可靠性試驗(yàn)分析與設(shè)計(jì)3

1、第四章（43）可靠性試驗(yàn)分析與設(shè)計(jì)三、圖估計(jì)法 參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷方法大致可分兩類，數(shù)值分析法和圖分析法。圖分析法是使用各種座標(biāo)紙進(jìn)行分析，這種方法使用方便，直觀易懂，容易掌握。它可以起到數(shù)值分析起不到的作用。將多種觀測的試驗(yàn)數(shù)據(jù)按照某種理論分布畫在在相應(yīng)的概率紙上，設(shè)法擬合一條直線，只要讀取這條直線的斜率和截距，就能掌握有關(guān)規(guī)定分布特征的參數(shù)方面的信息。各種分布函數(shù)在直角坐標(biāo)系中是曲線，經(jīng)坐標(biāo)變換后，在新坐標(biāo)下是直線，利用新坐標(biāo)的變換尺度制成的專用紙，稱為概率紙。 這種直接在概率紙上求得參數(shù)估計(jì)值的方法，稱為圖估法。1. 分布類型的檢驗(yàn) 圖估法的優(yōu)點(diǎn)是可用肉眼判斷直線的擬合程度，但在使用初期，有時(shí)

2、對與直線擬合的程度似乎信心不足。此外即使有一些使用圖估的經(jīng)驗(yàn)，在畫的點(diǎn)與直線有比較大的偏移時(shí)，也需要有一定的根據(jù)來評價(jià)擬合程度的好壞。這種情況下，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法是有用的，如果選擇一個(gè)合適的置信系數(shù)，則可以作出客觀的符合常識的判斷。下面介紹幾種常用的檢驗(yàn)方法。（1）.擬合優(yōu)度檢驗(yàn)當(dāng)不知道產(chǎn)品的壽命分布類型時(shí)，首先按子樣的試驗(yàn)數(shù)據(jù)作出分布檢驗(yàn)，然后再作參數(shù)估計(jì)。分布檢驗(yàn)的過程：試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷產(chǎn)品的壽命分布。推斷依據(jù)，要進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)指的是，觀察值分布與先驗(yàn)的或擬合觀察值的理論分布之間的符合程度的度量。從總體中抽取一個(gè)子樣，所得經(jīng)驗(yàn)分布與總體或多或少存在差異，差異可能來自：a). 假設(shè)

3、分布不正確，不是總體分布，偏差較大；b) .假設(shè)分布與總體符合，但子樣的隨機(jī)性引起了偏差，但這個(gè)偏差比a）要小得多。對上述情況需要確定一個(gè)偏差的界限。若子樣偏差小于此界限，就認(rèn)為二者符合。若子樣本算出的偏差大于界限值，即不能認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)分布與總體偏差符合?；谶@個(gè)思想，設(shè)樣本偏差為d，另外假設(shè)偏差為D(是隨機(jī)變量)，可以研究這個(gè)D的分布，再由D分布計(jì)算選擇一個(gè)界限為，則判別式： 為置信水平，可取等。若，偏差大于臨界范圍，發(fā)生了小概率事件，應(yīng)該懷疑原假設(shè)。判斷選擇的分布與總體之間差異較大，這種選擇應(yīng)予以拒絕。所以當(dāng)子樣偏差大于 ，則拒絕原假設(shè)，否則接受。由此，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的步驟如下：(1).根據(jù)假設(shè)

4、,引進(jìn)合適的統(tǒng)計(jì)量；(2).確定統(tǒng)計(jì)量的精確分布或漸近分布；(3).由樣本值算出統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值；(4).定適當(dāng)?shù)娘@著水平；(5).假設(shè)的拒絕與接受；由樣本計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量,其判別式表示為 當(dāng)樣本計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量在拒絕域范圍內(nèi)或超過臨界點(diǎn)的值,則拒絕假設(shè),否則接受假設(shè). 在實(shí)際工作中，對于分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)往往采用最直觀的作圖法，即，將統(tǒng)計(jì)到的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，在假設(shè)分布的概率紙上描點(diǎn)，若連線為直線趨勢，則認(rèn)為所抽樣本服從假設(shè)分布，但由于作圖連線因人而異，判斷往往不太準(zhǔn)確，因此也經(jīng)常用解析檢驗(yàn)方法作校核。(2).皮爾遜檢驗(yàn)法為了驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)得到的經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布是否一致，將觀測值進(jìn)行分組，選用統(tǒng)計(jì)量 作為經(jīng)驗(yàn)

5、分布和假設(shè)的理論分布之間的差異度，用下式表示： （）式中，m為分組數(shù); 為落入第i組的頻數(shù)；n為樣本容量；為按假設(shè)的理論分布計(jì)算得到的落入第i組的概率；為第i組的理論頻數(shù)。可以證明當(dāng)n足夠大時(shí),所設(shè)的經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布差異的統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布服從自由度為k=m-1的分布。當(dāng)所假設(shè)的理論分布的參數(shù)是用統(tǒng)計(jì)得到的樣本估計(jì)出來時(shí)，自由度 k=m-r-1 式中r為所估計(jì)的總體分布參數(shù)的個(gè)數(shù)。檢驗(yàn)的計(jì)算步驟如下：（1） 要求所取的樣本數(shù)n50,落入每組的頻數(shù)5，若某組的太小，可合并，減少組數(shù)；（2） 將數(shù)據(jù)分組，統(tǒng)計(jì)各組頻數(shù)，根據(jù)分布情況，建立原假設(shè):;（3） 給出顯著水平；（4） 按公式,計(jì)算落入任一區(qū)

6、間的理論概率；（5） 按（）式計(jì)算統(tǒng)計(jì)量；（6） 根據(jù)自由度k和顯著水平查分布表，得到值；（7） 作出原假設(shè)接受與否的結(jié)論。例: 用檢驗(yàn)判斷某機(jī)主油泵的故障分布假設(shè)為指數(shù)分布是否正確，共統(tǒng)計(jì)了81臺該泵的故障時(shí)間，如下表所示，設(shè)顯著水平為。 解：主油泵的平均故障間隔時(shí)間： 建立原假設(shè)：油泵故障為指數(shù)分布，可靠度函數(shù)： 計(jì)算結(jié)果見下表：查表得： 結(jié)論：接受原假設(shè)，油泵故障分布為指數(shù)分布，檢驗(yàn)是用分區(qū)間來考慮經(jīng)驗(yàn)分布和總體分布之間的差異。 在現(xiàn)場的使用匯總，得到的數(shù)據(jù)都是具有隨機(jī)截尾的特性，且樣本量都較大。在目前尚未有較合適的方法對這類數(shù)據(jù)分布擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)的情況下，可試用檢驗(yàn)。 前面講過每一個(gè)

7、時(shí)間區(qū)段（或劃分的每一組）內(nèi)樣品的故障概率為，對于完全樣本：為每一區(qū)段的故障數(shù)：但對于不完全樣本中隨機(jī)截尾的情況，樣品每一區(qū)段的應(yīng)以下式來計(jì)算： 此時(shí)，每一區(qū)段的故障數(shù)為，其中為每一區(qū)段開始時(shí)的殘存樣品數(shù)。由于檢驗(yàn)是一種近似方法，所以樣本容量n必須足夠大才行。然而，可靠性實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)量一般比較小，安全地滿足近似條件有困難，所以在使用中注意到，降低條件后檢驗(yàn)精度要大幅度降低。樣本容量小于30時(shí)，下面的K-S檢驗(yàn)方法是有效的。 （3）柯爾莫哥洛夫斯米爾諾夫（K-S）檢驗(yàn)法a). 用于完全樣本的K-S檢驗(yàn)作原假設(shè)：經(jīng)驗(yàn)分布等于理論分布，即。將與的最大偏差作為理論分布與經(jīng)驗(yàn)分布的差異度，K-S方法認(rèn)為樣

8、本小，累積分布折線上的點(diǎn)不會偏離母體累積分布函數(shù)太遠(yuǎn)，于是提出假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為由于都是t的單調(diào)函數(shù)，所以偏差的上確界可在n個(gè)點(diǎn)處找，即它是在子樣的每個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量上求樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和假設(shè)的理論分布之間的偏差，計(jì)算的表達(dá)式為：顯然，反映了相差距離的遠(yuǎn)近，可見K-S方法是一種非參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)?？梢宰C明，如果是連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，概率的關(guān)系有專門的表可查（這種表稱為極限分布表）。進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)分布和假設(shè)的理論分布之間的最大偏差計(jì)算 如果給定置信水平，則由極限分布表查出最接近于的數(shù)值所對應(yīng)的值，比較是否小于，若小于則接受原假設(shè)，否則拒絕。例：某批產(chǎn)品抽樣100件進(jìn)行壽命試驗(yàn)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知其總體分

9、布服從平均壽命為200h的指數(shù)分布，從100件樣品的試驗(yàn)結(jié)果作原假設(shè)：，由計(jì)算得到（根據(jù)壽命數(shù)據(jù)計(jì)算累積失效分布，再與理論分布的值逐一比較得到最大值），當(dāng)給定置信度10.9時(shí)，問原假設(shè)是否成立。解：由10.9查表得到，又有 因?yàn)?，通過原假設(shè)。說明該批產(chǎn)品服從平均壽命為200h的指數(shù)分布。b）用于截尾樣本的K-S檢驗(yàn)對于定數(shù)截尾試驗(yàn)：檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為其中r為截尾數(shù)，為第r個(gè)故障產(chǎn)品的故障時(shí)間，滿足關(guān)系式臨界值，對于不同的值可查專門的可靠性試驗(yàn)用表。當(dāng)>時(shí)將拒絕原假設(shè)。 當(dāng)定時(shí)截尾試驗(yàn)時(shí)，上邊的式中由定時(shí)截尾時(shí)間來代替，然后作同樣的假設(shè)判別。3、威布爾分布的圖估計(jì)前面已知，兩參數(shù)的威布爾分布其

10、故障概率為： 這種分布在直角坐標(biāo)紙上是一條曲線，但經(jīng)變換坐標(biāo)（即上式兩邊取對數(shù)后），得其中：，其分布在坐標(biāo)下是一條直線，其斜率是m，縱截距是-B，根據(jù)上述原理，可設(shè)計(jì)一種特殊的坐標(biāo)紙，即威布爾概率紙，來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。威布爾概率紙的橫坐標(biāo)有兩種：X尺和t尺，X尺是等距尺，t尺是對數(shù)尺；同樣在縱軸上也有兩種尺，即Y尺和F(t)尺，Y尺是等距尺，F(xiàn)(t)尺是雙對數(shù)尺。圖4.18威布爾概率紙有了概率紙后，具體圖估過程如下：(1).在概率紙上描點(diǎn) 根據(jù)子樣故障時(shí)間 ，算出累積故障概率當(dāng)子樣數(shù)時(shí)： ， 其中為時(shí)刻前的累積故障數(shù)；當(dāng)子樣數(shù)時(shí)，利用中位秩估計(jì)，使用時(shí)可查可靠性試驗(yàn)用表中的中位秩表，也可用下列近

11、似公式計(jì)算： 或 對于小樣本情況，有時(shí)也用平均秩法 最后把各點(diǎn)描在威布爾概率紙上，概率紙一般采用雙坐標(biāo)紙。(2).配置回歸直線 如是威布爾分布，憑目視，可配置一條直線。 注意到：各點(diǎn)分布在直線附近，且回歸直線上下點(diǎn)數(shù)大致相等，直線與各點(diǎn)的偏差綜合要盡可能地?。ㄗ钚《嗽恚?。特別直線的中段（3070）F段）點(diǎn)子與直線的偏差盡可能地小，而兩頭可不必要求太嚴(yán)。若威布爾概率紙上的最大值為100，若子樣大于100時(shí)，可作如下變換：其中，改變了比例，尺度縮小了倍，但回歸直線斜率不變。而分布真正的尺度參數(shù)為。 (3).參數(shù)的估計(jì)在威布爾概率紙上有一個(gè)小圓圈，它的座標(biāo)為，稱為的估計(jì)點(diǎn)，過點(diǎn)作一條平行于回歸方

12、程的平行線，這條平行線的方程為，這條直線與Y軸的交點(diǎn)為。在紙上讀出回歸直線與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為b，由交點(diǎn)（0，b）再引平行線與Y尺相交，由可知，當(dāng)，故尺度參數(shù)，或按對應(yīng)t軸的刻度即為，軸的刻度即為。(4). 平均壽命特征壽命的估計(jì) 設(shè)回歸直線與軸交點(diǎn)則有 ， ，而因此只要在概率紙上讀出回歸直線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)a，代入指數(shù)函數(shù)得前面已知，威布爾分布的平均壽命為 ，知道了和m就可通過查伽馬函數(shù)表得到平均壽命值。另外可見只是形狀參數(shù)m的函數(shù)，因此另在威布爾概率紙上做了兩把尺：尺和，可利用它們求的估計(jì)值。 通過m點(diǎn)做回歸直線的平行線，該線與和尺的交點(diǎn)乘以的估計(jì)值，即可得到平均壽命和的估計(jì)值。， ?例：威布

13、爾分布概率紙檢驗(yàn)的例子如一廠生產(chǎn)的二極管，在高溫下做存儲壽命試驗(yàn)，設(shè)試樣18只，在規(guī)定失效標(biāo)準(zhǔn)后。進(jìn)行定周期測試，觀察時(shí)間和失效數(shù)如下：測試時(shí)間（h）10050010002000350050005500失效數(shù)1122311試問，這批二極管在高溫下的壽命是否為威布爾分布？解：（1）.整理數(shù)據(jù) 由于是定周期測試，獲得的是一組數(shù)據(jù)，對于分組數(shù)據(jù)，規(guī)定用時(shí)間區(qū)間的組中值作為該組失效產(chǎn)品的失效時(shí)間代表，如時(shí)間區(qū)間為，則失效時(shí)間（組中值）， 由失效數(shù)計(jì)算累積失效數(shù)： ， 失效概率估算時(shí)， 對于小樣本情況，在實(shí)際中可用如下估計(jì)公式 或通過查中位秩表：這一列，然后整理成下表：數(shù)據(jù)整理表測試時(shí)間組組中值失效數(shù)累

14、積失效數(shù)5011430012975024201500263127503947425011053525011158（2）描點(diǎn)、檢驗(yàn)、配置直線注意到：有時(shí)威布爾紙橫座標(biāo)是由為止，如很小，則直接適用；若大了，要移位。壽命試驗(yàn)一般都是幾千小時(shí)以上，因此可以在刻度（橫坐標(biāo)上）乘上，這種可以使，本例中，第一個(gè)組中值是50，則取2，橫坐標(biāo)從，相當(dāng)于移了兩個(gè)數(shù)量級。將7點(diǎn)描在概率紙上，基本上是一條直線附近，可認(rèn)為壽命是服從威布爾分布的。圖估法描出，憑目測是否為直線，常因人而異，不太精確。為了求出較為精確的直線，通?？捎孟嚓P(guān)系數(shù)作分布檢驗(yàn)，用最小二乘法求回歸直線。4、對數(shù)正態(tài)分布的圖估計(jì)(1).概率紙的構(gòu)造 對數(shù)正態(tài)分布的故障概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別： 對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)是一條曲線，也是單調(diào)函數(shù)，因此其反函數(shù)也存在。令：，上式可轉(zhuǎn)換成 則，在座標(biāo)系（對數(shù)正態(tài)概率紙）上是一條上升直線，此直線的斜率為在概率紙上有兩種刻度，即尺與尺。X尺是等距尺，t是對數(shù)尺；同樣在縱軸