以速度u 移動。移動。a2x=+ y220=z結(jié)束結(jié)束 目錄目錄解：設解：設K系相對系相對K系

2、以速度系以速度 v 沿沿x 軸正向運軸正向運 動，由洛侖茲坐標變換動，由洛侖茲坐標變換a2x=+ y220=z代入式代入式t=xxvv21c2=zz=yz2y=+txvv21c22a2在在K系中的觀察者測得該質(zhì)點作橢圓運系中的觀察者測得該質(zhì)點作橢圓運動，橢圓的中心以速度動，橢圓的中心以速度v 移動。移動。2y=+txvv21c22a2a()1結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-2 一觀察者測得運動著的米尺長一觀察者測得運動著的米尺長0.5m，問此尺以多大的速度接近觀察者？問此尺以多大的速度接近觀察者？ 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄l0v21c2=l1 0.5c2=c0l21l2=v0.08c=2.6108 m/s解

3、：由長度收縮公式：解：由長度收縮公式：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-3 一張宣傳畫一張宣傳畫5m見方，平行地貼于鐵見方，平行地貼于鐵路旁邊的墻上，一高速列車以路旁邊的墻上，一高速列車以 2108m/s速度接近此宣傳畫，這張畫由司機測量將成速度接近此宣傳畫，這張畫由司機測量將成為什么樣子？為什么樣子？ 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄2353.7m2()l0v21c2=l=1=hl0=5解：由長度收縮公式：解：由長度收縮公式：畫面的尺寸為畫面的尺寸為 53.7 m2結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-4 遠方的一顆星以遠方的一顆星以0.8c的速度離開我的速度離開我們，接受到它輻射出來的閃光按們，接受到它輻射出來的閃光按 5晝夜

4、的周晝夜的周期變化，求固定在此星上的參考系測得的閃期變化，求固定在此星上的參考系測得的閃光周期。光周期。 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 解：固定在此星上的參照系測得的閃光解：固定在此星上的參照系測得的閃光周期為固有時間周期為固有時間0 0 時間時間t =5既包括地球上測得的閃光周期既包括地球上測得的閃光周期在此星上測得的閃光周期為在此星上測得的閃光周期為5/3晝夜晝夜結(jié)束結(jié)束 目錄目錄t =vc+0=v21c2=tvc+1 ()v21c251 0.82=1+0.8=35t=vc+1 () ,還包括光信號傳遞的時間還包括光信號傳遞的時間v/c ，即：，即： 5-5 假設宇宙飛船從地球射出，沿直線假設宇宙飛

5、船從地球射出，沿直線到達月球，距離是到達月球，距離是3.84108m，它的速率，它的速率在地球上被量得為在地球上被量得為0.30c。根據(jù)地球上的時。根據(jù)地球上的時鐘，這次旅行花多長時間？根據(jù)宇宙飛船所鐘，這次旅行花多長時間？根據(jù)宇宙飛船所做的測量，地球和月球的距離是多少？怎樣做的測量，地球和月球的距離是多少？怎樣根據(jù)這個算得的距離，求出宇宙飛船上時鐘根據(jù)這個算得的距離，求出宇宙飛船上時鐘所讀出的旅行時間？所讀出的旅行時間？ 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄3.84108Htv0=0.33.01084.27s解：設地球至月球的距離為解：設地球至月球的距離為H0,飛船的速度為飛船的速度為v,地地球上的觀察者測得

6、飛船從地球到月球的時間為球上的觀察者測得飛船從地球到月球的時間為t在飛船上測量，地球到月球的距離在飛船上測量，地球到月球的距離H為為H0=v21c2H3.67108m=3.8410221-0.3在飛船上測量，飛船的旅行時間為：在飛船上測量，飛船的旅行時間為：3.67108Htv=0.33.01084.08s結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 飛船的飛行時間也可以這樣求得：對于飛船飛船的飛行時間也可以這樣求得：對于飛船上的觀察者來說，從地球出發(fā)及到達月球這兩事上的觀察者來說，從地球出發(fā)及到達月球這兩事件都發(fā)生在飛船上，他所測得的時間為固有時間件都發(fā)生在飛船上，他所測得的時間為固有時間0由時間膨脹公式可得由時間膨

7、脹公式可得:4.08s4.27 1 0.32=結(jié)束結(jié)束 目錄目錄t0=v21c2 5-6 在在K系中觀察到兩個事件同時發(fā)生在系中觀察到兩個事件同時發(fā)生在x 軸上，其間距離是軸上，其間距離是1m，在，在K系中觀察這系中觀察這兩個事件之間的空間距離是兩個事件之間的空間距離是2m，求在，求在K系系中這兩個事件的時間間隔。中這兩個事件的時間間隔。 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄vc23=vxv21c2=xt解：設解：設 K系相對于系相對于K 系以速度系以速度v 沿沿x 軸正軸正向運動向運動,K系中觀測到兩事件同時發(fā)生系中觀測到兩事件同時發(fā)生t =0，空間間隔空間間隔x =1m；K系中觀測到這兩事系中觀測到這兩事件

8、發(fā)生的時間間隔為件發(fā)生的時間間隔為t，空間間隔，空間間隔x=2m。0=t12=xv21c2=x解得：解得：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄0.57710-8s=t =v21c2tvtc2()=2 0c231c2所以在所以在K系中觀測兩事件相隔系中觀測兩事件相隔0.57710-8s發(fā)生。若發(fā)生。若K系相對于系相對于K系沿系沿 x 軸負向運動，軸負向運動，則則 ,t= 0.57710-8 s=c23v結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-7 在在K系中觀察到的兩事件發(fā)生在空間系中觀察到的兩事件發(fā)生在空間同一地點，第二事件發(fā)生在第一事件以后同一地點，第二事件發(fā)生在第一事件以后2s。在另一相對在另一相對K系運動的系運動的K系中觀

9、察到第二事系中觀察到第二事件是在第一事件件是在第一事件3s之后發(fā)生的，求在之后發(fā)生的，求在K系系中測量兩事件之間的位置距離。中測量兩事件之間的位置距離。 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄2s=t0t=3svxv21c2=xt=230c352()=6.71108 m0 x=解：由已知條件解：由已知條件t0=v21c2由時間膨脹公式：由時間膨脹公式：c()=120t=c35v可得：可得：所以在所以在K系測得兩事件發(fā)生的空間間隔為：系測得兩事件發(fā)生的空間間隔為：6.71108 m結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-8 +介于是一不穩(wěn)定粒于，平均壽命介于是一不穩(wěn)定粒于，平均壽命是是2.6l0-8 s（在它自己參考系中測得）（在

10、它自己參考系中測得） （1）如果此粒于相對于實驗室以）如果此粒于相對于實驗室以0.8c的速的速度運動，那么實驗室坐標系中測量的度運動，那么實驗室坐標系中測量的+介子介子壽命為多長？壽命為多長？（2）+介于在衰變前運動了多長距離？介于在衰變前運動了多長距離？ 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄解：由已知條件可得解：由已知條件可得+介子衰變的固有介子衰變的固有 時間為：時間為：(1)在實驗室中觀測到在實驗室中觀測到+介子的壽命為：介子的壽命為： 2.610-8 s=0t0=v21c2=2.610-8 1 0.824.3310-8 s= (2)在實驗室坐標系中觀測到在實驗室坐標系中觀測到+介子的飛介子的飛行距離為：

11、行距離為： 10.4m=Ltv=0.83.01084.33108結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-9 地球上一觀察者，看見一飛船地球上一觀察者，看見一飛船A以速以速度度2.5l03 ms從他身邊飛過，另一飛船從他身邊飛過，另一飛船B以速度以速度2.0l08ms 跟隨跟隨A飛行。求：飛行。求： （1）A上的乘客看到上的乘客看到B的相對速度；的相對速度； （2）B上的乘客看到上的乘客看到A的相對速度。的相對速度。 中國航天A中國航天B結(jié)束結(jié)束 目錄目錄1u=xvvc2uxux=1.125108 m/s 2.5108=2.01089.010162.51082.01081=ux2.0108 m/s =v2.51

12、08 m/s 解解：(1)設地球為設地球為K系，飛船系，飛船A為為K系。由系。由已知條件可知已知條件可知K系相對系相對K系是速度為系是速度為飛船飛船B 在在K系中的速度為系中的速度為飛船飛船B 在在K系中的速度為系中的速度為中國航天A中國航天BKKuvx結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 (2) 設地球為設地球為K系，飛船系，飛船B為為K系。由系。由已知條件可知已知條件可知K系相對系相對K系是速度為系是速度為=ux2.5108 m/s =v2.0108 m/s 飛船飛船A 在在K系中的速度為系中的速度為1u=xvvc2uxux=1.125108 m/s 2.0108=2.51089.010162.01082.

13、51081飛船飛船A在在K系中的速度為系中的速度為中國航天A中國航天BKuxKvux結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-10 二只宇宙飛船相對某遙遠的恒星以二只宇宙飛船相對某遙遠的恒星以0.8c 的速率向相反方向移開。試用速度變換的速率向相反方向移開。試用速度變換法則證明，二飛船的相對速度是法則證明，二飛船的相對速度是1.6c/1.64，并與們利略變換所得的結(jié)果進行比較。并與們利略變換所得的結(jié)果進行比較。 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄1u=xvvc2uxux(2) 設恒星為設恒星為K系，飛船系，飛船A為為K系。由已知系。由已知條件可知條件可知K系相對系相對K系是速度為：系是速度為：飛船飛船B 在在K系中的速度為：系

14、中的速度為：飛船飛船B在在K系中的速度為：系中的速度為：=v0.8c=ux0.8c=+0.8c0.8c0.8c()2c21=0.98c而根據(jù)咖利略速度變換而根據(jù)咖利略速度變換u=xvuxc=0.8c0.8c1.6c結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-11 一原子核以一原子核以0.5c 的速度離開一觀察的速度離開一觀察者而運動。原子核在它運動方向上向前發(fā)射者而運動。原子核在它運動方向上向前發(fā)射一電子，該電子相對于核有一電子，該電子相對于核有0.8c 的速度；此的速度；此原子核又向后發(fā)射了一光子指向觀察者。對原子核又向后發(fā)射了一光子指向觀察者。對靜止觀察者來講，靜止觀察者來講， （1）電子具有多大的速度；）電

15、子具有多大的速度； （2）光子具有多大的速度。）光子具有多大的速度。結(jié)束結(jié)束 目錄目錄解：設觀測者為解：設觀測者為K系，原子核為系，原子核為K系。系。電子在電子在K系中的速度為：系中的速度為：K系相對系相對K系是速度為：系是速度為：0.8c=ux=v0.5c+=+0.8c0.5c0.81=0.50.93c+1u=xvvc2uxux電子在電子在K 系中的速度為：系中的速度為：根據(jù)光速不便原理，光子的速度為根據(jù)光速不便原理，光子的速度為 c 。結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-12 一光源在一光源在K坐標系的原點坐標系的原點0 發(fā)出一光線。光線在發(fā)出一光線。光線在 xy平面內(nèi)與平面內(nèi)與x軸的交角為軸的交角為

16、。設。設 K相對相對K以速度以速度 u 沿沿 x 軸運動。試求在軸運動。試求在 K 坐標中看到這坐標中看到這光線的傳播方向。光線的傳播方向。結(jié)束結(jié)束 目錄目錄+1u=xvvc2uxuxqccos =ux 0=uzsinqc=uy+1vvc2uxqccos =()+1u=yvc2uxuygsinqcv21c2+1vc2ux=解：設該一光線在解：設該一光線在K系系 x 軸的交角為軸的交角為。 光子在光子在K系中的速度為：中的速度為：在在K 系中觀察系中觀察=tgquyuxsinqcv21c2+vqccos =結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-13 如一觀察者測出電子質(zhì)量為如一觀察者測出電子質(zhì)量為2m。，問電

17、子速度為多少？（問電子速度為多少？（m。為電子的靜止質(zhì)為電子的靜止質(zhì)量）量） 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄21=v21c20.866vc=23c2m0=v21c2m0解：解：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-14 某人測得一靜止棒長為人質(zhì)量為某人測得一靜止棒長為人質(zhì)量為m，于是求得此棒線密度為于是求得此棒線密度為=m/l 。假定此棒。假定此棒以速度以速度 v 在棒長方向上運動，此人再測棒的在棒長方向上運動，此人再測棒的線密度應為多少，若棒在垂直長度方向上運線密度應為多少，若棒在垂直長度方向上運動，它的線密度又為多少？動，它的線密度又為多少？ 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄=v21c2m=v21c2ml=v21c2l解：解：(

18、1)=lmm=lv21c2()解得：解得：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄m=v21c2m=v21c2l=l(2)=lmm=lv21c2解得：解得：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-15 設有一靜止質(zhì)量為設有一靜止質(zhì)量為 m0 、帶電荷量、帶電荷量為為 q 的粒子，其初速為零，在均勻電場的粒子，其初速為零，在均勻電場E 中中加速，在時刻加速，在時刻 t 時它所獲得的速度是多少？時它所獲得的速度是多少？如果不考慮相對論效應，它的速度又是多少？如果不考慮相對論效應，它的速度又是多少？這兩個速度間有什么關系？討論之。這兩個速度間有什么關系？討論之。 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄m v0=v21c22Etq22m v0=v21c222

19、=+2Etq22c22Etq22m c022v2=+Etq c2Etq22m c022vE tq =m v0若不考慮相對論效應若不考慮相對論效應E tq=mv0E tq =mv解：解：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-16 設電子的速度為設電子的速度為 (1)1.0106 m/s;(2) 2.0108m/s,試計算電子的動能各是多試計算電子的動能各是多少？如用經(jīng)典力學公式計算電子動能又各為少？如用經(jīng)典力學公式計算電子動能又各為多少？多少？ 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄Em ck112=m c02=v21c2m c02m c021()=v21c2m c021= 4.5510-19 J=0.5111061.60210

20、-19()11213001解：解： (1)按按相對論相對論計算計算當電子的速度為當電子的速度為v1=1.0106 m/s時的動能時的動能結(jié)束結(jié)束 目錄目錄Em ck222=m c02=v21c2m c02m c021()=v21c2m c021= 2.7910-14 J=0.5111061.60210-19()11213.02.0當電子的速度為當電子的速度為v2=1.0108 m/s時的動能時的動能結(jié)束結(jié)束 目錄目錄(2)按按經(jīng)典力學經(jīng)典力學計算計算m v12021Ek1=21 9.110-31 (1.0106 )2=1.8210-14 J=4.5510-19 J= 9.110-31 (1.0

21、108 )221m v22021Ek2=結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-17 兩個氖核組成質(zhì)量數(shù)為兩個氖核組成質(zhì)量數(shù)為4、原子量原子量為為4.0015u 的氦核。試計算氦核放出的結(jié)合的氦核。試計算氦核放出的結(jié)合能。能。 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄m0= 2.0136u1u=1.65810-27 kg2=E mc=1.60210-191.65810-27 9.0101622.01364.0015()=23.9106 eV =23.9 MeVEHe2+H2H4解：解：氘核靜止質(zhì)量氘核靜止質(zhì)量其中其中u為原子質(zhì)量單位為原子質(zhì)量單位結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-18 太陽由于向四面空間輻射能量，太陽由于向四面空間輻射能量，

22、每秒損失了質(zhì)量每秒損失了質(zhì)量 4109kg。求太陽的輻。求太陽的輻射功率。射功率。 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄= 3.61026 J/s=3.61026 W4109(3108)=21P=2 mct2 mc解：解：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-19 在什么速度下粒子的動量比非相在什么速度下粒子的動量比非相對論動量大兩倍？在什么速度下的動能等于對論動量大兩倍？在什么速度下的動能等于它的靜止能量？它的靜止能量？ 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄=m0v21c2c2m0c2Ek=E0當當時時()=v21c2m0c211m0c2Emck2=m c02(2)2m v0=v21c2m v0(1)由題意由題意解：解：0.08c=v2.6

23、108 m/s解得解得=E0m0c2解得解得0.866vc=23c結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-20 一個電子從靜止開始加速到一個電子從靜止開始加速到0.1c 的的速度，需要對它作多少功？速度從速度，需要對它作多少功？速度從0.9 c 加速加速到到0.99 c 又要作多少功？又要作多少功？ 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄=v21c2m c02m c02()=v21c2m0c211()=1110.120.511106=2.57103eV=keV2.57=mc2m c02A解：解：(1)結(jié)束結(jié)束 目錄目錄=2.45103eV=keV2.45(2)=m c2m c12A2()=v21c2m0c212v21c211()

24、=110.9920.511106110.92結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-21 設有一設有一+介子，在靜止下來后，介子，在靜止下來后，衰變?yōu)樗プ優(yōu)?子和中微子子和中微子，三者的靜止質(zhì)量分，三者的靜止質(zhì)量分別為別為m，m和和 0。求求+子和中微子的動子和中微子的動能。能。 結(jié)束結(jié)束 目錄目錄nEkn中微子中微子的動能為的動能為解：解：m c2介子的靜能為介子的靜能為設設+m cm2Ekmm+介子的靜能為介子的靜能為動能為動能為Pmm+介子的動量為介子的動量為Pn中微子的動量為中微子的動量為由能量守恒和動量守恒可得由能量守恒和動量守恒可得2()+Em ckm2=+mPmc22m cm42Em ckm2=

25、+m c2mEkn0P=mPn=Ek2Pc22nn結(jié)束結(jié)束 目錄目錄2()+Em ckm2=+mPmc22m cm42Em ckm2=+m c2mEkn0P=mPn=Ek2Pc22nn(1)(4)(3)(2)22=Pmm cm2Ek+mEkmc由式由式(3)可得：可得：n=PnEkc由式由式(4)可得：可得：=Ekn22m cm2Ek+mEkm代入式代入式(4)可得：可得：將上式代入式將上式代入式(1)可得：可得：22m cm2Ek+mEkmEm ckm2=+m c2m結(jié)束結(jié)束 目錄目錄=mcm2m()2m2Ekm=Eknmcm2m()2m2222m cm2Ek+mEkmEm ckm2=+m

26、c2m經(jīng)整理后可得：經(jīng)整理后可得：代入式代入式(1)可得：可得：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-22 一中性一中性介子相對于觀察者以速介子相對于觀察者以速度度 v= kc 運動，后衰變?yōu)閮蓚€光子。兩光子運動，后衰變?yōu)閮蓚€光子。兩光子的運動軌跡與的運動軌跡與介子原來方向成相等的角度介子原來方向成相等的角度（見題圖）證明：（見題圖）證明： （1）兩光子有相等的能量；）兩光子有相等的能量； （2） cos = k 。結(jié)束結(jié)束 目錄目錄nqhm v10cos=+k21cnh2cqcossin=qnh1+cnh2csinq0qqyxvgg21解：解：由動量守恒和能量守恒得：由動量守恒和能量守恒得：+nh1nh2

27、m c0=k212結(jié)束結(jié)束 目錄目錄nqhm0cos=k21ckc2nqhm v10cos=+k21cnh2cqcossin=qnh1+cnh2csinq0+nh1nh2m c0=k212(1)(2)(3)n1n2=n=由式由式(2)可得：可得：所以兩光子能量相等所以兩光子能量相等v =kc把把及及代入式代入式(1)、(3)可得：可得：n1n2=n=nhm c0=k2122=kqcos結(jié)束結(jié)束 目錄目錄 5-23 質(zhì)量為質(zhì)量為m0 的一個受激原子，靜止的一個受激原子，靜止在參考系在參考系 K 中，因發(fā)射一個光子而反沖，中，因發(fā)射一個光子而反沖，原子的內(nèi)能減少了原子的內(nèi)能減少了E，而光子的能量為

28、，而光子的能量為h。試證：。試證： m0c2=nh()EE21結(jié)束結(jié)束 目錄目錄E=m0c2m0c2令令vc=m0解：設反沖原子的靜質(zhì)量為解：設反沖原子的靜質(zhì)量為速率為速率為 v由動量守恒、能量守恒及已知條件可得：由動量守恒、能量守恒及已知條件可得：+nh=m0c2m0v21c2c2(1)c=nhm0v21c2v(2)E=m0c2m0c2(3)由式由式(3)可得：可得：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄()=+()nhEm0c2c2m0c2Em0c2()+nh2Em0c222c2m0c2=nh()EE21=nh()+nh2Em0c222m0c2()+nh212E=m0c2Em0c222m0將將代入式代入式(2

29、)可得：可得：m0將將及上式代入式及上式代入式(2)可得：可得：經(jīng)整理后得：經(jīng)整理后得：結(jié)束結(jié)束 目錄目錄習題總目錄習題總目錄12 3 45 6 789 0.aqaABCDE FGKM NPHLOI Jgzxnsfhmrt u vyelpcbdkjiom 1203di j kzxyoacbdsin cos v221v22Tm1MAmA2( )12v21c2xdtdxdtd t=xxvv21c2x=ttvv21c2c21u=xvvc2uxux=( )( )( )( )( )( )=+gv21c22.6108 m/s1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111214151617181920212

30、2231324 5-24 假定觀察者假定觀察者o測得兩個事件相距測得兩個事件相距3.6108米、相隔米、相隔2秒發(fā)生。發(fā)生這兩個事件秒發(fā)生。發(fā)生這兩個事件之間的固有時間是多少？之間的固有時間是多少？12 3 45 6 789 0.aqaABCDE FGKM NPHLOI Jgzxnsfhmrt u vyelpcbdkjiom 1203di j kzxyoacbdsin cos v221v22Tm1MAmA2( )t=xxvv21c2x=ttvv21c2c2=( )( )( )( )( )( )=+g2.6108 m/s22 5-25 宇宙飛船宇宙飛船A和和B的靜止長度分別是的靜止長度分別是90米和米和200米，如兩者相向飛行，宇宙飛船米，如兩者相向飛行，宇宙飛船A中的宇航員測定出宇宙飛船中的宇航員測定出宇宙飛船B的頭部越過的頭部越過A的的長度須長度須 510-7秒。這兩艘宇宙飛船的相對速秒。這兩艘宇宙飛船的相對速度是多少？若按照度是多少？若按照B頭部的一個宇航員的測頭部的一個宇航員的測定，通過定，通過A的頭尾之間的時間間隔是多少？的頭尾之間的時間間隔是多少？12 3 45 6 789 0.aqaABCDE FGKM NPHLOI Jgzxnsfhmrt u vyelpcbdkjio