淺談達(dá)朗貝爾判別法

1、淺談達(dá)朗貝爾判別法鄭媛媛（渤海大學(xué)數(shù)學(xué)系 遼寧 錦州 121000 中國(guó)）摘要：通過(guò)學(xué)習(xí)了達(dá)朗貝爾判別法及其推論，我們了解到達(dá)朗貝爾判別法在判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性中是非常簡(jiǎn)便適用的。但這種判別法仍存在著一些弊端，給我們?cè)趯W(xué)習(xí)中造成了許多不便，為了便于我們今后的學(xué)習(xí)，本文簡(jiǎn)單的介紹和研究了幾種達(dá)朗貝爾判別法的推廣方法，主要解決了達(dá)朗貝爾判別法在=1失效的情況下斂散性的判別。文中提到的方法，不但使用簡(jiǎn)便，具有廣泛的適用性，而且更為精細(xì)。為正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定提供了更有力的工具。關(guān)鍵詞：正項(xiàng)級(jí)數(shù) 斂散性 TALK ABOUT J.DALEMBERTS PRINCIPLEZheng Yuanyuan(D

2、epartment of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract :The study of the DAlembert Discrimination Act and its corollary,We understand that dAlembert Discrimination in the series Conwergence Divergence is very simple application.This Criterion there are still some drawbacks

3、to the study,we created a lot of inconvenience.In order to facilitate our future study,this brief introduction and study of several dAlembert Criterion promotional measures,mainly to solve the DAlemberts Test=failure in the case of convergence and divergence of discremination.The article mentions th

4、e method not only easy to use,with broad applicability,but more subtly.For the positive series fugitive convicted of a more powerful tool.Key words :positive series ; conbergence anddivergence.引言判別斂散性是無(wú)窮級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分理論的首要課題，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別尤為重要。我們已經(jīng)在教材中學(xué)習(xí)了幾種判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法其中達(dá)朗貝爾判別法的推論比值判別法和根值判別法用起來(lái)較比較判別法方便，其原因是它

5、只靠級(jí)數(shù)自身的特征來(lái)檢測(cè)，而比較判別法卻須去尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋容^對(duì)象然而，從比值判別法和根值判別法的證明可以看出，它們實(shí)質(zhì)上還是把所討論的級(jí)數(shù)同某一幾何級(jí)數(shù)作比較這兩種方法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，都會(huì)遇到失效的情況為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢?這實(shí)質(zhì)上是，把所有級(jí)數(shù)和收斂的幾何級(jí)數(shù)相比，它的項(xiàng)比幾何級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)值 大，而和發(fā)散的幾何級(jí)數(shù)相比，它的項(xiàng)又比幾何級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)值小這也就是說(shuō)，要想檢驗(yàn)所論級(jí)數(shù)的斂散性，幾何級(jí)數(shù)這把尺子的精密度不夠。人們發(fā)現(xiàn)p級(jí)數(shù)是比幾何級(jí)數(shù)更精密的一把“尺子”，而級(jí)數(shù)： 又比p級(jí)數(shù)更為精密，稱為對(duì)數(shù)尺子。仿照建立比值判別法的辦法，人們將所論級(jí)數(shù)同一把比一把更精密的“尺子相比較，建立了一個(gè)比一

6、個(gè)適應(yīng)范圍更大但使用更加繁難的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法，如拉貝判別法，高斯判別法，等等但是，如此建立的判別方法，無(wú)論適應(yīng)范圍多大，仍然會(huì)有失效的情況發(fā)生我們?cè)谧鲱}當(dāng)中發(fā)現(xiàn)了達(dá)朗貝爾比值判別法是正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判定中使用最簡(jiǎn)便的方法之一，所以經(jīng)常使用,但由于精確度不夠,當(dāng)=1時(shí)，判別發(fā)失效.給我們帶來(lái)了很多不便。例如：級(jí)數(shù)和，都有= =1, =1.但前者發(fā)散而后者收斂。近年來(lái)，為了改進(jìn)達(dá)朗貝爾比值判別法，進(jìn)行了種種研究。如雙比值判別法的提出，本文簡(jiǎn)單例舉出了比值判別法的幾種推廣，是眾多定理成為其特殊情況，而且使用簡(jiǎn)便，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定提供了更有力的工具。一.預(yù)備知識(shí)引理1：對(duì)于P級(jí)數(shù),當(dāng)<

7、;P1時(shí)發(fā)散；當(dāng)P >1時(shí)收。對(duì)于級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)發(fā)散，且滿足=1+ o（）級(jí)數(shù)發(fā)散，且滿足=1+級(jí)數(shù)收斂，且滿足=1+2：設(shè)級(jí)數(shù)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)且存在自然數(shù)，使當(dāng)n時(shí)，有 ,則有(i)若收斂，則也收斂；(ii)若發(fā)散，則也發(fā)散。引理3：設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)=+ , （）其中>,=,若是自然數(shù)列的一個(gè)子列，規(guī)定=，記=,=,.,又得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)=(+)+(+)+ （）即對(duì)級(jí)數(shù)（）適當(dāng)添加括號(hào)得到級(jí)數(shù)（）.級(jí)數(shù)（），（）有相同的斂散性，且在它們收斂時(shí)有相同的和。引理4：給定兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)（）和（），若從某項(xiàng)起（如<時(shí)）,不等式,成立，則級(jí)數(shù)（）收斂蘊(yùn)涵級(jí)數(shù)（）收斂;級(jí)數(shù)（）發(fā)散蘊(yùn)涵級(jí)數(shù)（）發(fā)散。引

8、理5：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，單調(diào)遞減，則存在1，+)上的單調(diào)遞減的連續(xù)可微函數(shù)，使得= （=. .）6：若函數(shù)在1，+)非負(fù)，連續(xù)，遞減，則級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。7：設(shè)是定義在，+）上的正值連續(xù)函數(shù)，函數(shù)在，+）嚴(yán)格遞增，連續(xù)可導(dǎo)且， ，+),若=，則（i）.當(dāng)<1.，無(wú)窮積分收斂；（ii）.當(dāng)>1，無(wú)窮積分發(fā)散；（iii）.當(dāng)=1，無(wú)窮積分可能收斂，也可能發(fā)散。引理8：（達(dá)朗貝爾判別法或稱比式判別）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)q (<q <1).(i).若對(duì)一切>，成立不等式q,則級(jí)數(shù)收斂；(ii).若對(duì)一切>，成立不等式1,則級(jí)數(shù)發(fā)散。二.推廣

9、方法（一）.定理1：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)且滿足=1-+o(),則有（i）.若>1,則級(jí)數(shù)收斂；（ii）.若1，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：(i).當(dāng)時(shí)，有=1+o()，另一方面，若令=,這里>，且1+<，那么=1+ o（）,從而= + o（）, ()即對(duì)充分大的，有<由引理1知級(jí)數(shù)=收斂，故再由引理2知收斂。（ii）.同理，當(dāng)時(shí)，有=1+o()，另一方面，若令=,這里>，且<1<1，那么=1 + o()從而=+ o(), ()即對(duì)充分大的，有由引理1知級(jí)數(shù)=發(fā)散，故再由引理2知發(fā)散。舉例應(yīng)用例：設(shè)>，討論級(jí)數(shù)的斂散性。解:因?yàn)?(1+ o（）)=1+ o（）=1+

10、 o()由結(jié)論知，于x>時(shí)收斂;于x時(shí)發(fā)散。綜合達(dá)朗貝爾判別法及定理1可得（二）.定理2：設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)且滿足=+ o(),則有（i）.若<1或=1，>1,則級(jí)數(shù)收斂；（ii）.若>1或=1，1,則級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：可由朗貝爾判別法及定理1證得。舉例應(yīng)用例：判定級(jí)數(shù)的斂散性。分析：本題應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法失效，因?yàn)槌霈F(xiàn)=1，用定理2可判斷出收斂性。解：=.因?yàn)?1，此時(shí)達(dá)朗貝爾判別法失效，但由定理2有=1-+由結(jié)論知道=>1，故此級(jí)數(shù)收斂。（三）.定理3：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)及，若有的一個(gè)子列，<,使 (<)則（i）. 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；（ii）. 若級(jí)數(shù)發(fā)散

11、，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：因?yàn)?(<)取M=max,，對(duì)于任何自然數(shù)>，存在唯一的,使=+ (0)，于是= , 且+<,若+>，存在唯一的，使+=+(0)于是=, 且+<+注意到<依次下去，必可在有限步，不妨設(shè)到第步時(shí)，有+于是=M所以當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散。推論：對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若=,=則（i）. 當(dāng)=max,<,級(jí)數(shù)收斂；（ii）.當(dāng)=min,>,級(jí)數(shù)發(fā)散。舉例應(yīng)用例：證明級(jí)數(shù)收斂。證明：因?yàn)?.=.=.( )=.=.()（四）.定理4：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)及，存在，對(duì)于任何>，都存在<，使得則有（i）. 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)

12、數(shù)收斂；（ii）. 若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：一個(gè)級(jí)數(shù)增加，減少，改變有限項(xiàng)不改變其斂散性，不妨設(shè)對(duì)自然數(shù)，均有<，使即對(duì)自然數(shù)，存在<，使得依次下去，便得其中：>>>>>1，所以當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散。：給定正項(xiàng)級(jí)數(shù)及，若存在正數(shù)，當(dāng)>時(shí)有則（i）. 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；（ii）. 若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。舉例應(yīng)用例：證明級(jí)數(shù)發(fā)散。證明:因?yàn)?級(jí)數(shù)發(fā)散，由推論知級(jí)數(shù)發(fā)散。（五）.定理5：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)（1），若存在自然數(shù)，（i）. 若，>， (<1)（）則（1）收斂；（ii）.若，>，1（）則（

13、1）發(fā)散。證明：當(dāng)=1，由達(dá)朗貝爾判別法命題成立。以下考慮的情形，設(shè),記=，=. 得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)（），（i）.若，>，（）成立，則q （）因?yàn)閙=m()=m(+1）同樣，= m（）；所以=取定自然數(shù)，使>，則對(duì)>K，因?yàn)?K，所以>，由（），當(dāng)=+1, =+,=+時(shí)，q，代入上式q= q,即>K，（<1）,由達(dá)朗貝爾判別法級(jí)數(shù)（）收斂，再由引理3級(jí)數(shù)（1）收斂。（ii）.若，>，（）成立，仿上可證K，>K, 1，由達(dá)朗貝爾判別法級(jí)數(shù)（）發(fā)散，再由引理3級(jí)數(shù)（1）發(fā)散。推論1：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)（1），若= =則 當(dāng)<，（1）收斂;當(dāng)>，（1）

14、發(fā)散，當(dāng)=，就得到的定理1。推論2：設(shè)m，對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)（1），若=1。且= ,則當(dāng)<，（1）收斂;當(dāng)>，（1）發(fā)散。舉例應(yīng)用例：對(duì)于P級(jí)數(shù)（>），因?yàn)?1不能用達(dá)朗貝爾判別法其斂散性，m=當(dāng)>1，<，由推論，級(jí)數(shù)收斂。（六）.定理6：給定正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若=（=, 11）,則當(dāng)<時(shí),收斂；當(dāng)>時(shí)，發(fā)散。證明：當(dāng)<時(shí)，取>，使得+=<,由=，知：>，N，n,有<則有<+=<,又<<。所以,>1，使得<<<,令=，則收斂，且=所以，當(dāng)n >時(shí)，有>所以>>，由引

15、理4可知，收斂。當(dāng)>時(shí)，取>，>，由=.知:>，N，>,有<，則有>>.令=，則=發(fā)散，且=<.所以>>，由引理4知。發(fā)散。推論：給定正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若=1，且=存在，則當(dāng)<時(shí)收斂；>時(shí)，發(fā)散。舉例應(yīng)用例：給定正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若=，則當(dāng)<< 1時(shí)，=;當(dāng)>1時(shí)，=+（=,11）證明：由=,知>，N，n，有<即<<+=<*<即<<若<<1，取>，使得+<1，則<1，所以=.同理=.若>1，取>，使得>1，則>1.

16、所以=+.同理=+由此例題可以看出，凡是能用達(dá)朗貝爾判別法進(jìn)行判別的問(wèn)題，用定理6也一定可行?？梢?jiàn)，定理6優(yōu)于達(dá)朗貝爾判別法，（七）.定理7：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，單調(diào)減少， 滿足 x，（x 1，+)且單調(diào)遞增的整系數(shù)多項(xiàng)式。如果（i）.存在滿足引理5的函數(shù)，使為單調(diào)函數(shù).（ii）= .則有（）當(dāng)<1，級(jí)數(shù)收斂；（）當(dāng)> 1，級(jí)數(shù)發(fā)散；（）當(dāng)=1，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。證明：由引理5及條件（i）.存在，+)上的單調(diào)遞減可微函數(shù)，使得 = （=.）=L.結(jié)合引理6，引理7即得。舉例應(yīng)用例：正項(xiàng)級(jí)數(shù)，取=，顯然=滿足定理?xiàng)l件，因=>1故根據(jù)定理結(jié)論，此級(jí)數(shù)發(fā)散。值得注意的是，此例用達(dá)

17、朗貝爾判別法失效。（八）.定理8：設(shè)是1，+) 上遞減正值連續(xù)函數(shù)，是1，+)上連續(xù)可微函數(shù)，且 >x，若= （）則當(dāng)<<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：因?yàn)樵?，+)上單調(diào)遞減，由積分判別法與同斂態(tài)，由于 >，所以可取單調(diào)遞增序列：= c（c1）, =()， =(),且=+.當(dāng)<<1時(shí)，取實(shí)數(shù)，使得<<1,由于有（）式，故>1.當(dāng)x>時(shí)，有<，即<。于是時(shí),有<即<,<,固定，使，則=+<+=<=常數(shù)故收斂，從而級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)>1時(shí)，存在>1，當(dāng)x>時(shí)，>，于是當(dāng)>時(shí)，>>固定，使>，有>(), ()故發(fā)散，從而級(jí)數(shù)發(fā)散。舉例應(yīng)用例：判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?1 (+)所以，達(dá)朗貝爾判別法失效，利用定理8，令= ，= =>1級(jí)數(shù)發(fā)散。三.結(jié)束語(yǔ)綜上可見(jiàn)，文中所述定理及其推論是方便可行的，并完善了達(dá)朗