概率論與數(shù)理統(tǒng)計第8講

1、1概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第第8講講本文件可從網(wǎng)址http:/上下載(單擊ppt講義后選擇概率論子目錄)2獨立試驗序列概型3關于上一次作業(yè)的問題請注意全概率公式和貝葉斯公式的題型, 將試驗可看成分為兩步做, 如果要求第二步某事件的概率, 就用全概率公式, 如果是在第步二某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率,就用貝葉斯公式.但是有的同學根本就沒有仔細看全概率公式, 因此寫成:P(B)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)+4而正確的全概率公式是這樣P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+因此, 在假設事件中, 除了劃分的假設A1,A2,外, 只假設一

2、個最終的事件.當然, 因為全概率公式是來自P(B)=P(A1B)+P(A2B)+因此也有人這樣假設事件, 即假設D1=A1B1,D2=A2B2,P(B)=P(D1)+P(D2)+但這種作法習慣不好.5事件運算的最小項任給n個事件A1,A2,An, 取這n個事件中的每一個,然后將其中的一些取逆, 再將這n個事件中取逆的和不取逆的事件相并得到的事件, 稱為這n個事件的一個最小項. 給定n個事件可產生多個不同的最小項, 各個最小項之間是互不相容的. 而這n個事件能夠邏輯上構成的任何事件, 可以由若干個最小項的并構成.因此要計算這樣的事件的概率, 只需要按加法法則將所包含的各個最小項的概率相加即可.6

3、例, 二事件A與B可組成四個最小項為ABBABABAABBABABABABABABAABBAABBAABAABBABABA如個的并產生由這四個最小項中的幾可以產生的任何邏輯式式都由 ,7從圖形上看, 這四個最小項代表了四個區(qū)域3, 2, 1, 0ABBABABAAB01238而三個事件A, B, C可組成8個最小項為ABCCABCBABCABCACABABCCABCBACBAACBAABCCABCBACBABCACBACBACBA如產生個最小項中的幾個的并由這可以產生的任何邏輯式式都由8,9這8個最小項可以和所有的3位二進制數(shù)一一對應111110101100011010001000ABCCAB

4、CBACBABCACBACBACBA10一般地n個事件A1,A2,An共可組成2n個最小項, 每個最小項可以和一個n位二進制數(shù)對應, 如果此二進制數(shù)的第i位為0, 對應在此最小項中的Ai取逆, 而第j位為1對應在此最小項中的Aj不取逆.11書上補充習題1(226頁) 某工廠每天分3個班生產, 事件Ai表示第i個班超額完成生產任務(i=1,2,3). 則至少有兩個班超額完成任務可以表示為323121321321321321323121321321321)()()()(AAAAAAdAAAAAAAAAAAAcAAAAAAbAAAAAAAAAa解 此為多選題, 正確的答案為(b),(c),(d).

5、這是因為(a)為恰有兩個班超額完成的最小項之和, 而(b)為至少兩個班的典型表示式, (c)為最小項表示, 而(d)表示至少兩個班不超額的逆12獨立試驗概型在概率論中, 把在同樣條件下重復進行試驗的數(shù)學模型稱為獨立試驗序列概型.進行n次試驗, 若任何一次試驗中各結果發(fā)生的可能性都不受其它各次試驗結果發(fā)生情況的影響, 則稱這n次試驗是相互獨立的.而多個獨立試驗可以在多個場景同時進行, 也可以按時間順序進行.13例1 甲,乙,丙3部機床獨立工作, 由一個工人照管, 某段時間內它們不需要工人照管的概率均為0.8. 求恰有0部,1部,2部,3部機床需要工人照管的概率.解 用事件A,B,C分別表示在這段

6、時間內機床甲,乙,丙不需工人照管.依題意A,B,C相互獨立,并且P(A)=P(B)=P(C)=0.8. 將ABC的所有最小項列出來為ABCCABCBACBABCACBACBACBA,14假設B0,B1,B2,B3為有0,1,2,3臺機床需要照料的事件,則根據(jù)所列出的最小項可得)3 , 2 , 1 , 0( ,8 . 02 . 0)(2 . 0)()(8 . 02 . 03)()(8 . 02 . 03)()()()()(8 . 0)()()()()(3333222130kCBPCBAPBPCBACBACBAPBPCABPCBAPBCAPCABCBABCAPBPCPBPAPABCPBPkkkk總

7、結寫成111110101100011010001000,ABCCABCBACBABCACBACBACBA15例4 一批產品的廢品率為0.1, 每次取一個, 觀察后放回去, 下次再取一個, 共重復3次, 求這3次中恰有0,1,2,3次取到廢品的概率.解 用事件A,B,C分別表示第1,2,3次取到廢品的事件, 則A,B,C相互獨立,并且P(A)=P(B)=P(C)=0.1. 將A,B,C的所有最小項列出來為ABCCABCBACBABCACBACBACBA,16假設B0,B1,B2,B3為恰抽到0,1,2,3個廢品的事件, 則根據(jù)所列出的最小項可得)3 , 2 , 1 , 0( ,9 . 01 .

8、0)(1 . 0)()(9 . 01 . 03)()(9 . 01 . 03)()()()()(9 . 0)()()()()(3333222130kCBPABCPBPBCACBACABPBPCBAPCBAPCBAPCBACBACBAPBPCPBPAPCBAPBPkkkk總結寫成111110101100011010001000,ABCCABCBACBABCACBACBACBA17例5 在例4中廢品率若為p(0p1), 重復地抽取n次, 求有k次取到廢品的概率.解: 假設A1,A2,An為第1,2,n次取到廢品的事件. 則這n個事件可以組成2n個最小項, 每一個最小項對應于一個n位的二進制數(shù).假設

9、Bk為有k次取到廢品的概率. 則),.,2 , 1 , 0()(.1,)1 (,.1,nkqpCBPpqqpppknCBknkknkknkknkknk因此其中均為樣都一而且每個最小項的概率的數(shù)的個數(shù)個有位二進制數(shù)中相當于所有個最小項構成由18上面例子的共同特點是在每次試驗中某事件A或者發(fā)生或者不發(fā)生, 假設每次試驗的結果與其它各次試驗結果無關, 即在每次試驗中A出現(xiàn)的概率都是p(0p1), 這樣的一系列重復試驗(比如n次), 稱為n重貝努里試驗.因此, n重貝努里試驗共有兩個關鍵參數(shù), 一個是每次試驗A發(fā)生的概率, 一個是試驗次數(shù)n.注意A并非n重試驗的樣本空間的事件, 它只是一次試驗中的事件

10、, 而在n重試驗中, 它轉化為A1,A2,An19定理1.31(貝努里定理) 設一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0p0). 則3個事件不全發(fā)生的概率是(A) (1p)3(B) 3(1p)(C) (1p)3+3p(1p)(D) 3p(1p)2+3p(1p) (E) 3p(1p)3解 此題為3重貝努里試驗, 設事件B為3個事件不全發(fā)生, 則B的逆為3個事件全發(fā)生的概率為p3, 因此P(B)=1p3, 而上面的選項(C)為(1p)3+3p(1p)=1p3 滿足要求, 因此應選(C)231999年MBA試題 進行一系列獨立試驗, 每次試驗成功的概率為p, 則在成功2次之前已經失敗了3次的概率為( )(

11、A) 4p2(1p)3(B) 4p(1p)3(C)10p2(1p)3(D) p2(1p)3(E) (1p)3解 成功2次之前已經失敗了3次的事件一定已經進行了5次試驗, 第5次是成功的, 且前4次一定還有一次成功. 前4次有一次成功的概率是p4(1)=4p(1p)3, 則再考慮第5次的成功, 成功2次前失敗3次的概率為4p2(1p)3因此, 應填選項(A)241987年理工科考研題 設在一次試驗中A發(fā)生的概率為p, 現(xiàn)進行n次獨立試驗, 則事件A至少發(fā)生一次的概率為_; 而事件A至多發(fā)生一次的概率為_.1)1 ()1 () 1 ()0()(,)1 (1)(1)(,)1 ()(,nnnnnnpnppppCPCpBPBPpBPB則為至多發(fā)生一次的事件假設概型的概率計算公式由貝努里為至少發(fā)生一次的事件假設解251988年理工科考研題 設三次獨立試驗中, 事件A