2020屆一輪復習(文)人教A版三導數(shù)及其應(yīng)用單元檢測

1、單元檢測三導數(shù)及其應(yīng)用（提升卷）考生注意：1 .本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共4頁.2 .答卷前，考生務(wù)必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相 應(yīng)位置上.3 .本次考試時間100分鐘，滿分130分.4 .請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整.第I卷（選擇題共60分） 所以 f (x)<0,即(x+ 1)ex<0,解得 x< 1.、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的）1.下列求導運算正確的是（）人卜+ X2） =1+1C. （3）=3xln 3_. ,18- (log3x)

2、=砧D. (x2sin x)' = 2xcos x答案 C解析由求導法則可知C正確.2.已知函數(shù)f(x)=ln x+ x2f' (a),且f(1) = 1,則實數(shù)a的值為()1 1A . - 2或 1B.2C. 1D. 2答案 C解析 令 x=1,則 f(1) = ln 1+f' (a)= 1,可得 f' (a) = - 1.令 x=a>0,則 f' (a)=1+2aF (a), a即 2a2a1=0,解得 a= 1 或 a= 2(舍去).3,若函數(shù)f（x）=xex的圖象的切線的傾斜角大于2,則x的取值范圍是（）A.(巴 0)C ( 一 OO )

3、一 1D.(巴 1)答案 B解析 f' (x)= ex + xex= (x+ 1)ex,又切線的傾斜角大于4.函數(shù)f(x) = 2x2ln x的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. !p, 1：B.12, 0;和 & +°° ；C.g +8 ,!D.i-oo, - 2a”, 2；答案 C1 4x 1 一 解析 由題息得 f (x)=4x =,且x>0,由 f' (x)>0,即 4x2- 1>0,解得 x>2.故選 C.答案 Baxfx 1 ex解析 函數(shù)y=殳的7E義域為( 8, 0) U (0, +00),求導得y 2-,xx當x>

4、1時，V, >0,函數(shù)單調(diào)遞增；當0vx<1時，v' <0,函數(shù)單調(diào)遞減；當x<0時，V <0,函數(shù)單調(diào)遞減，且函數(shù) y=e無零點，故選B.x6.若函數(shù)f(x)=2x2+ln x- ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為(B. 4, +oo )D.(巴 4A. (4, +oo )C.(巴 4)答案 D解析由題意得f' (x)=4x + 1a>0在(0, + °°)上恒成立,x1.即aW4x+,(x>0)恒成立. x一 1又 4x+->4, x當且僅當x=2時等號成立, 所以a< 4.7.已知定義在R

5、上的函數(shù)f(x),其導函數(shù)f' (x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是() -a. f(x)的極大值為f(V3),極小值為f(-V3)B. f(x)的極大值為f(病)，極小值為f(V3)C. f(x)的極大值為f(-3),極小值為f(3)D. f(x)的極大值為f(3),極小值為f(3)答案 D解析由圖象知當x< 3時，f' (x)<0,當一3<x<0時，f3);同理知f(x)的極大值為f(3).9.函數(shù) f(x) = 1x3-4x+ 4(0<x<3)的值域為()3'(x)>0 ,函數(shù)f(x)的極小值為f(f(x)的導函數(shù)

6、為f (x),函數(shù)y = xf' (x)的圖象的一部分如圖所示，則f(b)>f(a)>f(c);函數(shù)f(x)在x=c處取得極小值，在 x= e處取得極大值；函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值，在 x= e處取得極小值；函數(shù)f(x)的最小值為f(d).A. B. C. D.答案 A解析由導函數(shù)的圖象可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8, % (e, + oo)內(nèi)，f (x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8, c), (e, + oo)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(c, e)內(nèi)，f' (x)<0, 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(c, e)內(nèi)單調(diào)遞減.所以f(c)>f(a),所

7、以錯；函數(shù)f(x)在x= c處取得極大值，在 x= e處取得極小值，故 錯，對；函數(shù)f(x)沒有最小值，故 錯.- 4 廣A. 1 , 4B. -3, 4 IC. -3, 1 1D. 0, 3答案 B解析 f，(x)=x2-4=(x+ 2)(x-2).當 xC0, 2時，f (x)<0, f(x)單調(diào)遞減；當 xC(2, 3時，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞增.L，4,且 f(0)=4, f(2) = 4, f(3) = 1,34所以函數(shù)f(x)的最大值為f(0)=4,函數(shù)f(x)的最小值為f(2) = -4,3故值域為 l_.44 一3?10.已知函數(shù)f(x)=ax3

8、3x2+1,若f(x)存在唯一的零點 xo,且xo>0,則實數(shù)a的取值范圍是()A. (2, +8)B. (1 , +oo)C. (一00, 一 2)D.( 00, 一 1)答案 C解析 易知aw0,所以f(x)為一元三次函數(shù).因為 f' (x) = 3ax2-6x= 3x(ax-2),2所以方程f (x)=0的根為x1 = 0, x2= 一a-又注意到函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(0, 1),所以結(jié)合一元三次函數(shù)的圖象規(guī)律及題意可知，函數(shù) f(x)的圖象應(yīng)滿足下圖，a<0,從而有 2I"，飛<0,即& - 4 一 座3></ 1>0,

9、解得a< 2.故選C.22、x11.設(shè)函數(shù)f(x)= min 4xln x, /min a,b表布a, b中的較小者)，則函數(shù)f(x)的最大值為()A.3ln 2 B. 21n 2 C.1 D.422e e 答案 D解析 函數(shù)f(x)的定義域為(0, +8).由 y1 =xln x 得 y1' = ln x+ 1,*,一 11令yi =0,解得x=-，e.y1 = xln x在Iq,；出單調(diào)遞減，在22, x, 2xx由 y2 = -x, x>0 得 y2= 1x-ee令 V2' =0, x>0,解得 x=2,2(2, +8)上單調(diào)遞減，作出示意圖如下,，y2

10、=xx在(0, 2)上單調(diào)遞增,在 e答案 7當 x=2 時,y1 = 2ln 2, y2= 42. e.2ln 2>4 e2. x.,yi=xln x 與 y2=1的交點在（1, 2）內(nèi), e.函數(shù)f(x)的最大值為e2.12.已知y=f(x)為(0, +8)上的可導函數(shù)，且有 f，(x)+號>0,則對于任意的a, bC (0, x+ °° ),當 a>b 時，有()A. af(a)<bf(b)B. af(a)>bf(b)C. af(b)>bf(a)D. af(b)< bf(a)答案 B解析 由f' (x)+峪>0,

11、得二(x葉f(x >0, xx即 xf(： >0,即xf(x)/x>0.,.x>0,，xf(x)' >0,即函數(shù) y= xf(x)為增函數(shù),由 a, bC(0, + 8)且 a>b 彳:導 af(a)>bf(b),故選B.第n卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)13 .已知函數(shù)f(x)=xg(x)的圖象在點(2, f(2)處的切線方程是y=x1,則g(2)+g' (2)解析 因為 f(x)=xg(x),所以 f' (x)=1g' (x).由題意得 f(2) = 2

12、1 = 3, f' (2) = 1,所以 g(2) + g' (2)=2 f(2)+1 f' (2)=7.114 .已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬兀)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y= 13x3+ 81x 234,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為 萬件.答案 91 O解析y= - -x3+ 81x-234,3，y' =x2+81,令 y' >0,得 0<x<9,令 y' <0 ,得 x>9,函數(shù) y=-3x3+ 81x234在區(qū)間(0, 9)上是增函數(shù)，在區(qū)間(9, + 8)上是減函數(shù),二.函數(shù)在x

13、= 9處取得極大值，也是最大值.故使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為9萬件.x 1. . x 24. 一 .，、 一，,一，一、，15 .已知函數(shù)f(x) = ln 2+2, g(x) = e ,右g(m)= f(n)成立，則nm的取小值為 答案ln 2 解析 令 f(n) = g(m)= k(k>0),k則由 ln 2+ 2 = k,解得 n= 由 em2=k,解得 m= ln k + 2,一2ek則 n-m=五-ln k 2,令 h(k) = 2e-ln k-2,r2ek 1則 h' (k) = 等 1 一由h' (k)=0得k=-,且當e kkC(0, 1，時，h

14、' (k)<0, h(k)單調(diào)遞減，當 kC9，+ 8 h' (k)>0, h(k)單調(diào)遞增，則 h(k)min=hg p 皿 2，即n m的最小值是ln 2.16 .對于定義在 R上的函數(shù)f(x),若存在非零實數(shù) xo,使函數(shù)f(x)在( 8, Xo)和(x°, +°0) 上均有零點，則稱 xo為函數(shù)f(x)的一個“折點”.現(xiàn)給出下列四個函數(shù)： f(x)=3|x1|+ 2; f(x)=lg|x+2 019|; f(x)=x_x 1;f(x)= x2+2mx 1(mC R).則存在“折點”的函數(shù)是 .(填序號)答案解析因為 f(x)=3"

15、;1|+2>2,所以函數(shù)f(x)不存在零點，所以函數(shù)f(x)不存在“折點”；對于函數(shù) f(x)=lg|x+2 019|,取 x0= 2 019,則函數(shù)f(x)在( 8, - 2 019)上有零點x= - 2 020,在(2 019, +8)上有零點 x=- 2 018,所以=2 019是函數(shù)f(x)=lg|x+2 019|的一個“折點”；3 x對于函數(shù)f(x) = x 1 , 3則 f' (x)=x2-1 = (x+ 1)(x 1).令 f' (x)>0 ,得 x>1 或 x< 1;令 f' (x)<0,得1<x<1 ,所以函數(shù)

16、f(x)在(00 , 1)和(1 , + °°)上單調(diào)遞增，在(1, 1)上單調(diào)遞減.1又 f(- 1)=-<0,3所以函數(shù)f(x)只有一個零點，所以函數(shù)f(x) = x-x- 1不存在“折點”；3對于函數(shù) f(x) = x2+2mx1 = (x+m)2 m21,由于 f( 一m)= 一 m2一 1 w 一 1,結(jié)合圖象(圖略)可知該函數(shù)一定有“折點”.綜上，存在“折點”的函數(shù)是 .三、解答題(本題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17. (12分)(2019寧夏銀川一中月考)設(shè)可川=*3 x.求曲線在點(1, 0)處的切線方程；(2)設(shè)xC

17、1, 1,求f(x)的最大值.解(1)f，(x) = 3x2-1,切線斜率 f (1)=2,切線方程 y=2(x 1),即 2x-y2=0.(2)令 f' (x)=3x21 = 0, x=等， f' (x), f(x)隨x的變化情況如下表:x1J音電 3< 3 ? 3 ；亞 3除1)1f' (x)十0一0十f(x)0極大值極小值0故當 x=半時，f(x)max=29.18. (12 分)已知函數(shù) f(x)=ex+ ln x.(1)求函數(shù)y=f' (x)在區(qū)間1 , +8)內(nèi)的最小值；(2)若對任意xC1, +8),恒有f(x)>e+m(x- 1),求

18、實數(shù)m的取值范圍.1解 (1)令 y=h(x) = f (x) = e +-, x則 h' (x) = ex 4, x則當 xC1, + 8)時ex>e, -12< 1x所以h' (x)>0,即h(x)在區(qū)間1 , + °°)內(nèi)是增函數(shù)，于是y= f' (x)在區(qū)間1 , +8)內(nèi)的最小值為 h(1) = e+1.(2)令 g(x)=f(x) e m(x 1),則 g(x) > 0 對任意 xC1, + 8)恒成立，且發(fā)現(xiàn) g(1)=0, g' (x)=1+exm. x由(1)知當 mWe+1 時，g，(x)>0

19、,此時g(x)單調(diào)遞增，于是 g(x)>g(1)= 0,成立；當 m>e+ 1 時，則存在 tC (1, +8),使得 g' (t)= 0,當 xC(1, t)時，g' (x)<0,當 xC(t, +8)時，g' (x)>0,此時 g(x)min=g(t)<g(1)=0,矛盾.綜上得mWe+1,即實數(shù)m的取值范圍為(一°°, e+ 1.19. (13 分)已知函數(shù) f(x)= ln xx, g(x) = ax2 + 2x(a<0).(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間；，e1上的最值；(2)求函數(shù)h(x) = f(x)+g(

20、x)的極值點.1解 (1)依題息，f (x)=-1,x. 1令-1 = 0,解得 x= 1.x因為 f(1) = 1, f '廣1e, f(e) = 1e,1JeL 1 一 e< 一 1 一 < 一 1)的最大值為1,最小值為1 e.一一 一 1故函數(shù)f(x)在區(qū)間-，e e2 .(2)依題息,h(x)= f(x) +g(x)= ln x+ax +x(x>0),1 ,八 一 2ax2+ x+ 1h (x)=-+ 2ax+1=,xx當 a<0 時，令 h' (x)=0,貝U 2ax2+x+ 1 = 0.因為 A= 1 - 8a>0,ui、， ,2ax

21、2+x+1 2afx x fx x2 所以h' (x) =U,xx其中x1 = 一4a1+ , 1 8a4a因為 a<0,所以 x1<0, x2>0, 所以當 0<x<x2時，h' (x)>0;當 x>x2 時，h' (x)<0,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0, x2)內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間(x2, + °°)內(nèi)是減函數(shù),故x2 = 1 +Y1 8a為函數(shù)h(x)的極大值點，無極小值點.4akx20. (13 分)(2018 廣州倜研)已知函數(shù) f(x)=5+ln x, g(x) = 一(k R). x十1(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(1, f(1)處的切線與函數(shù)y=g(x)的圖象相切，求k的值;(2)若kC N*,且xC (1, +oo )時，恒有f(x)>g(x),求k的最大值.(參考數(shù)據(jù)：ln 5=1.609 4, ln 6 = 1.791 8, ln(V2+ 1)0.881 4)1 解 (1) . f(x) = 5+ln x, ，f(1)=5,且 f (x) = 1,x從而得到f' (1)=1.，函數(shù)f(x)的圖象在點(1 , f(1)處的切線方程為 y 5=x1,即 y=x+4.kx設(shè)直線y=x+ 4與g(x)=-(k R)的圖象相切于點P(x0,