初二上冊幾何知識點歸納與整理

1、初二上冊幾何知識點歸納與整理型一、角平分線輔助線的做法一、特征：角平分線上的點到一邊的距離。例 1、如圖，在 AABC 中，CQ平分 NAC3,交 A8 于點。，DE L AC 于點、E，若 BC = 2，n + 6 , DE = m + 3,則SCO的面積為（）A. nr + 6m + 9B. 2/7/2 +12/77 +18C.+9D. 2/一 1811課堂練習(xí)1、如圖，ZZ? = ZC = 90，時是BC上一點，?！捌椒諲AQC, AM平分求證：AD = CD+AB.2、在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，點B在X軸正半軸，且0B=3（1）若點A在Y軸正半軸上，ZOAB=30;且A48O

2、與AA8D關(guān)于直線AB對稱，求此時點D的橫坐標(biāo)（2）己知，點M（"z,O）、N（0, ）,（3vv6）,將點目句上平移3個單位長度后得到點E,若NMEV=90。， 求機+的值二、特征:有角平分線并有一邊垂直于角平分線.例 1、如圖，BD 是 X.4BC 的平分線，ADLBD,垂足為 D、ZDAC = 22° ,乙C = 38° ,)=2 ,則'B=課堂練習(xí)1、如圖，AA3C的面積為17c/，A尸垂直4鋁C的平分線3尸于點尸，則好8。的面積為()K 8.5cm2B. 9cnrC. 0.5cm2D. 11。/2、如圖，在A4BC中NBAC = 90 , AB=

3、AC, NABC的平分線交AC于點£),過C作E。的垂線交ED的延長線于點E, CE=5,則5". =.3、己知，在A48C中，N8AC=90。,A8 = AC,CE 平分 NAC8交 A8于點 E(1)如圖9,若點。在斜邊BC上，DW垂直平分8七，垂足求證：BD=AE;(2)如圖10,過點8作8尸，CE,交CE的延長線于點尸，若BF = 2,求MFC的而積。EQ 10三、特征：有角平分線但無距離，求線段的和差倍分。輔助線的做法：在一邊上截取一段和角平分線另一段相等。例 1、已知，A43C 中，ZB = 2ZC, 4。平分的C 交 于。.求證：AC-AB = BD .課堂練

4、習(xí)1、如圖，BOAB, 8。平分NA8C,且NA + NC = 180°,求證 AQ= OC2、如圖， = " = 90 , M 是BC 上一點，?！捌椒?NAQC, AM 平分 NOA5.求證：AD = CD+AB .題型二、手拉手模型例1、如圖，點A為線段8。上一點，A48C和A4D上均是等邊三角形，求：(1) CD = BE, (2)ZmE+ZBFD=180°； (3) ZBFA= ZDFA = 60°.課堂練習(xí)1、（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1, AAC8和MCE均為等邊三角形，點A, D, E在同一直線上，連接填空：NAE3的度數(shù)為：線段A。，8E之間

5、的數(shù)量關(guān)系是.（2）拓展探究如圖2, AAC8和MCE均為等腰直角三角形，ZACB = /DCE =，y點A, D, E在同一直線上，且交8c于 點F,連接若NC4尸= N84立BE = 2,求Ab的長.型三、垂直模型例1、如圖，在AA3C中，NAC8=90。，AC = 3C,直線/過。點，過A點作AOJJ于。，過點8作8E_L/于E,問 AD. BE、OE滿足的數(shù)量關(guān)系，并進行證明.例 2、如圖，P(2,2), A(2,0), B(0,)，且?>2, n<0, /% =.則m+的值是 課堂練習(xí)1、如圖，在等腰用3。中，Z4C8 = 90°,4。_1。£）于點0

6、, BE上CD于點、E.（1）求證：MCD = SCBEi（2）若 BE = 9, CE = 4,求 0£ 的長.2、如圖，平面直角坐標(biāo)系中41.0）.6（。，2）, BA = BC, /ABC = 90。,則點。的坐標(biāo)為C3、在平面直角坐標(biāo)系中有一個A7I”8CNAC8 = 90。，AC= 8C,點C的坐標(biāo)為（一3,-3）,點8（0,）在y軸負半軸上，點A （肛0）在4軸的正半軸上,求6m+ 3（一2）的值.4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點力（7,0）, 3（0, 7）,點C為x釉負半軸上的一點，AOLAB,且8 = 6,Z1 = Z2.（1）求NABC+ND的度數(shù)；（2）如圖

7、1,若點C的坐標(biāo)為（3,0）,試求點。的坐標(biāo);5、如圖，04 = 2,08 = 4,以A點為頂點，A8為腰在第三象限作等腰直角八48。.求點C坐標(biāo);（2）如圖，。4 = 2,點P是y軸負半軸上一個動點，當(dāng)P點向y軸負半軸向下運動時，若以P為直角頂點，PA為腰作等腰過。作軸于E點，求OP D上的值;型四、倍長中線模型例1、如圖已知在三角形A9C中WD是BC邊上的中線，E是AD上一點,且BE=AC,延長BC交幺C于點尸, 求 AF二FE課堂練習(xí)1、在AA6C中，46 = 6, AC = 4,則8c邊長的中線A£的取值范圍是2、己知 CZX4B,二BZM=：A4D HE 是二的中線。求證：

8、匚C=：BAE3、如圖，在AABC中，點D、E在BC上，且DE=EC.過點D作DFBA,交AE于點F, AE平分NBAC , 求證DF=AC.型五、半角模型例1、如圖，在正方形A8CO中，E是CD上一點,尸是AO上一點，如果NfBE=45",證明：EF = CE + AF.課堂練習(xí)1、如圖，在四邊形A8CQ中，NB + NC = 180",8O = CDN8£）C=12（r ,以點。為頂點做一個60°的角，角的兩邊交A8,從。與點瓦尸兩點，連結(jié)石/，探索線段8£C£E尸之間的關(guān)系式，并加以證 明。型六、截長補短例1（7分）如圖，在AA

9、8C中，N8 = 60o,ADCE是AA3。的角平分線，且交與點O,求證：AC = AE+CD.課堂練習(xí)1、如圖，四邊形A3CD中，AB = AD AC = 5, /DA3 = NDC3 = 90。，則四邊形A3CQ的面積為（）A. 15 B. 14.5 C. 13 D. 12.52、如圖，在43C 中，NA4c=60" , ZACB=4Q° , P、R 分別在 BC、CA 上，并且 4P、BQ 分別為NAUC、 NA3C的角平分線，求證：B，AQ=AB+BP3、已知：四邊形A3C0中，AD = CDy ZADC = 60°,(1)如圖，若/BCD =/BAD =

10、 90。，求證：AB + BC = BD；(2)如圖，若NBC£> + NBA3 = 180。，求證：AB + BC = BD.4、如圖，CN是等邊&通C的外角NKQM內(nèi)部的一條射線，點工關(guān)于CN的對稱點為。，連接£>. BD,8,其中WD, BD,分別交射線CN于點上、P.依題意補全圖形。若NACN=a,求的大小。用等式表示線段尸8,PC與尸E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。N5、如圖，在AABC中，8七平分NA8C交4c邊于點E，(1)如圖1,過點E作DE/BC交AB于點D，求證：A5QE為等腰三角形：(2)延長 3E 到 D，ZADB = ZABC , A

11、F1BD于 F，AD = 2,BF = 3,求。尸的長(3)如圖3,若A3=AC, AFLBD ZACD = ZABC,判斷§尸、CD、。廠的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.I型七、等腰綜合一、存在性（兩圓一垂直平分線） 例1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系工中，點A在第一象限，與y軸的夾角。= 30。，若點B在坐標(biāo)軸上，則滿足A4O8是等腰三角形，點8可能位置共有（）個I課堂練習(xí)如圖，在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點成為格點，已知是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得A48C為 等腰三角形，則點。的個數(shù)是.如圖所示，在長方形43co的對稱軸/上找點尸,使得PAR "BC、"DC、&q

12、uot;AD均為等腰三角形,個:則滿足條件的點P有BDBA/如圖，直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(2,0),以。4為邊在第四象限內(nèi)作等邊MOB,點。為x正半軸上一動點 (OC>2),連接8C,以BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊ACB。，直線0A交)，軸于點E .(1)若點B的坐標(biāo)為(myn )，求機的值(2)求證：&OBC與MBD全等(3)是否存在點。，使得A4EC是等腰三角形？若存在，請求出點C坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。二、三線合一綜合例：如圖7,在45C中，4UC,點河在W3C內(nèi)，點P在線段MC上,/AB0/ACM.(1)若NPBC= 101 ZBAC=80° ,求NMPB

13、 的值；(2)若點”在底邊BC的中線上，且AP=1C 試探究乙4與NA3P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.課堂練習(xí)L如圖 2,在 MBC中，N3=30。，點、D 是 BC 的中點，DE二BC 交 AB 于點、E,點、。住 DE 上,OA=OC,OD=0 5.2.如圖處N3C中,NdC3=90° ,且C=BC,點。在斜邊48上，且WDTC,過點8作BXJ_CZ)交直線CD于點E(1)求NBCQ的度數(shù):(2)求證：CD=2BE.三、三線合一(逆應(yīng)用)例 1、如圖，在 AA3C 中，ZBAC=120°, AB=AC=49 ADLBC, BD=2,延長 4。到 E，AE=2AD >

14、連 ii接BE。(1)求證：AABE為等邊三角形：(2)將一塊含60°角的直角三角板PMN如圖放置，其中點尸與點£重合，且NNEM=60。，邊NE與A8交 于點G，邊ME與AC交于點尸,求四邊形4GEF的而積；課堂練習(xí)1、如圖，A48C中，。是A3的中點。七_LAB, NACE+N3CE= 180°, E/_LAC交AC于產(chǎn),AC=12, BC=8,則A=-2、如圖，AABC中，WD平分NAAC，OGJL3c且平分BC，DE工AB于E,。尸JL AC于尸(1)求證：BE=CF；(2)如果且3=8，且。=6,求KE、的長。型八、構(gòu)造等邊三角形例 1, 如圖，NA4Z

15、)= 1200 , BD=DC ABADAC,求證：以C平分1例2, ZUBC中，HBflC,。是CB延長線的一點，NADBWO。，E是4D上一點，且有Z)E=。夙 求證：AE=CD例3,已知：等邊三角形A3C(1)如圖1, P為等邊M6C外一點，且N8PC = 120°,試猜想線段8尸、PC、A尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖2, P為等邊AABC內(nèi)一點、,且NAPO = 120 ,利用第1問的結(jié)論證明：PA+PD+PC>BD課堂練習(xí)L如圖所示，在四邊形且BCD中，N45C=60° ,尸為四邊形.WBS內(nèi)部一點，N4PZM20。，求證：R4+PD+PC

16、> BD.2.如圖，在中，N."C>60。，NA4CV60。，以,48為邊作等邊上助（點C,。在邊48的 同側(cè)），連接CZ）.（）若乙=C=90。，NR4c=30。，求N3OC 的度數(shù)；（）當(dāng)NR4C=2NAOC時，請判斷W3C的形狀并說明理由；（）當(dāng)NB8 等于多少度時，NBAC=2NBDC恒成JL.題型九、最值問題例1.如圖，四邊形A3C。中，N84O = 120°, /B = ND = 900,在8C、CO上分別找一點M、N,使AAMN周長最小時，則NAMN+NANM的度數(shù)為()A. 130°B. 120cC. 110°D. 100&#

17、176;C例2.如圖，"> 為等邊M3C的高E,尸分別為線段AD、KC上的動點，且,4E=CE 當(dāng)皮斗C上取得最小值時,NAFB的度數(shù)為例3.在ABC中，AC = 8C,NAC3 = 90。，點七是A3邊上一動點(不含端點d、B),連接CE,點P是直線CE上的一個動點，連接5戶。(1)如圖二，過點C作Cr>_LA3于點。，當(dāng)N8P。=90。時，80交CO于點G.求證：AE=CG(2)如圖二，當(dāng)NEC4 = 15。，N80C=75。時，連接AP,求證：PC=PA(3)如圖二，當(dāng) NEC4 = 15。，AC = 8C = 5時，求IPB PAI 的最大值，BBB課堂練習(xí)L在等

18、邊三角形ABC中，DE分別是8cAe的中點，點P是線段AD上的一個動點，當(dāng)尸CE的周長最小時,P點的位置住()A. A8C的重心處B. A。的中點處 C. A點處 D.。點處2 .如圖，AA6c中，NAC3 = 90。，ZB = 30° > AC = 4cm，P為邊的垂直平分線。石上一個動點，則A4CP的周長最小值為 cm.13 .如圖NMON內(nèi)部有一點P, O夕=10c7,且NMON = 300, A、3為射線OW, ON上的兩個動點，則A43P4.(1)如圖，AO=8O = 2,乙4。8 =60。，則A,8兩點之間的距離為:(2)448。= 90。中，AB = BC,M為R

19、TAABC內(nèi)4壬意一點、,以M8, A3為邊分別做等邊&WN3和等邊482連說明線段AA1,EN有什么數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)ZABC = 90°, AB = 8C,以A8為邊作等邊AA8E,以MB為邊作等邊MNS,連接AM, EN,請在RTABC 內(nèi)找至|J使A£4+A力+龍。為最小值的點說明理由.題型十、箏形例1、你們見過這種形狀的風(fēng)箏嗎？如圖，在四邊形438 中，如果有48二D BC二DC,則我們稱這個四邊形ABCD為箏形.連接KC和助 交于點尸，下列結(jié)論中成立的有3箏形488為軸對稱圖形NC平分NR4。和ZBCD3。平分NJ8C和Z.4DCNC_LAD于

20、點尸 ZBAD=ZBCDNC平分BOAD平分NCZ.4BC=Z.4DCA. 4個 B. 5個C. 6個D7個課堂練習(xí)1、定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.如圖，四邊形A8CQ是一個箏形，其中AO = CDA8 = C8在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：48 = NQC3： ®ABD = CBD,四邊形A3CO是軸對稱圖形，且有兩條對稱軸；四邊形43CQ的而積= !aC-8。.其中正確的結(jié)論有（）2A. 1個5. 2個C 3個D. 4個2、如圖，四邊形43C。中，N8A£與/C互補，/朋。 NC,點七在。上，對角線BD平分NABE,且AB = BE, 8F1C。,垂

21、足為點尸(1)若W = 2,AO = 3,求CD的長(2)若 NADC = 90。，BE 平分 NABC,四邊形 A8EO 的面積為。，CE + 8Q = a + 2(42).求 A。的長(用 含。的代數(shù)式表示)、完全平方公式與幾何例1、如圖，在A43C中，NC = 90。，若把AABC沿直線OE折疊，使A4L應(yīng)與MO七重合(1)當(dāng)NA = 35。時，求NC8O的度數(shù)；(2)當(dāng)AC2+8C2=m2(m>0)時，A43C的面積為?+1,求BCO的周長。(用含1的代數(shù)式表示)2課堂練習(xí)1、如圖，在AABC中，點。是BC邊的中點，OE_L8C,NA8C的平分線3歹交OE于點P,交4c于點， 連

22、接PC.(1)若 NA = 60 , NACP = 24，求 NAB尸的度數(shù)；(2)若A8 = 8C8W2+CM2="?2("?>O),”CM的周長為根+ 2時，求A3CM的而積(用含，的代數(shù)式表 示).2、在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，且A(2,2)若點3(4,2),。(3,5),請判斷AA3C的形狀,并說明理由。己知，點N(n,O)(vO),若 4WV=90。，且? = 一了，求/+/的值3、在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點8在x軸正半軸上，且08 = 2.(1)若點A在)，軸的正半軸上，NQ48 = 30°且A48O和AAB。關(guān)于直線48對稱

23、，求此時點0的橫坐標(biāo):已知，點M(?,0)、N(0,)(2 v n < 4),將點B向上平移2個單位長度后得到點B ,若NMBN =90°且 mn = y5 ,求nr +n2 的值。型十二、動點問題2例1、如圖，己知AA3C中，AB = AC = 6cm. 3。= 1及7”，點。為A3的中點，點尸在線段上以2c7“秒的速度由8點向。點運動，同時，點。在線段C4上以4"/秒的速度由。點向4點運動，設(shè)點產(chǎn)、。的運動 時間為/秒.(1)若 =2,則 7=時，&BPD 與 &CQP全等.(2)若。工2，則A3尸。與ACQP全等時，°=.例2、如圖，A

24、ABC是邊長為10的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由4向。運動（與A、C不重合）.（1）如圖1,若點。是5c邊上一動點，與點P同時以相同的速度由。向8運動（與C、8不重合），求證：BP = AQ ；（2）如圖2,若。是。3延長線上一動點，與點尸同時以相同的速度由3向C8延長線方向運動（。不與8重合），過戶作尸£_LA3于E,連接尸。交A8于。.在運動過程中線段E0的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段。的長：如果發(fā)生改變，請說明理由.2課堂練習(xí)1、如圖，A43C是邊長為4cm的等邊三角形，點P，。分別從頂點4, 8同時出發(fā)，沿線段AB BC運動，且它們的是速度都為1厘米/秒.當(dāng)點P到

25、達點8時，P、。兩點停止運動.設(shè)點尸的運動時間為/（秒）.（1）連接A。、CP,相交于點“，如圖2,則點夕，。在運動的過程中，NCMQ會變化嗎？若變化，則說明理由：若不變，請求出它的度數(shù)（2）若"8。是直角三角形，求1的值.圖2、已知ZUBC是等邊三角形，點。是直線BC上一點，以。為一邊在，力 的右側(cè)作等邊HDE（1）如圖，點。在線段BC上移動時，請判斷3。、CE的大小關(guān)系并證明：（2）如圖，點。在線段的延長線上移動時，猜想NOCX的大小是否發(fā)生變化。若不變請求出其大?。喝?變化，請說明理由.3、如圖二，8=4。，且。二48, 3D二43, £>3。=3麗.點尸在線段

26、N3上以1。加s的速度由/向3運動,同時點。在線段3。上由點B向點。運動。它們運動的時間為ts.（1）若點。的運動速度與點尸的運動速度相等，當(dāng)*1時，二4cp與二BP。是否全等?請說明理由，并判斷此時線 段尸。和線段尸。的位置關(guān)系。(2)如圖二，將FC二9，BD二AB"改為PC4BGDBA”,其他條件不變，設(shè)點。運動速度為xc加/s,是否存在實 數(shù)x,使得二4c尸與口3尸。全等?若存在，求出相應(yīng)x, f的值：若不存在，說明理由。2題型十三、全等與坐標(biāo)系例1、(14分)在平面直角坐標(biāo)系中，A(，01 8(0，b),其中“>。>0(1)若。=2, NOA4 = 30°,將AABO沿48翻折至AA8。，求。的橫坐標(biāo)；(2)若a = 2,2<Z?<4 ,將點A向